精品解析：浙江省杭州市第七中学2024-2025学年高二上学期期末考试(文美用)数学试题

杭七中2024学年第一学期 高二年级数学学科期末卷（文美用） 命题人：苏安凤 校对人：林莉莎 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题纸密封区内填写班级和姓名. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只需上交答题纸. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则求得复数，利用复数的模的公式可求得复数的模. 【详解】由，得， 所以. 故选：B. 2. 若数列是等差数列，且，则（ ） A. 22 B. 32 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项列式求解即可. 【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项，有. 故选：A 3. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把方程化为斜截式，可得斜率． 【详解】由，得， 所以斜率. 故选：C. 4. 如图，在中，是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 5. 已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆，双曲线定义结合轨迹判断各个选项即可； 【详解】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 6. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据列方程，解方程即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，成立； 当时，，即，，即，成立， 所以或. 故选：C. 7. 设椭圆的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，则，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】如图所示， 因为为直角三角形，则，可得， 则，所以的离心率. 故选：B 8. 已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点．若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（ ）． A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点得到，计算，，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】不妨取渐近线方程为，是中点，故，故， ，故，，， 根据勾股定理：，故，故焦距为. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的焦距，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定，是解题的关键. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的大 D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由图求出甲、乙两人6次的环数，然后分别求出甲、乙两人的平均数，中位数，众数，方差进行分析判断即可 【详解】由图可知甲打靶6次的成绩分别为8，6，8，6，9，8、乙打靶6次的成绩分别为4，6，8，7，10，10， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 所以甲、乙两人打靶的平均环数相等，所以A正确， 因为甲打靶6次的成绩从小到大为6，6，8，8，8，9，则中位数为8，乙打靶6次的成绩从小到大为4，6，7，8，10，10，则中位数，甲的环数的中位数比乙的大，所以B正确， 甲的环数的众数为8，乙的环数的众数为10，所以甲的环数的众数比乙的小，所以C错误， 因为甲打靶的成绩的方差为， 乙打靶的成绩的方差为，所以甲打靶的成绩比乙的更稳定，所以D正确， 故选：ABD 10. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ） A. 与可能相离 B. 不可能将的周长平分 C. 当时，被截得的弦长为 D. 被截得的最短弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项的正误；假设假设法可判断B选项的正误；利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误； 对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确； 对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，C选项错误； 对于D选项，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 11. 已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ） A. 若O为线段中点，则 B. 若，则 C. 存在直线l，使得 D. △PFQ面积的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意求出点的坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断选项；根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出即可判断选项；设，则，判断是否为零，即可判断选项；根据，结合基本不等式即可判断选项. 【详解】抛物线的准线为，焦点， 若O为中点，所以，所以，故正确； 若，则，所以，故错误； 设，则，所以，， 所以，所以FP与FQ不垂直，故错误； ， 当且仅当，即时，取等号，所以△PFQ面积的最小值为2，故正确. 故选. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】令可得，即. 故答案为： 13. 设为数列的前项和，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式计算即可求解. 【详解】易知， 由二次函数性质得，对称轴为，结合一定为正整数， 故在时，取得最小值，此时最小值为. 故答案为：. 14. 已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解. 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. 【小问1详解】 圆， 则圆心，因为圆与轴相切，则半径. 由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为2. 【小问2详解】 法一：设， 联立，得， ， 则， 所以. 法二：圆心到直线的距离， 则. 故. 16. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? （3）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 【答案】（1） （2）该市区高中生阅读量达标 （3） 【解析】 【分析】（1）求各组频率，结合频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图求平均数和中位数，结合题意分析判断即可； （3）根据分层抽样求各组人数，利用列表法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 所以a的值为. 【小问2详解】 周平均阅读时间的平均数的估计值为 ， 且，， 可知周平均阅读时间的中位数的估计值， 则，解得， 因为，， 所以该市区高中生阅读量达标. 【小问3详解】 在抽取学生人数为，设为； 在三组中抽取学生人为，设为； 在三组中抽取学生人数为，设为； 设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在内为事件M， 列表可得： 1 2 3 4 5 A B C D b 1 ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 3 ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ A ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ √ ╳ B ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ ╳ C ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ ╳ D ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ b ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ 可知，, 所以. 17. 如图，四边形为矩形，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：法1： ，， ，又． 四边形为矩形，． 平面平面，且平面平面，平面, 平面．平面，． 平面,平面． 法2：平面平面，且平面平面， 且平面,, 平面．平面，． 由两两垂直，则以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． , ， 由．可得，， 平面，平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）结合线面垂直及面面垂直的知识，先证平面，再证平面； （2）利用向量法求出平面的法向量，求出直线与平面所成角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合上问可知：， 设平面的法向量为 则，． 即，令，则．即． 因为， 设所求角的大小为．则 故直线与平面所成角的大小. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点，且. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F，且斜率为1的直线与椭圆C交于两点，求. （3）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线MA，NA分别与直线交于点，求的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率为且列方程组可求椭圆C的方程； （2）求出过右焦点F且斜率为1的直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式可求； （3）讨论两种情况，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出直线MA，NA的方程，结合韦达定理分别求出的坐标，推出可求的大小. 【小问1详解】 由题意得 解得， 从而， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 过右焦点F，且斜率为1的直线方程为，联立椭圆方程， 得， 由弦长公式得，. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，有，， 则，故，即. 当直线的斜率存在时，设，其中. 联立得. 由题意，知恒成立，设，则. 直线的方程为， 令，得，即，同理可得. 所以. 因为 ， 所以. 综上，. 【点睛】方法点睛:求解弦长的常见方法：1，利用弦长公式；2，利用两点间距离公式；3，圆的弦长可以用勾股定理求解；4，抛物线过焦点的弦长可用抛物线的定义求解 19. 已知数列A：具有性质：对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. （1）分别判断数列与数列是否具有性质P； （2）证明：； （3）证明：当时，成等差数列. 【答案】（1）数列不具有性质，数列具有性质P. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列新定义直接判断即可. （2）由定义知，，证明，利用累加法即可证得结论. （3）由（2）可证得，利用定义知是数列A中的项，可知，即可证得数列是以0为首项，公差为的等差数列． 【小问1详解】 由于，所以数列不具有性质，六组数中，每一组至少有一个数属于，所以数列具有性质P. 【小问2详解】 由数列A：具有性质，则与中至少有一个属于，又，则，于是，即； 由具有性质P可知， 因此， 即， 上边个式子累加得：， 则，所以. 【小问3详解】 由（2）知，，则， 而不是数列中的项，则是数列中的项， 于是，则有， 因此， 所以数列是以0为首项，公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题是一道新型的探索性问题，认真理解题目所给的数列新定义是解决问题的关键，通过解决探索性问题，培养学生综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭七中2024学年第一学期 高二年级数学学科期末卷（文美用） 命题人：苏安凤 校对人：林莉莎 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题纸密封区内填写班级和姓名. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只需上交答题纸. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若数列是等差数列，且，则（ ） A. 22 B. 32 C. 20 D. 10 3. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 7. 设椭圆的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点．若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（ ）． A. B. C. D. 4 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的大 D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定 10. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ） A. 与可能相离 B. 不可能将的周长平分 C. 当时，被截得的弦长为 D. 被截得的最短弦长为 11. 已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ） A. 若O为线段中点，则 B. 若，则 C. 存在直线l，使得 D. △PFQ面积的最小值为2 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 13. 设为数列的前项和，若，则的最小值为__________. 14. 已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为_________________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 16. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? （3）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 17. 如图，四边形为矩形，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点，且. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F，且斜率为1的直线与椭圆C交于两点，求. （3）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线MA，NA分别与直线交于点，求的大小. 19. 已知数列A：具有性质：对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. （1）分别判断数列与数列是否具有性质P； （2）证明：； （3）证明：当时，成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $