期末复习 02 二次函数压轴题大全 专项练习 （广州专用）2025-2026学年人教版九年级数学上册

2 1 期末复习02 二次函数压轴题大全（题型汇总 ） 【题型一、二次函数与角度问题】 1．如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长度； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．    (1)求该抛物线的解析式． (2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？ (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二、二次函数与特殊三角形问题】 5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点． (1)直接写出平移后新抛物线的表达式； (2)当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围； (3)若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 7．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 8．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． (1)“抛物线三角形”一定是 三角形； (2)若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值； (3)如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 【题型三、二次函数与平行四边形问题】 9．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 10．如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 14．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值； （3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 2 1 参考答案 1．(1) (2)或． (3)M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，得出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式列方程即可求解； （3）分点在点的上方和下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设点坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． （3）存在， ∵， ∴， 如图，分以下两种情况：    ①当点在点上方时，交轴于，， ∴， ∴，即 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当点在点下方时，交轴于， ， 同理可求， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 综上：或． 2．(1)，或 (2)6 (3)满足题意的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求解抛物线解析式，根据抛物线对称性质求解，两点之间的距离等知识． （1）利用待定系数法求解抛物线解析式即可． （2）根据二次函数的对称性质得出点坐标为，再根据两点之间的距离公式求解即可． （3）作关于直线对称的轴对称图形，根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为，点与点重合，点与点重合，，故点为抛物线上满足题意的点，坐标为． 取点关于轴的对称点，坐标为，求出解析式，再联立抛物线解析式则进一步即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意，点在抛物线上， 代入得， 解得， 抛物线解析式为： ，或 （2）解：抛物线对称轴为直线，点、点关于对称轴对称， ，， ∴点坐标为， ∴． （3）解：抛物线为轴对称图形，对称轴为直线； 令，得，点坐标为； 点、点、点在抛物线上，作关于直线对称的轴对称图形， 根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为， 点与点重合，点与点重合，， 故点为抛物线上满足题意的点，坐标为． 取点关于轴的对称点，坐标为， 则， 设解析式为， 则 解得： 则直线解析式为， 与抛物线联立： 得， 解得，（与重合，舍去） 令，得， 点也是符合题意的点； 综上，满足题意的点的坐标为或． 3．(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式； （2）设出点，用勾股定理求出点的坐标，从而求出，最后求出时间； （3）由被平分，确定出过点的直线的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）如图1，    设， ， ， ， ， 解得：舍去 ， （3）存在点，使被平分， 如图，   ， 在y轴上取一点N， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为 联立 解得：或 ． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、三角形的面积角平分线等知识，解题时根据灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标． 4．（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 【详解】解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1的函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 5．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据函数图象的平移规律可得新抛物线的表达式为； （2）画出图象C的示意图，仔细观察图象即可求解； （3）分两种情况∶①当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解∶②当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解． 【详解】（1）解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， 根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：； （2）解∶根据题意，画出图象如下： 由，可得顶点坐标， 根据图象可得： ①当点与顶点重合时， 直线与图象只有一个交点，此时 ②设与轴相交于点，令，得， 当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为， 根据对称性得 记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得 （舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或； （3）解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限， 理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限， 过点作轴于点于点，由平移，得， ， ， ，， ， ， 因为点，得，即， 又点在上， 得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点； ②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明， ，， 设，得， 又点在上，得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点， 根据平移得， 综上或． 6．(1)， (2)，M的坐标为 (3)1或2 【分析】本题考查二次函数和一次函数混合运用以及坐标法的应用，属于难题． 代入A、C求抛物线解析式，求与x轴交点得B，再求直线解析式； 设P点横坐标得M、N坐标，表出并配方求最值，进而得M坐标与最大面积； 分、、三种情况列方程，求解并舍去不合题意值． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 解得， 故点， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， 直线解析式为； （2）解：由题意，点， 则，，其中， ， 配方得， 当时，最大值为， ， 当最大时，最大，最大值为， 将代入，得， 故M的坐标为； （3）解：由（2）知，点，点，点， ， ， 当时，， 解得舍； 当时，， 解得不合题意舍， 当，， 解得舍去， 综上或 7．(1)， (2) (3)的最大值为：． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，如图，过作轴交于，而直线轴，可得轴，则，证明，可得，求解，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，即． 当，， ∴， 一次函数过点和， 代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，轴， ∴的纵坐标为2， ∴， 即有， 解得：（舍去）或， ∴． （3）解：∵面积为，面积为， ∴， 如图，过作轴交于，而直线轴， ∴轴，则， ∴， ∴， ∵，直线为， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点， ∴， 而，则有最大值， 当时，的最大值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．(1)等腰 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，会运用等腰直角三角形、等边三角形和矩形的性质建立等量关系，将函数问题转化为方程问题是解题的关键． （1）根据抛物线的轴对称性判断即可； （2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值． （3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形，那么必须满足，结合（1）的结论，得出这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，用p表示出、的长，通过这个等边三角形来列等量关系求出p的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称， ∴“抛物线三角形”是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）解：∵ ∴顶点为， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：存在． ∵， ∴顶点坐标为， 如图，作△与△关于原点中心对称， 则四边形为平行四边形，， 当时，平行四边形为矩形． 又∵， ∴△为等边三角形． 作，垂足为H． ∴． ∴． ∴（负值舍去） ∴，． ∴，． 设过点三点的抛物线，则 ， 解得 ∴所求抛物线的表达式为． 9．(1)，； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出四边形是菱形时，点P是线段的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解． （3）设点，首先推导出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 二次函数解析式为， 令，得， ； （2）解：如图，   点P在抛物线上， 设， 当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上， ，， 线段的垂直平分线的解析式为， ， ， 或； （3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，    令，解得或， ， ． ． ， 所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大， 设直线的解析式为 将点B、C的坐标代入得：， 解得 直线的解析式为， 设点，则点， ， 故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为， 故点 10．(1) (2) (3)存在点，点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； （3）解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ①如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ②如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 11．(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 12．(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式． （2）设，，利用两点间的距离公式得到，利用配方法求得最值．可证明为等腰直角三角形，则最大时，最大，求解即得到答案． （3）由题意，以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形，分三种情况讨论：①，②，③，借助于方程求得点的坐标，进而求得坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得， 此二次函数表达式为； （2）设直线为，因其经过，， ， 解得，， 直线的表达式为， 设，， ， ， ， ∴的最大值为， ，， 为等腰直角三角形， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 随增大而增大， 当的最大值为时， ； （3）答：存在以、、、为顶点的四边形是菱形； 解：若以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形， 二次函数的对称轴为，，， 在中由勾股定理可得，． 设，则，． 分三种情况讨论： 若， 则，解得， ； 此时四边形为菱形， ∵菱形对角线互相平分，由中点公式知： ， 即， 若，，得， ，； 此时四边形为菱形， 同理求得或， 若，，得或， ，． 、、三点共线， 舍去． 此时四边形为菱形， 此时 的坐标为：，，，． 13．(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 14．(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 15．（1）y=x2﹣4x+；（2）S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；（3）存在，E（，﹣），F（，）． 【分析】（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围； （3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形． 【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，则由题意可得： ，解得． ∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+； （2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方， ∴y＜0， 即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离． ∵OB是平行四边形OEBF的对角线， ∴S=2S△OBE=2×OB•|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣， ∵S=﹣（x﹣3）2+ ∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为； （3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形， ∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上， ∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形， 此时点F坐标为（，）． 【点睛】本题考查二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 16．(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $2 1 期末复习02 二次函数压轴题大全（题型汇总 ） 【题型一、二次函数与角度问题】 1．如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长度； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．    (1)求该抛物线的解析式． (2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？ (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二、二次函数与特殊三角形问题】 5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点． (1)直接写出平移后新抛物线的表达式； (2)当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围； (3)若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 7．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 8．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． (1)“抛物线三角形”一定是 三角形； (2)若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值； (3)如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 【题型三、二次函数与平行四边形问题】 9．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 10．如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 14．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值； （3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $