专题6.4 几何图形初步（章节复习）知识梳理+34个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练

专题6.4 几何图形初步（章节复习） （知识梳理+34个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理1：几何图形 2 知识点梳理2：直线、射线、线段 3 知识点梳理3：角 4 优选题型 考点讲练 5 考点1 几何体中的点、棱、 面 5 考点2 从不同方向看几何体 7 考点3 由展开图计算几何体的表面积 8 考点4 由展开图计算几何体的体积 9 考点5 正方体相对两面上的字 10 考点6 求展开图上两点折叠后的距离 11 考点7 补一个面使图形围成正方体 11 考点8 点、线面、体四者之间的关系 12 考点9 平面图形旋转后所得的立体图形 13 考点10 截一个几何体 14 考点11 直线、线段、射线的数量问题 15 考点12 直线相交的交点个数问题 16 考点13 作线段（尺规作图） 16 考点14 线段的和与差 17 考点15 线段中点的有关计算 18 考点16 线段n等分点的有关计算 19 考点17 线段之间的数量关系 19 考点18 与线段有关的动点问题 20 考点19 两点之间线段最短 20 考点20 两点间的距离 21 考点21 最短路径问题 22 考点22 画特殊角 23 考点23 钟面角 24 考点24 与方向角有关的计算题 24 考点25 角的单位与角度制 25 考点26 角的度数大小比较 25 考点27 三角板中角度计算问题 25 考点28 几何图形中角度计算问题 27 考点29 角度的四则运算 28 考点30 实际问题中角度计算问题 29 考点31 角平分线的有关计算 30 考点32 角n等分线的有关计算 31 考点33 与余角、补角有关的计算 32 考点34 同(等）角的余(补)角相等的应用 34 中考真题 实战演练 35 难度分层 拔尖冲刺 36 基础夯实 36 培优拔高 37 知识点梳理1：几何图形 1． 几何图形的分类 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 平面图形：三角形、四边形、圆等. 几何图形 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． （2）从不同方向看： 主（正）视图----------从正面看 几何体的三视图 左视图----------------从左边看 俯视图----------------从上面看 （3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 知识点梳理2：直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点梳理3：角 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 3．余角和补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 4．方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 考点1 几何体中的点、棱、 面 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了______条棱直接写出答案 (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中有______种情况． (3)据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的6倍，现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是104cm，求这个长方体纸盒的体积． 考点2 从不同方向看几何体 【典例精讲】（25-26七年级上·广东·期中）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小立方体堆成一个几何体． (1)请在网格中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积为__________； (3)如果在这个几何体上再添加一些小立方体，并保持从正面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加__________个小立方体． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用几个大小相同的小立方块搭成一个几何体．画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    考点3 由展开图计算几何体的表面积 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）用若干大小相同棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题： (1)搭成满足如图所示的几何体最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体； (2)请在如图网格中画出用最少小正方体搭成的几何体的左视图．（画出两种即可） (3)如图几何体的表面积为： ． 【变式训练】（25-26七年级上·山东·阶段练习）（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 考点4 由展开图计算几何体的体积 【典例精讲】（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【变式训练】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是某长方体包装盒的展开图，具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的倍． (1)展开图的个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与相对的面是___________（填序号）； (2)求长方体包装盒的体积． 考点5 正方体相对两面上的字 【典例精讲】（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）在学校组织的“传统文化进校园”活动中，礼堂的电子屏上，以古典民乐为背景音，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：梅、兰、竹、菊、松、柏，同学们能看到的一个展开图是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是 ． 考点6 求展开图上两点折叠后的距离 【典例精讲】．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    考点7 补一个面使图形围成正方体 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图． (1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体； (2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值． 【变式训练】（25-26七年级上·江西萍乡·阶段练习）周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 考点8 点、线面、体四者之间的关系 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州·阶段练习）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【变式训练】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______； (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 考点9 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形． (1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）； (2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）． 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）将一个长为，宽为的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，则得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 考点10 截一个几何体 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）如图，用一平面切截正方体，截面图形一定是（   ） A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．平行四边形． 【变式训练】25-26七年级上·全国·课后作业）如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到如图②所示的立体图形． (1)设原大正方体的表面积为，图②中立体图形的表面积为，则与的大小关系是（   ） A． B．    C． D．无法确定 (2)小明说：“设图①中大正方体的棱长之和为，图②中立体图形各棱的长度之和为，则比正好多出大正方体3条棱的长度．”小明的说法一定正确吗？为什么？ (3)图③是图②中立体图形的表面展开图吗？如果不是，请在图③中予以修正． 考点11 直线、线段、射线的数量问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图． (1)【试验观察】 如果每2个点画1条直线，那么 第1组最多可以画________条直线； 第2组最多可以画________条直线； 第3组最多可以画________条直线； …… (2)【探索归纳】如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可以画________条直线（用含的式子表示）． (3)【解决问题】（3）某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共需要握多少次手？ 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C，D，则图中共有________条线段． （2）【模型构建】如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ （3）【拓展应用】某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 考点12 直线相交的交点个数问题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，同一平面内2条直线相交，只有1个交点；3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有 个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点．请你猜想：10条直线两两相交，最多有 个交点；n条直线两两相交，最多有 个交点． 【变式训练】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 考点13 作线段（尺规作图） 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使．（保留作图痕迹） 【变式训练】（23-24七年级上·广东·期末）如图，O点是数轴的原点，数轴正半轴上有一点A，已知． (1)在原点O的左侧画点B，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)点M，点N同时从原点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点B后立即返回向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．当点M到达点O时，两个点都停止运动．若时，求t的值； (3)在以上的条件下，若点M到达点O后继续沿数轴向右运动，点N的运动速度和方向保持不变．在整个运动过程中，若点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15，求t的值． 考点14 线段的和与差 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 考点15 线段中点的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两个点、对应的数为、，若、两点分别从、两点出发，各自以一定速度在数轴上运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若、两点均向数轴正方向同时运动，当点运动到时，点恰好到达原点，求点的运动速度． (2)若、两点以（1）中的速度向右运动，运动多少时间时，？ (3)若点在、之间，点从点出发向数轴负方向运动．当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为多少？ (4)若点沿数轴向右运动，记的中点为，记的中点为，假设运动t秒，此时：点表示的数为 ，点表示的数为 ，点与点的距离 ． 考点16 线段n等分点的有关计算 【典例精讲】24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 考点17 线段之间的数量关系 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 考点18 与线段有关的动点问题 【典例精讲】（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 考点19 两点之间线段最短 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面内有线段，和点，且，请按下列要求作图： (1)作射线，并在射线上取点，使得（请用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹，不写作法）： (2)在上取一点，使得最短，并说明理由． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)画直线，画射线； (2)我们容易判断出线段与的大小关系是___________： (3)在平面内找一点，使得点到、、、四个点的距离之和最小，画出点． (4)在下图中，经过、、、四个点能够作出___________条直线，若平面内有个点，最多能够作出___________条直线． 考点20 两点间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；②连接两点的线段叫两点间的距离；③若，则点P是线段的中点；④三条直线两两相交，有三个交点；⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，已知C为线段上的一点， (1)在线段延长线上求作点B，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，点M是线段的中点，N为的中点若，请求出线段的长． 考点21 最短路径问题 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)画射线，连接； (3)连接并延长到，使； (4)若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 【变式训练】24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 考点22 画特殊角 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏常州·期末）观察下列图形，利用格点画图（每个方格边长为一个单位）：    (1)画线段； (2)在线段上方画，在射线 AE 上取三个单位长的； (3)取的中点O，连接并延长到点D，使； (4)连接； (5)请你写出在你所画图中相等的线段（除外） 【变式训练】（2021七年级上·全国·专题练习）（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 考点23 钟面角 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的较小夹角的度数为 ． 【变式训练】（2023七年级上·全国·竞赛）小明晚上开始做数学作业，做完时还不到，他测量发现，此时时钟的时针和分针之间的夹角为，这时的时间是7时 分． 考点24 与方向角有关的计算题 【典例精讲】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 考点25 角的单位与角度制 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1) ； (2)． 考点26 角的度数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·山东日照·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 【变式训练】（24-25七年级上·天津和平·期末）（1）比较大小： （填“”“”或“”）． （2）钟表在时，时针与分针的夹角是 ． 考点27 三角板中角度计算问题 【典例精讲】24-25七年级上·广东汕头·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． ① ． ②是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按图（1）中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． ① 度． ②如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 考点28 几何图形中角度计算问题 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，平分． (1)若，求的度数．（写步骤） (2)若，则直接写出的度数为___________； (3)如图2放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________；如图3放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________． 【变式训练】（2023九年级下·浙江·竞赛）如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 考点29 角度的四则运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算（用度、分、秒表示）： ． ． ． ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 考点30 实际问题中角度计算问题 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【变式训练】（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 考点31 角平分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【变式训练】．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 考点32 角n等分线的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【变式训练】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 考点33 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【变式训练】（22-23七年级上·广西河池·期末）已知，O为直线上的一点，，射线在的内部，且平分． (1)如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数； (2)图1中，若，直接写出的度数（用含a的式子表示）； (3)如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由． 考点34 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线．    (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【变式训练】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，、交于点O． (1)可得到结论：，依据是：______（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； (2)若，的余角是的2倍，求； (3)在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 1．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．湿 B．地 C．之 D．都 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    4．（2024·吉林长春·中考真题）下列图形中是正方体表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 基础夯实 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）如图是从左面和上面看到的由一些大小相同的小正方体构成的几何体的形状图，那么构成这个几何体的小正方体最多有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图点在线段上，且，则线段与线段的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 5．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）如图1、图2是由几个大小完全相同的正方体组成的几何体． (1)如图1，若将正方体①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从 （填“正面”“上面”或“左面”）看得到的图形没有发生改变； (2)请画出从上面和左面看图2中的几何体得到的图形． 培优拔高 1．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字，，，，，，其展开图如图所示．在一张不透明的桌子上，按图方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体置于桌面上，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是（    ） A． B． C． D． 2．如图，线段，图中所有线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）用小立方块搭一个几何体，从正面看与从上面看这个几何体得到的形状图如图所示，则它最多需要 个小立方块． 4．（25-26七年级上·河南·阶段练习）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是___________________；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，如果，则长方体纸盒的底面周长为_____； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，如果．则该长方体纸盒的体积为_______； 【问题进阶】（3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为_____________． 5．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 几何图形初步（章节复习） （知识梳理+34个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理1：几何图形 2 知识点梳理2：直线、射线、线段 3 知识点梳理3：角 4 优选题型 考点讲练 5 考点1 几何体中的点、棱、 面 5 考点2 从不同方向看几何体 8 考点3 由展开图计算几何体的表面积 10 考点4 由展开图计算几何体的体积 13 考点5 正方体相对两面上的字 15 考点6 求展开图上两点折叠后的距离 16 考点7 补一个面使图形围成正方体 18 考点8 点、线面、体四者之间的关系 19 考点9 平面图形旋转后所得的立体图形 21 考点10 截一个几何体 23 考点11 直线、线段、射线的数量问题 25 考点12 直线相交的交点个数问题 27 考点13 作线段（尺规作图） 28 考点14 线段的和与差 30 考点15 线段中点的有关计算 31 考点16 线段n等分点的有关计算 34 考点17 线段之间的数量关系 36 考点18 与线段有关的动点问题 37 考点19 两点之间线段最短 39 考点20 两点间的距离 41 考点21 最短路径问题 43 考点22 画特殊角 45 考点23 钟面角 47 考点24 与方向角有关的计算题 48 考点25 角的单位与角度制 50 考点26 角的度数大小比较 52 考点27 三角板中角度计算问题 53 考点28 几何图形中角度计算问题 56 考点29 角度的四则运算 59 考点30 实际问题中角度计算问题 60 考点31 角平分线的有关计算 62 考点32 角n等分线的有关计算 65 考点33 与余角、补角有关的计算 68 考点34 同(等）角的余(补)角相等的应用 71 中考真题 实战演练 74 难度分层 拔尖冲刺 77 基础夯实 77 培优拔高 79 知识点梳理1：几何图形 1． 几何图形的分类 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 平面图形：三角形、四边形、圆等. 几何图形 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． （2）从不同方向看： 主（正）视图----------从正面看 几何体的三视图 左视图----------------从左边看 俯视图----------------从上面看 （3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 知识点梳理2：直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点梳理3：角 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 3．余角和补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 4．方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 考点1 几何体中的点、棱、 面 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【答案】(1) (2) (3)6 【思路引导】此题主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律． （1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体； （2）同理（1）可进行求解； （3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有24个；各面都没有涂色的有8个； 故答案为． （2）解：根据正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，各面都没涂色内部是个． 正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，有27个是各个面都没有涂色的， 故答案为； （3）解：由（1）（2）可知：当把正方体的棱三等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱四等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱五等分时，没有涂色的小正方形有个， ∴将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的， ， 解得：； ∴至少应该将此正方体的棱6等分， 故答案为6． 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了______条棱直接写出答案 (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中有______种情况． (3)据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的6倍，现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是104cm，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2)4 (3) 【思路引导】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数， （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况， （3）设最短的棱长高为，则长与宽相等为，根据棱长的和是，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积． 本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【规范解答】（1）解：小明共剪了8条棱， 故答案为： （2）解：如图，四种情况． ， 故答案为： （3）解：长方体纸盒的底面是一个正方形， 可设最短的棱长为， 长与宽相等为， 长方体纸盒所有棱长的和是， ， 解得， 这个长方体纸盒的体积为， 答：这个长方体纸盒的体积为 考点2 从不同方向看几何体 【典例精讲】（25-26七年级上·广东·期中）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小立方体堆成一个几何体． (1)请在网格中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积为__________； (3)如果在这个几何体上再添加一些小立方体，并保持从正面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加__________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)36 (3)2 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，掌握从不同方向看几何体作图的方法是解题的关键． （1）根据题意画出形状图即可； （2）根据几何体的表面积公式即可求解； （3）先求出保持从正面看和从左面看到的形状图不变时，几何体中小立方体个数最多的情况，再将其与原来的几何体中小立方体的个数作差即可得出答案． 【规范解答】（1）解：画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图如下： （2）解：从正面或背面看，有6个小正方形； 从上面或下面看，有5个小正方形； 从左面或右面看，有5个小正方形，还有4个小正方形被遮挡； ∴该几何体的表面积为； 故答案为：36； （3）解：要使几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，第一层最多可以有6个小立方体，第二层最多可以有4个小立方体，第三层只能有1个小立方体， ∴几何体最多可以有（个）小立方体， ∴最多可以再添加（个）小立方体． 故答案为：2． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用几个大小相同的小立方块搭成一个几何体．画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    【答案】见解析 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，掌握相关知识是解题的关键． 从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2，依此画出图形即可． 【规范解答】解：如图所示：    考点3 由展开图计算几何体的表面积 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）用若干大小相同棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题： (1)搭成满足如图所示的几何体最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体； (2)请在如图网格中画出用最少小正方体搭成的几何体的左视图．（画出两种即可） (3)如图几何体的表面积为： ． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) 【思路引导】（）根据主视图和俯视图解答即可求解； （）根据主视图和俯视图解答即可求解； （）求出几何体的表面正方形个数，进而即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：搭成满足如图所示的几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体， 故答案为：，； （2）解：画图如下： （3）解：从前后看各有个正方形，从左右看各有个正方形，从上下看各有个正方形， ∴几何体的表面共有个正方形， ∴几何体的表面积为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·山东·阶段练习）（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3） ① 8条棱，② 【思路引导】本题主要考查了几何展开图，一元一次方程的应用； （1）①画出示意图即可；②确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （2）根据长方形的面积减去4个边长为的正方形的面积即可得出盒子的表面积； （3）①根据平面图形得出剪开棱的条数； ②设最短的棱长高为，则长与宽相等为，根据棱长的和是，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积． 【规范解答】解：①在边长为的正方形的四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 纸盒的体积为 （2） 盒子的表面积为 （3）①小明共剪了8条棱， 故答案为：8． ②∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴设最短的棱长高为，则长与宽相等为， ∵长方体纸盒所有棱长的和是， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为（）． 考点4 由展开图计算几何体的体积 【典例精讲】（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】(1)①③④ (2)①16；②1000 (3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【思路引导】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是某长方体包装盒的展开图，具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的倍． (1)展开图的个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与相对的面是___________（填序号）； (2)求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了长方体的相对面，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握长方体展开图的特征，列出一元一次方程． （）根据长方体展开图进行判断即可解题； （）设长方体的高为，则长为，由题意得，求出，再根据体积的计算方法，即可解题． 【规范解答】（1）解：由长方体包装盒表面展开图的特征可知，包装盒与相对的面是， 故答案为：； （2）解：设长方体的高为，则长为， 由题意得，， 解得， 所以长为，宽为，高为， 则体积为， 答：这个长方体包装盒的体积为． 考点5 正方体相对两面上的字 【典例精讲】（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）在学校组织的“传统文化进校园”活动中，礼堂的电子屏上，以古典民乐为背景音，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：梅、兰、竹、菊、松、柏，同学们能看到的一个展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图中面的相邻关系是解题的关键． 根据正方体展开图的特征，判断每个选项折叠后“梅” “竹” “柏”的位置关系是否与原立方体一致． 【规范解答】解：原立方体中“梅” “竹” “柏”相邻， 选项A，折叠后“梅” 与“柏”不相邻，不符合． 选项B，折叠后“梅”与“柏”不相邻，不符合． 选项C：折叠后““梅” “竹” “柏”相邻，符合． 选项D，折叠后“竹”与“柏”不相邻，不符合． 故选项C符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了相对面上的数字． 根据正方体表面展开图的判断“邻面”和“对面”即可． 【规范解答】解：由第一个和第二个正方体可知，与数字1所在的面相邻的面上数字是3、2、4、6，因此，与数字2所在的面相对的面上的数字是6， 即“6”与“2”相对， 故答案为：2． 考点6 求展开图上两点折叠后的距离 【典例精讲】．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【思路引导】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【规范解答】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【规范解答】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    考点7 补一个面使图形围成正方体 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图． (1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体； (2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路引导】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． （1）根据正方体的展开与折叠解答即可； （2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定相对面，再根据相反数的定义求出x、y的值． 【规范解答】（1）解：如图所示．（答案不唯一，任选两种即可） （2）解：根据题意，得，即， 因为， 所以． 【变式训练】（25-26七年级上·江西萍乡·阶段练习）周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】(1)4 (2)见解析 【思路引导】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【规范解答】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间三连方，两侧各一、二个，有三种；两排各三个，有一种，共4种． 故答案为：4； （2）解：如图所示，答案不唯一． 考点8 点、线面、体四者之间的关系 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州·阶段练习）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【答案】(1)③ (2) 【思路引导】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减． 【规范解答】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成． 设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为， ， ， ． 答：得到的立体图形的体积为． 【变式训练】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______； (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2) 【思路引导】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体， （1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【规范解答】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体． （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 考点9 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形． (1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）； (2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查基本图形的旋转，掌握几何体的基本概念和体积计算公式是关键． （1）三角形绕着直角边所在直线旋转一周得到圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案； （2）直角三角形绕着斜边所在直线旋转一周，得到两个扣在一起的圆锥． 【规范解答】（1）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到的几何体是底面半径，高为的圆柱体，如图1， 所以体积为； （2）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到两个等底面的圆锥体的组合体，如图2，设边上的高为r， 因为 所以． 所以体积为 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）将一个长为，宽为的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，则得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 【答案】或 【思路引导】本题考查了点、线、面、体和圆柱体的体积的求法，熟记圆柱体的体积公式是解题关键，根据圆柱体的体积公式计算即可． 【规范解答】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图， 该圆柱的体积为：． 绕长方形的宽所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱， 如图， 该圆柱的体积为：． 故答案为：或． 考点10 截一个几何体 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）如图，用一平面切截正方体，截面图形一定是（   ） A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．平行四边形． 【答案】D 【思路引导】本题考查了用平面去截正方体，截面的四条边对边平行，根据平行四边形的定义，可知截面图形一定是平行四边形． 【规范解答】解：如图，用一平面切截正方体，截面图形一定是平行四边形． 故选：D 【变式训练】25-26七年级上·全国·课后作业）如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到如图②所示的立体图形． (1)设原大正方体的表面积为，图②中立体图形的表面积为，则与的大小关系是（   ） A． B．    C． D．无法确定 (2)小明说：“设图①中大正方体的棱长之和为，图②中立体图形各棱的长度之和为，则比正好多出大正方体3条棱的长度．”小明的说法一定正确吗？为什么？ (3)图③是图②中立体图形的表面展开图吗？如果不是，请在图③中予以修正． 【答案】(1)B (2)不一定正确．理由见解析 (3)不是．图见解析 【思路引导】（1）根据平移的性质可得出与的大小关系； （2）利用立方体的性质得出棱长之间的关系； （3）利用立方体的侧面展开图的性质得出即可． 【规范解答】（1）解：设原大正方体的表面积为，图②中立体图形的表面积为， 截去三个正方形的面，还露出三个正方形的面，那么与的大小关系是相等； 故选：B． （2）解：不一定正确． 理由：设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为，则． 因为只有当时，才有，所以小明的说法不一定正确． （3）解：不是．如图所示． 【考点剖析】此题主要考查了立方体的侧面展开图以及立方体的性质等知识，培养学生的空间想象能力． 考点11 直线、线段、射线的数量问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图． (1)【试验观察】 如果每2个点画1条直线，那么 第1组最多可以画________条直线； 第2组最多可以画________条直线； 第3组最多可以画________条直线； …… (2)【探索归纳】如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可以画________条直线（用含的式子表示）． (3)【解决问题】（3）某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共需要握多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）一共需要握990次手． 【思路引导】本题主要考查规律的探究，找出其中的规律是解题的关键． （1）先根据图中点的个数，画出图形，从而可确定出图形中直线的条数； （2）由（1）规律求得即可； （3）根据（1）（2）规律应用求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： 直线的条数分别可表示为： ， 故答案为：3，6，10； （2）解：由（1）规律可得， 如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可画， 故答案为： ； （3）解：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好， 那么共握手次数（次）， 答：一共需要握990次手． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C，D，则图中共有________条线段． （2）【模型构建】如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ （3）【拓展应用】某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 【答案】（1）6；（2）；（3）次 【思路引导】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． （1）从左向右依次固定一个端点，，找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵以点为左端点向右的线段有：线段、、， 以点为左端点向右的线段有线段、， 以点为左端点的线段有线段， ∴共有条线段； （2）设该线段上共有x条线段， 则， 所以倒序排列有， 所以， 所以． （3）共握（次）手． 考点12 直线相交的交点个数问题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，同一平面内2条直线相交，只有1个交点；3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有 个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点．请你猜想：10条直线两两相交，最多有 个交点；n条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 6 10 45 【思路引导】本题通过分析不同数量直线两两相交时最多交点数的规律，进而推导出条直线两两相交时最多交点数的通用公式． 本题考查了直线相交时交点数的规律探索，掌握通过分析少量直线相交的最多交点数，总结出条直线两两相交最多交点数的公式是解题的关键． 【规范解答】解：条直线两两相交，最多交点数为，所以①处填6； 条直线两两相交，最多交点数为，所以②处填10； 条直线两两相交，最多交点数为，所以③处填45； 条直线两两相交，最多交点数为 ，所以④处填． 故答案为： ． 【变式训练】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 考点13 作线段（尺规作图） 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使．（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【思路引导】本题考查了尺规作图-作一条线段等于已知线段，线段的和差等知识．先作射线，再依次作线段，，再在线段上作，则． 【规范解答】解：如图，（1）作射线， （2）以A为圆心，以a长为半径作弧，交射线于点C，则； （3）以C为圆心，以b长为半径作弧，在交射线于点D，则； （4）以D为圆心，以c长为半径作弧，交线段于点B，则； 即为所求作线段． 【变式训练】（23-24七年级上·广东·期末）如图，O点是数轴的原点，数轴正半轴上有一点A，已知． (1)在原点O的左侧画点B，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)点M，点N同时从原点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点B后立即返回向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．当点M到达点O时，两个点都停止运动．若时，求t的值； (3)在以上的条件下，若点M到达点O后继续沿数轴向右运动，点N的运动速度和方向保持不变．在整个运动过程中，若点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)t的值为或3 (3)t的值为或或 【思路引导】本题考查了尺规作图—作一条线段等于已知线段、数轴上的动点问题及一元一次方程的应用， （1）根据作线段的尺规作图方法即可得； （2）先求出点B表示的有理数是，再求出点M从点O运动到点B所需时间为2秒，然后分两种情况：①和②，根据数轴的性质建立方程，解方程即可得； （3）分三种情况：①，②和③，分别求出的长，分别建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：如图，点B即为所求； （2）∵， ∴， ∴点B表示的有理数是， 点M从点O运动到点B所需时间为秒， ①当时，点M表示的有理数为， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题设； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题设， 综上，t的值为或3； （3）①当时，点M表示的有理数为， ∴， ∵点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15， ∴， 解得，符合题设； ②当时， ∴， ∵点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15， ∴， 解得，符合题设； ③当时， ∴， ∵点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15， ∴， 解得，符合题设， 综上，t的值为或或． 考点14 线段的和与差 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程，解方程即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴ 解得：． 故答案为：9． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析， (2)或 【思路引导】本题考查两点间的距离，掌握图形中线段的和差关系是正确解答的关键． （1）根据题意画图即可，再根据线段之间的和差关系进行计算即可； （2）分两种情况，即点D在点B的左侧或右侧，根据图形中线段的和差关系进行计算即可． 【规范解答】（1）解： 如图， 因为，， 所以， 所以； （2）解：由于， 当点D在点B的左侧时，， 当点D在点B的右侧时，， 所以或． 考点15 线段中点的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2025次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【规范解答】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2025次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两个点、对应的数为、，若、两点分别从、两点出发，各自以一定速度在数轴上运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若、两点均向数轴正方向同时运动，当点运动到时，点恰好到达原点，求点的运动速度． (2)若、两点以（1）中的速度向右运动，运动多少时间时，？ (3)若点在、之间，点从点出发向数轴负方向运动．当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为多少？ (4)若点沿数轴向右运动，记的中点为，记的中点为，假设运动t秒，此时：点表示的数为 ，点表示的数为 ，点与点的距离 ． 【答案】(1)点的运动速度为个单位/秒； (2)运动秒时，； (3)当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为； (4)，， 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离． （1）设点的运动速度为个单位/秒，根据题意列方程求解即可； （2）设运动时间为秒时，根据点和原点的位置关系分类讨论，列方程求解即可； （3）根据已知可得，由点之间的位置关系可得当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和； （4）根据题意可得，从而可得点表示的数，根据点和点的位置关系，进行分类讨论，可得，从而可得点表示的数，减去点表示的数， 即可得点与点的距离． 【规范解答】（1）解：设点的运动速度为个单位/秒， 根据题意可得， 解得， ∴点的运动速度为个单位/秒． （2）解：设运动时间为秒时，， ∵点、对应的数为、， ∴，， 若点在原点左侧，， 解得， 若点在原点右侧，，无解， ∴运动秒时，． （3）解：∵点、对应的数为、， ∴， 当点走到、两点的中点处时，， ∴， ∴当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为． （4）解：， ∴点表示的数为， 若点在点左边， ， ∴点表示的数为， ， 若点在点右边， ， ∴点表示的数为， ， ∴点表示的数为，点表示的数为，点与点的距离． 故答案为：，，． 考点16 线段n等分点的有关计算 【典例精讲】24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解； （2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解； 根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴线段的长度为； （2）当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴线段的长度为或． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查线段的和与差，分和当两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 考点17 线段之间的数量关系 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【思路引导】本题考查了线段中点的有关计算，线段的数量，线段的和差计算，根据线段中点的有关计算和线段的和差结合题意可得结论①②③④正确，图中线段总共有10条，分别加一起即可求出结论⑤正确 【规范解答】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，， ， ， ，， 图中所有线段之和为，故正确， 综上所述，正确的结论共有5个， 故选：D 【变式训练】（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【思路引导】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算． （1）利用线段的倍分关系即可证明； （2）利用线段中点性质得出，利用线段的倍分关系求出长度，然后利用线段的和差即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴, 由（1）得， ∴， ∴， ∴线段的长为． 考点18 与线段有关的动点问题 【典例精讲】（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； (3)线段的长度不会发生改变，的长度为6； 【思路引导】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可； （3）由线段中点可知，，分两种情况讨论：当点P在A、B两点之间运动时；当点P在点A左侧运动时，利用线段的和差分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点B在点A的右侧， ∴， 解得：， ∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； （3）解：∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴，， 当点P在A、B两点之间运动时，， 即； 当点P在点A左侧运动时，， 即； ∴综上所述，线段的长度不会发生改变，其值为6． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【规范解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 考点19 两点之间线段最短 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面内有线段，和点，且，请按下列要求作图： (1)作射线，并在射线上取点，使得（请用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹，不写作法）： (2)在上取一点，使得最短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析；两点之间，线段最短 【思路引导】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）结合线段的性质：两点之间线段最短，连接交于点，则点即为所求，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求； （2）解：如图，连接交于点， 则点即为所求． 理由：两点之间，线段最短． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)画直线，画射线； (2)我们容易判断出线段与的大小关系是___________： (3)在平面内找一点，使得点到、、、四个点的距离之和最小，画出点． (4)在下图中，经过、、、四个点能够作出___________条直线，若平面内有个点，最多能够作出___________条直线． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)P点见解析 (4)6， 【思路引导】本题考查画直线，射线和线段，线段的性质，直线的数量问题： （1）根据要求画图即可； （2）根据两点之间，线段最短，即可得出结果； （3）线段的交点即为点； （4）根据两点确定一条直线，进行判断即可． 【规范解答】（1）画直线 ，画射线 如图所示： （2）∵两点之间，线段距离最短， ∴ ； （3） 点即为所求 （4）能够作出直线，直线和直线共6条； 当任意三点不共线时，直线的数量最多， ∵两点确定一条直线， ∴每个点都能跟剩下的个点确定条直线， ∵直线和直线是同一条直线， ∴一共有条直线． 考点20 两点间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；②连接两点的线段叫两点间的距离；③若，则点P是线段的中点；④三条直线两两相交，有三个交点；⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了两点间的距离、直线的性质、相反数的定义、线段的性质，根据两点间的距离、直线的性质、相反数的定义、线段的性质逐个判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式，说法正确； ②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，原说法错误； ③若且点P在线段上，则点P是线段的中点，原说法错误； ④三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，原说法错误； ⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有，说法正确； 综上所述，正确的有①⑤，共个， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，已知C为线段上的一点， (1)在线段延长线上求作点B，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，点M是线段的中点，N为的中点若，请求出线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，两点间的距离，线段的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以线段上截取线段，使得，在射线上截取，使得，点B即为所求； （2）设，由题意可得，得到，所以，，进而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：以线段上截取线段，使得，在射线上截取，使得，点B即为所求，如图： （2）解：如图： 设， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点21 最短路径问题 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)画射线，连接； (3)连接并延长到，使； (4)若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路引导】本题考查了直线、射线、线段的画法，线段的和与差等． （1）根据直线的概念作图即可； （2）根据射线和线段的概念作图即可； （3）首先画射线，在的延长线上依次截取即可； （4）连接、，与的交点就是点． 【规范解答】（1）解：如图：直线，即为所求； （2）解：如图：射线，线段，即为所求； （3）解：如图：点，即为所求； （4）解：如图：点，即为所求． 此时，． 故的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【规范解答】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 考点22 画特殊角 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏常州·期末）观察下列图形，利用格点画图（每个方格边长为一个单位）：    (1)画线段； (2)在线段上方画，在射线 AE 上取三个单位长的； (3)取的中点O，连接并延长到点D，使； (4)连接； (5)请你写出在你所画图中相等的线段（除外） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5) 【思路引导】本题主要考查的是直线、射线、线段: （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据题意画出图形即可； （5）观察图形作出判断即可． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所画，    （2）解：如图，，即为所画； （3）解：如图，即为所画； （4）解：如图，即为所画； （5）解：如图， 【变式训练】（2021七年级上·全国·专题练习）（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 【答案】作图见解析 【思路引导】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角． 【规范解答】如图所示：（1）作∠AOC=∠α， （2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β， 则∠AOB即为所求作的角． 【考点剖析】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键． 考点23 钟面角 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的较小夹角的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据钟面角的定义以及时针、分针旋转过程中角的变化关系进行计算即可． 【规范解答】解：如图，由钟面角的定义可知： ， 由时针、分针旋转过程中所形成的角的变化关系可得： ， 故答案为： 【考点剖析】本题考查钟面角，解决问题的关键是理解钟面角的定义以及时针、分针旋转过程中角的变化关系． 【变式训练】（2023七年级上·全国·竞赛）小明晚上开始做数学作业，做完时还不到，他测量发现，此时时钟的时针和分针之间的夹角为，这时的时间是7时 分． 【答案】24 【思路引导】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用，掌握时钟上每大格为，每小格为是解题关键．设这时的时间是7时分，根据时针和分针的走过的角度作差列方程，即可求解． 【规范解答】解：设这时的时间是7时分， 则， 解得：， 即这时的时间是7时24分， 故答案为：24． 考点24 与方向角有关的计算题 【典例精讲】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【答案】(1)画图见解析 (2)南偏东或北偏东 【思路引导】本题考查方位角以及补角的含义，一元一次方程的应用，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方向角的度数，再画图可得答案； （2）根据补角的含义，可得的度数，根据角的和差，可得方向角． 【规范解答】（1）解：客轮B和海岛C方向的射线，如图所示： ； （2）解：∵是它补角的， ∴, 解得：， 如图， 故D在O南偏东或北偏东． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【思路引导】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 考点25 角的单位与角度制 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数的加减混合运算，角度制的计算，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． （1）先化简符号，再计算； （2）分别计算度与分的部分，再换算即可； （3）先算绝对值内的和乘方运算，再算乘除，最后算加减． 【规范解答】（1）解： ； （2）； （3） ． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数混合运算，度、分、秒的减法运算，解题的关键在于熟练掌握有理数混合运算顺序、运算法则和运算律，度、分、秒是60进制． （1）先计算1的乘方，分配律展开，再计算乘法，最后计算加减； （2）利用度、分、秒的换算即可，1度转化为60分，1分转化为60秒． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 考点26 角的度数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·山东日照·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 【答案】C 【思路引导】本题考查了单项式的系数，精确度和近似数，角的度数大小比较和钟面角，正确掌握单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小是解题的关键； 根据单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小比较方法逐项判断即可． 【规范解答】解：A、单项式的系数是，故该选项说法错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，精确到十分位，精确度不同，故该选项说法错误，不符合题意； C、，即，故该选项说法正确，符合题意； D、钟面上3时分，时针与分针的夹角为度，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·天津和平·期末）（1）比较大小： （填“”“”或“”）． （2）钟表在时，时针与分针的夹角是 ． 【答案】 /130 【思路引导】本题考查了角度换算，角度比较大小，钟面角，确定时针与分针相距的分数，是解题关键． （1）将 换算，再进行比较，即可求解； （2）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【规范解答】解：（1） ， ， ， ， 故答案为： ． （2） 时，时针与分针相距 份， 时，时针与分针所夹的角是 ， 故答案为： ． 考点27 三角板中角度计算问题 【典例精讲】24-25七年级上·广东汕头·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． ① ． ②是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按图（1）中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． ① 度． ②如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①10；②存在，或；（2）①75；②存在，或 【思路引导】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于x的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）①根据线段中点，可得答案；②根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）①根据平角的定义即可得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【规范解答】解：（1）①∵为的中点， ， 故答案为：10； ②存在， （ⅰ）∵P的速度，Q的速度是， ∴， 又， ∴， ∴不是线段的中点； （ⅱ）当为线段的中点时， 得， 解得：； （iii）当为线段的中点时， 得， 解得：； 综上所述：或． （2）①， ， 故答案为： 75 ； ②解：当在的左侧时， 则，， ， ， ； 当在的右侧时，则，， ， ， ； 综上所述，当或时，存在． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可． （2）仿照（1）的思路解答即可． （3）仿照（1）的思路解答即可． 本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． 考点28 几何图形中角度计算问题 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，平分． (1)若，求的度数．（写步骤） (2)若，则直接写出的度数为___________； (3)如图2放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________；如图3放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【思路引导】本题考查了角的计算，角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，可得和的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据求解即可； （2）根据，可得和的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据求解即可； （3）根据角平分线的定义可得的度数，再根据，可得，进一步计算即可，根据角平分线的定义可得的度数，再根据，可得，进一步计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ，， ∵平分， ， ； （2）解：，， ， ， ∵平分， ， ， 故答案为：； （3）解：， ∵平分， ， ， ，即 故答案为： ， ， ∵平分， ， ， ，即， 故答案为：． 【变式训练】（2023九年级下·浙江·竞赛）如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答； （2）因为为直角，即，因为平分，所以，即可得n的值； （3）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点29 角度的四则运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算（用度、分、秒表示）： ． ． ． ． 【答案】 【思路引导】（1）相同单位相加，超过向上一位进1即可； （2）先借化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解； （3）每一个单位分别乘以，分、秒超出的部分向上一个单位进1即可； （4）从度开始计算，余数乘以继续除以进行计算即可得解． 74．解：；   75．解：；   76．解：；   77．解：． 【考点剖析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解决问题的关键在于要注意度分秒是进制． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【考点剖析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 考点30 实际问题中角度计算问题 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【规范解答】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【变式训练】（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【规范解答】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【考点剖析】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 考点31 角平分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． （1）求出，求出根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，再由即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴．即：． （3）解：． 理由如下：因为，平分， 所以． 所以． 【变式训练】．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1）24；（2）①；② 【思路引导】本题考查了线段中点以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可得，再由线段中点的定义可得，即可求解； （2）①根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∵点和点分别是和的中点， ，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， ； ②∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， 考点32 角n等分线的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【规范解答】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【变式训练】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【思路引导】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【规范解答】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）小明是说法正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 考点33 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【思路引导】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【规范解答】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 【变式训练】（22-23七年级上·广西河池·期末）已知，O为直线上的一点，，射线在的内部，且平分． (1)如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数； (2)图1中，若，直接写出的度数（用含a的式子表示）； (3)如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由． 【答案】(1) ； (2) (3)正确，详见解析 【思路引导】本题主要考查与角平分线有关的角的计算，余角和补角，灵活运用余角和补角的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由已知得， ∵， ∴， ，平分， . （2）解：由已知得， ，平分， . （3）解：设，则，平分， ， ， ， ， 即 ． 考点34 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线．    (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【思路引导】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． 【变式训练】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，、交于点O． (1)可得到结论：，依据是：______（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； (2)若，的余角是的2倍，求； (3)在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 【答案】(1)① (2) (3)或 【思路引导】本题考查了补角的性质，角的和差计算，一元一次方程的应用： （1）根据同角的补角相等，即可得到答案； （2）设，则，根据题意列出方程，进而可得，由对顶角相等，即可得到答案； （3）分两种情况讨论：当在内时，当在内时，根据角的和差关系进行计算即可． 【规范解答】（1）解：，， ，判断依据是：同角的补角相等， 故答案为：①； （2）解：设，则， 由题意得：， 解得：，即， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，，， ， 设，， 当在内时， ， ， 即， 解得：， ； 当在内时， ， ， 即， 解得：， 综上， 或， 故答案为：或． 1．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【规范解答】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．湿 B．地 C．之 D．都 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解． 【规范解答】解：由正方体表面展开图的特征可得： “盐”的对面是“之”， “地”的对面是“都”， “湿”的对面是“城”， 故选C． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【思路引导】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键． 4．（2024·吉林长春·中考真题）下列图形中是正方体表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【规范解答】A．折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； B．折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； C．折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； D．折叠后能折成正方体，故本项符合题意． 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查了正方体展开图的问题，掌握正方体表面的十一种展开图的性质是解题的关键． 5．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【思路引导】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答． 【规范解答】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6， 由图2可知： 要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大， 上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6， 能看见的面数字之和为：； 左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6， 能看见的面数字之和为：； 右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6， 能看见的面数字之和为：； ∴能看得到的面上数字之和最小为：， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键． 基础夯实 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）如图是从左面和上面看到的由一些大小相同的小正方体构成的几何体的形状图，那么构成这个几何体的小正方体最多有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【思路引导】本题考查从不同方向看几何体，从上面看确定位置，从左面看确定数量，进行判断即可． 【规范解答】解：如图，构成这个几何体的小正方体最多有个； 故选B． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图点在线段上，且，则线段与线段的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的和差计算，由得到，那么． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路引导】根据正方体展开图分析即可求解． 本题考查了正方体的表面展开图，理解正方体的表面展开图的模型是解题的关键． 【规范解答】如图所示， 根据正方体展开图得，④的对面是⑤， ∴不能裁掉④． 故选：D． 4．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查正方体的相对面、相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 根据正方体的相对面得到关于x、y的方程，解方程求出x、y的值，即可求解． 【规范解答】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：1． 5．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）如图1、图2是由几个大小完全相同的正方体组成的几何体． (1)如图1，若将正方体①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从 （填“正面”“上面”或“左面”）看得到的图形没有发生改变； (2)请画出从上面和左面看图2中的几何体得到的图形． 【答案】(1)正面 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了从不同的方法看几何体，熟练掌握从不同方向看到几何体的形状，是解题的关键． （1）根据变化前后，从正面看到的正方形都是有3列，最左边2个正方形，中间和右边都是1个正方形，没有发生改变，即可得出答案； （2）根据从上面和左面看到的正方形行数和个数进行解答即可． 【规范解答】（1）解：图1从正面看有3列，最左边2个正方形，中间和右边都是1个正方形，将正方体①移走后，仍然有3列，最左边2个正方形，中间和右边都是1个正方形，因此将正方体①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从正面看得到的图形没有发生改变，从其他两个方向看均发生变化， 故答案为：正面； （2）解：从上面和左面看图2中的几何体得到的图形，如图所示： 培优拔高 1．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字，，，，，，其展开图如图所示．在一张不透明的桌子上，按图方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体置于桌面上，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的文字，分别求出最右边的正方体、最上边的正方体、左下角的正方体所能看到的数字之和最大的情况即可，掌握正方体表面展开图是解题的关键． 【规范解答】解：要使几何体能看得到的面上数字之和最大， 最右边的那个正方体所能看到的个数字为，，，，和为； 最上边的那个正方体所能看到的个数字为，，，，，和为； 左下角的那个正方体所能看到的个数字为，，，和为； 所以这个几何体能看得到的面上数字之和最大为：， 故选：． 2．如图，线段，图中所有线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了两点间的距离，关键是能够数出，，，的线段的条数，从而求得解． 从图可知长为的线段共4条，长的线段共3条，长为的线段共2条，长为的线段仅1条，再把它们的长度相加即可． 【规范解答】∵， ∴， ∴图中所有线段的长度之和为（）． 故选：C． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）用小立方块搭一个几何体，从正面看与从上面看这个几何体得到的形状图如图所示，则它最多需要 个小立方块． 【答案】14 【思路引导】本题主要考查了从不同方向看几何体，较强的空间想象能力是解题的关键． 从正面看可以分清物体各部分的上下和左右位置；从上面看可以分清物体各部分的左右和前后位置，据此进行分析即可解答． 【规范解答】解：综合从正面看和从上面看到的图形可知：这个几何体的底层最多要个小立方块；第二层最多要个，第三层最多要3个，因此这样的几何体最多要个． 故答案为14． 4．（25-26七年级上·河南·阶段练习）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是___________________；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，如果，则长方体纸盒的底面周长为_____； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，如果．则该长方体纸盒的体积为_______； 【问题进阶】（3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为_____________． 【答案】（1）①③④；（2）①；②1000；（3）58 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体、长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据图1可折成的盒子的底面是边长为的正方形即可； ②分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可； （3）根据“没有剪开的棱越短越好，展开图的周长越大”画出相应的图形，再进行计算即可． 【规范解答】解：（1）根据正方体的表面展开图的特征可知，①③④可以折成无盖的正方体， 故答案为：①③④； （2）①图1所折成的盒子的底面是边长为的正方形，因此长方体纸盒的底面周长， 故答案为：； ②由题意可知，所作出的长方体的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：1000； （3）要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， 所以最大周长为， 故答案为：58． 5．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【思路引导】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $