学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷01（浙江专用，人教A版选择性必修第一册+第二册：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数）

2025-2026学年高二上学期期末考试模拟卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019（选修1到选修2全部） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 所以当时，. 故选：B 2．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由，可得，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，解得. 故选：A. 3．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先找到一个平面总是保持与垂直，取，的中点，，连接，，.    因为是正方形，所以.因为底面.所以.又，所以平面.所以. 因为在中，，为的中点，所以.又，所以平面. 进一步.取，，的中点，，，连接，，，，易证平面平面. 故平面， 记，又是内的动点， 根据平面的基本性质得：点的轨迹为平面与平面的交线段， 在中，，，， 由余弦定理得:.故. 故选:B. 5．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 6．已知二次函数，设，若函数导函数的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意，，求导得， 观察的图像得：，即，的另一个零点为，即， 所以有，. 故选：D 7．设无穷等比数列的前项和为，若，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最大项 D．数列有最小项 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，由已知，则， 由可得且， 对于AB选项，若，， 当为奇数时，，此时，则， 当为偶数时，，此时，则， 此时数列不单调，AB都错； 对于CD选项，， 当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项； 当时，若为正奇数时，，则， 此时单调递减，则； 当为正偶数时，，则，此时单调递增，则. 故当时，的最大值为，最小值为. 综上所述，有最小项. 故选：D. 8．已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据对称性及可得直线的方程为， 由，可得，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 【答案】ACD 【详解】根据题意，圆心，半径为2， 过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图， 则，所以，，所以A正确，B错误； 四边形为正方形，中心为所以P、A、Q、B均在圆上，C正确； 所在直线方程为，D正确. 故选：ACD. 10．设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若倾斜角为，且，则 C． D．若点，则的最小值是5 【答案】ABD 【详解】抛物线的准线为，焦点为.设， 设直线的方程为，由,化简得， 所以，， 所以（时等号成立）.所以A正确. 当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限. 故，解得，所以，即，所以B正确. 当直线的方程为时，不妨设，此时，所以C错误. 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以D正确.故选：ABD 11．设函数，则下面说法正确的是（    ） A．当，时，函数在定义域上仅有一个零点 B．当，时，函数在上单调递增 C．若函数存在极值点，则或 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】的定义域为， 对于A，当时，， 由得，或，得， 所以函数在定义域上仅有一个零点，故A正确； 对于B，当时，函数， 当时，，故函数在上单调递增，故B正确； 对于C，， 设，则， 当时，，所以函数在定义域上单调递增， 即函数在定义域上单调递增，且当时，， 当时，，此时函数存在零点， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故此时函数存在极值点； 当时，令，则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 若函数存在极值点，则需，解得， 综上，当函数存在极值点时，或，故C正确； 对于D，因为在为增函数， 且时，，时，， 当时，， 想要恒成立， 则需时，，时，， 所以，即， 则，当时取“=”，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和，若，则 ． 【答案】4 【详解】由于，故，得，检验符合， 故答案为：4 13．若圆与曲线的公切线经过，求 ． 【答案】 【详解】由题知，公切线斜率存在，设公切线方程为， 则到公切线的距离等于半径，即，解得，所以公切线方程为， 对于，设切点为，所以， 则可得，解得.故答案为： 14．在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为 . 【答案】 【详解】 设三点坐标分别为. 由可得. 所以，，所以. ， 假设存在一点，则有. 因为，所以，因此点在直线上， 令为点到直线的距离，设点坐标为.显然有， 又.因此， 即的最小值为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点． (1)求到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由平面，且、平面， 故、，又底面为正方形， 故，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、, 则，，， 设平面的法向量为， 则有，即，令，则有、， 故可为， 则到平面的距离； （2）、，则， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16．（15分）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程；(2)当n取最大值时，求m的取值范围. 【答案】(1)，切线方程为；(2)n取最大值3时，m的取值范围为. 【详解】（1）时，在上， ， 若为切点，则， 故切线方程为，即， 若不是切点，设切点为， 则， 故切线方程为， 又在切线方程上， 故，整理得， 令，， 则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 又时，，故恒成立， 故，，无零点， 综上，，切线方程为 （2）设切点为，， 在处的切线方程为， 将代入切线方程中得， 整理得，令， 则， 列表如下： 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由得，解得或， 画出的图象，如下： 由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值， 故n取最大值3时，m的取值范围为. 17．（15分）如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．    (1)求证：直线的斜率为定值；(2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线, 设，， 由，消得， 由韦达定理得，又，得到， 又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：， 因此，又，所以为定值． （2）由（1）可知，，，， 因此，整理得， 所以到直线的距离， 因为，得，所以， 故． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；② 【详解】（1）依题意，，解得，所以的方程为. （2）①设直线的方程为，， 由，消去并化简得，则， ，则，所以 . ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 19．（17分）已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列 (1)若，且为等比数列，求数列的通项公式； (2)若，求证：存在m，使得为等差数列； (3)若存在m，满足是等比数列，求n的最大值. 【答案】(1)或；(2)证明见解析；(3)5 【详解】（1）由已知得， 是等差数列，， ， 为等比数列， ，， 是等比数列，或； （2）当时，， 构成等差数列； （3）设等差数列的公差为， 当时，则中至少有3项来自数列， 不妨记为，则为等比数列， ， ， 舍去， 且最多只能有两项来自数列， 当时，来自数列， 取或， 构造等差数列， 此时为有5项的等比数列. 所以n的最大值为 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年浙江高二上学期期末考试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019（选修1到选修2全部） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（    ）    A． B． C． D． 5．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，设，若函数导函数的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．设无穷等比数列的前项和为，若，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最大项 D．数列有最小项 8．已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 10．设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若倾斜角为，且，则 C． D．若点，则的最小值是5 11．设函数，则下面说法正确的是（    ） A．当，时，函数在定义域上仅有一个零点 B．当，时，函数在上单调递增 C．若函数存在极值点，则或 D．若恒成立，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和，若，则 ． 13．若圆与曲线的公切线经过，求 ． 14．在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 17．（15分）如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为． (1)求证：直线的斜率为定值； (2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 19．（17分）已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列 (1)若，且为等比数列，求数列的通项公式； (2)若，求证：存在m，使得为等差数列； (3)若存在m，满足是等比数列，求n的最大值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末考试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019（选修1到选修2全部） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（    ）    A． B． C． D． 5．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，设，若函数导函数的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．设无穷等比数列的前项和为，若，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最大项 D．数列有最小项 8．已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 10．设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若倾斜角为，且，则 C． D．若点，则的最小值是5 11．设函数，则下面说法正确的是（    ） A．当，时，函数在定义域上仅有一个零点 B．当，时，函数在上单调递增 C．若函数存在极值点，则或 D．若恒成立，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和，若，则 ． 13．若圆与曲线的公切线经过，求 ． 14．在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点． (1)求到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程；(2)当n取最大值时，求m的取值范围. 17．（15分）如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为． (1)求证：直线的斜率为定值；(2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 19．（17分）已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列 (1)若，且为等比数列，求数列的通项公式； (2)若，求证：存在m，使得为等差数列； (3)若存在m，满足是等比数列，求n的最大值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江高二上学期期末考试模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C B B D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】4;13．【答案】;14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由平面，且、平面， 故、，又底面为正方形， 故，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、, 则，，， 设平面的法向量为， 则有，即，令，则有、， 故可为， 则到平面的距离；······6分 （2）、，则， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为.······7分 16．（15分）【答案】(1)，切线方程为；(2)n取最大值3时，m的取值范围为. 【详解】（1）时，在上， ， 若为切点，则， 故切线方程为，即， 若不是切点，设切点为， 则， 故切线方程为， 又在切线方程上， 故，整理得， 令，， 则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 又时，，故恒成立， 故，，无零点， 综上，，切线方程为······7分 （2）设切点为，， 在处的切线方程为， 将代入切线方程中得， 整理得，令， 则， 列表如下： 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由得，解得或， 画出的图象，如下： 由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值， 故n取最大值3时，m的取值范围为.······8分 17．（15分）【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线, 设，， 由，消得， 由韦达定理得，又，得到， 又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：， 因此，又，所以为定值．···4分 （2）由（1）可知，，，，······3分 因此，整理得， 所以到直线的距离，······4分 因为，得，所以， 故．······4分 18．（17分）【答案】(1)；(2)①证明见解析；② 【详解】（1）依题意，，解得，所以的方程为.······2分 （2）①设直线的方程为，， 由，消去并化简得，则， ，则，所以 .······4分 ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以，······4分 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以，······4分 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是.······3分 19．（17分）【答案】(1)或；(2)证明见解析；(3)5 【详解】（1）由已知得， 是等差数列，， ， 为等比数列， ，， 是等比数列，或；······4分 （2）当时，， 构成等差数列；······3分 （3）设等差数列的公差为， 当时，则中至少有3项来自数列， 不妨记为，则为等比数列， ， ， 舍去，······4分 且最多只能有两项来自数列， 当时，来自数列， 取或， 构造等差数列， 此时为有5项的等比数列. 所以n的最大值为······6分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $