专题02 二次函数 17大题型（期中专项训练）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 题型1 二次函数的概念 题型10 二次函数的交点个数问题（重点） 题型2 根据二次函数的定义求参数 题型11 抛物线与x轴的交点问题 题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点） 题型12 根据二次函数图象确定相应方程根 题型4 与特殊二次函数有关的几何知识（重点） 题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点） 题型5二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点） 题型6 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（重点） 题型15 二次函数应用-面积问题（常考点） 题型7 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（重点） 题型16 二次函数应用-利润问题（常考点） 题型8 二次函数的平移变换 题型17二次函数与几何综合应用（重点） 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的概念（共2小题） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 题型二 根据二次函数定义求参数（共2小题） 1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 2．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 题型三 特殊二次函数的图像和性质（共7小题） 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．y有最小值是3 C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 7．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 题型四 与特殊二次函数有关的几何知识（共5小题） 1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为 ． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 5．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 题型五二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（共5题） 1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 3．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 4．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东肇庆·一模）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型六 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（共3题） 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 2．（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）若函数当时，该函数的最小值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 3．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 题型七 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（共5题） 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（    ） ①；②；③是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型八 二次函数的平移变换（共3题） 1．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（   ） A．B．C． D． 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共3题） 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）若点，都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 题型十 二次函数的交点个数问题（共5题） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为．抛物线经过点和．当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是 ． 题型十一 抛物线与x轴的交点问题（共4题） 1．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 4．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十二 根据二次函数图象确定相应方程根（共3题） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 题型十三 根据交点确定不等式的解集（共4题） 1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 3．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 题型十四 二次函数应用-类抛物线问题（共8题） 1．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 5．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 6．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少m? 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 题型十五 二次函数应用-面积问题（共3题） 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 3．（2025·湖北·模拟预测）如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m． (1)求与的函数关系式． (2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由； (3)当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？ 题型十六 二次函数应用-利润问题（共3题） 1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … (1)求关于的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． (1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ (2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ (3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少米； (2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金为500元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元； ②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？ 题型十七 二次函数与几何综合应用（共3题） 1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·辽宁·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． $专题02 二次函数 题型1 二次函数的概念 题型10 二次函数的交点个数问题（重点） 题型2 根据二次函数的定义求参数 题型11 抛物线与x轴的交点问题 题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点） 题型12 根据二次函数图象确定相应方程根 题型4 与特殊二次函数有关的几何知识（重点） 题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点） 题型5二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点） 题型6 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（重点） 题型15 二次函数应用-面积问题（常考点） 题型7 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（重点） 题型16 二次函数应用-利润问题（常考点） 题型8 二次函数的平移变换 题型17二次函数与几何综合应用（重点） 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的概念（共2小题） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如的函数（a，b，c是常数，），叫做二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 题型二 根据二次函数定义求参数（共2小题） 1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故选：D． 2．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． 题型三 特殊二次函数的图像和性质（共7小题） 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 本题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：因为是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上是解本题的关键. 对于二次函数 当， 函数图象的开口向上，函数有最小值，当时，最小值为， 据此直接可得答案. 【详解】解：由二次函数可得：， ∴函数图象的开口向上，函数有最小值， 当时，． 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．y有最小值是3 C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故B错误； 根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误； ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确； 故选：D ． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 6．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 7．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限， 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限， ∴符合题意的是选项， 故选：． 题型四 与特殊二次函数有关的几何知识（共5小题） 1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．根据题意得出的顶点坐标为，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则点的坐标为，将点的坐标代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵平行于轴，且， ∴点的坐标为， 将点，代入得： ， 解得， 将代入②得：， 所以点的纵坐标为， 故答案为：． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 5．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 题型五二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（共5题） 1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式为是解题关键．根据二次函数的对称轴公式为，代入二次函数解析式系数的值求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线． 故选：A ． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线的性质，先把函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴当时，取最大值2，故选项C正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 4．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键． 先根据一次函数图象确定出，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解． 【详解】解：观察四个选项，得出一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴抛物线开口方向向下， 则对称轴为直线，即对称轴在轴的正半轴， ∵， ∴抛物线不经过原点， ∴只有C选项图象符合． 故选：C． 5．（2025·广东肇庆·一模）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点为顶点，其纵坐标为最大值；点、在对称轴右侧， 时，随增大而减小， ， ， ， 故选：C． 题型六 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（共3题） 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 2．（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）若函数当时，该函数的最小值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由得到，然后根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，该函数取最小值，． 故选B． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 把解析式化成顶点式即可求得抛物线的对称轴为直线，分两种情况讨论：当时，，y有最大值为，求得，当时，，y有最大值为，求得． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线在时的最大值为3， 当时，开口向上， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 当时，开口向下， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 综上所述或． 故选：B． 题型七 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（共5题） 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①，，， ，错误； ②由图象可知：对称轴为直线，且， ，正确； ③由图象可知：当时， ， 又当时，， ； 与相加得， ，正确； ④， ， 又， ，正确． 综上，正确结论的序号是②③④． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线，可知：当时，； 即； ∴，故①正确． ②由①得：． 代入原解析式得：； 由图知，当时，，即， ∴，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设，则， ∴两边加c得到， ∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（    ） ①；②；③是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向上得，；由对称轴位于轴的右侧得，符号相异，；由抛物线与轴交于负半轴得，；∴，该选项正确，符合题意； ②由对称轴为直线得，，，的对称点为， 当时，，该选项正确，符合题意； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ∴，该选项错误，不符合题意； ④由②得， ， 将代入上式得，， 解得， 由关于x的一元二次方程没有实数根，结合图象得， ， 即， 解得， 又因为抛物线开口向上， ∴，该选项正确，符合题意； ⑤∵抛物线开口向上， ∴顶点为最低点，顶点纵坐标为最小值， ∴ 即，该选项错误，不符合题意； 所以正确的选项是①②④， 故选：B． 题型八 二次函数的平移变换（共3题） 1．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减括号内，上加下减括号外”是解题的关键． 根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故选B． 2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案． 【详解】解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为：， 故选：B． 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意， ∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴ 故选：D． 题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共3题） 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）若点，都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，都在抛物线上， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线与x轴的公共点的纵坐标都为0，可判定这两点是抛物线上的一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点为和，即这两个点关于抛物线的对称轴对称 ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据和可以确定抛物线的对称轴为，再由对称轴的，即可求出b．本题考查二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴抛物线的对称轴为：， ∴， ∴， 故选：A． 题型十 二次函数的交点个数问题（共5题） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，由一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，从而可联立方程，即，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点， ∴联立方程． ∴． ∴． ∴． 故选：B． 2．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先求出A、B点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点A的直线与抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出m值即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， 令，则或， ∴，， ∵直线与新图象有4个交点， ∴①当直线过点A时，则交点有3个，此时； ②当直线与抛物线相切时，则，整理得： ， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时m的范围为：． 故选：A． 3．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出点B和L的顶点坐标，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，顶点坐标为， ∵直线l过点， ∴点B到直线l距离2个单位长度，L的顶点距离直线l1个单位长度， ∴， 故选：B． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为．抛物线经过点和．当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线的图象及性质．根据抛物线经过点和，得到抛物线的对称轴为，根据增减性得到，从而，进而得到对称轴为，．根据抛物线与矩形的边有两个交点，求出抛物线过各个临界点时c的值，即可解答． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线开口向上，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是， ∴，解得， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线为． 如图，当抛物线经过原点时，， 如图，当抛物线经过点时， ，解得， ∴当时，抛物线与矩形的边有两个交点； 如图，当抛物线顶点在x轴上时， ，解得， 如图，当抛物线顶点在上时， ，解得， ∴当时，抛物线与矩形的边有两个交点； 或． 题型十一 抛物线与x轴的交点问题（共4题） 1．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：由抛物线中，对称轴为：， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 此抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选：D. 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点的知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与轴无交点的特点进行求解．根据的图象与轴无交点，当图象在轴上方时，，当图象在轴下方时，，由此能够求出的取值范围． 【详解】解：∵的图象与轴无交点， ∴当图象在轴上方时，， ∴当图象在轴上方时， 无解； 当图象在轴下方时，， ∴， ∴． ∴的取值范围是， 故选：C． 4．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与x轴交点情况，以及解一元一次不等式，解题的关键在于掌握：当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴没有交点． 据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：抛物线（c是常数）与x轴没有交点， ， 即，解得， 故选：D． 题型十二 根据二次函数图象确定相应方程根（共3题） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 由图知抛物线与x轴交于点，代入，求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：； 故选：B． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方程变形为，由交点坐标即可得出答案． 【详解】解：把一元二次方程变形为， 抛物线与直线交于，两点，点，横坐标分别为，3， 关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 题型十三 根据交点确定不等式的解集（共4题） 1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的下方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据解析式，得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为，结合图形即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的一个交点为， 则关于对称的点为，即抛物线与轴另一个交点为， 所以时，的取值范围是． 故答案为：． 题型十四 二次函数应用-类抛物线问题（共8题） 1．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用．取，求得x的值，取正值，即为小明将铅球推出的距离． 【详解】解：当时，， ， 或， ∴（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， ∵ ∴当时，有最大值． 故选：A． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)这串彩灯的最大长度为米 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． （1）设抛物线的解析式为：，得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）表示出彩灯的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意设，点， ， 彩灯两端的最低点到水面的距离为，秋季水位会下降约， 彩灯的最低点M，N在直线上， 点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，， 答：这串彩灯的最大长度为米． 5．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上的两个点之间的水平距离与货车宽度作比较，从而来解决实际问题． （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知 ， ∴货车可以通过． 6．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少m? 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令，即可求解； （2）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，令水柱最高点为点C，水柱落地处为点B， 由题意可知，，， 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，则， 水管的长度为米； （2）设水管要升高h米，则扩建后抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， 水管要升高． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由顶点设抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）先求得直线的解析式为，计算，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意得平移后的抛物线可表示为，将点代入，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 水流抛物线的解析式为； （2）解：由题意可知点坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解： 设喷灌架沿直线坡地草坪向右水平移动，则向上移动， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或． ∴结合图象可得，的取值范围为． 题型十五 二次函数应用-面积问题（共3题） 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】(1)栅栏的长为米 (2)矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设矩形围栏面积为，首先得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； （2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 【答案】(1)的长为8厘米或12厘米． (2)10 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． （1）设的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值， ∴当的长为10厘米时，矩形面积最大． 3．（2025·湖北·模拟预测）如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m． (1)求与的函数关系式． (2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由； (3)当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？ 【答案】(1) (2)生物乐园面积的面积能不能达到，见解析 (3)当时，生物乐园的面积最大． 【分析】本题考查求函数解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）由题意可得：的长为，过作于，证明四边形是矩形，得到．证明，得到，根据梯形的面积公式即可列出函数解析式； （2）令，根据一元二次方程根的判别式判断即可； （3）根据二次函数的图象及性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：的长为，过作于． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． （2）解：， 整理得：． ，所以方程没有实数解． 即生物乐园面积的面积能不能达到； （3）解：由（1）可知：． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，生物乐园的面积最大，最大值为． 题型十六 二次函数应用-利润问题（共3题） 1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … (1)求关于的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 【答案】(1) (2)当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 (3)每周至少可获得3000元的利润． 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： （1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴． ∴． ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； （3）解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵， ∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． (1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ (2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ (3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 【答案】(1)A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元 (2)8元 (3)实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （3）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为元． （2）解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 根据尽可能让顾客得到实惠，，保留，舍去， 故B系列产品的实际售价应定为每件元． （3）解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1000元． 故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少米； (2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金为500元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元； ②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？ 【答案】(1)通道的宽是6米； (2)①此时月租金总收入为27000元；②每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设通道的宽是米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据停车位占地面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①依据题意，由每个车位月租金从400元涨到500元，则上涨了个10元，故少租出10个车位，即租出的车位数量为，进而可以计算得解； ②依据题意，设每个车位的月租金上涨元，停车场的总收入为元，则可租出个车位，进而可得，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形， 根据题意得：， ∴（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是6米． （2）解：①由题意，∵每个车位月租金从400元涨到500元， ∴上涨了个10元， ∴少租出10个车位，即租出的车位数量为． ∴此时月租金总收入为（元）． ②由题意，设每个车位的月租金上涨元，停车场的总收入为元， ∴可租出个车位． ， 即， ， ∴当时，取得最大值，最大值为32890， ∴每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元． 题型十七 二次函数与几何综合应用（共3题） 1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点G的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与图形的面积，二次函数图象的性质，直角三角形的判定． （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出关系式即可； （2）先表示出点再设的高为，然后根据，求出，再计算可得答案； （3）先求出抛物线的对称轴是直线，可得点，再表示出、、，然后分两种情况，当为斜边时，则；当为斜边时，则，求出答案即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C， ∴点． 将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵点G在抛物线 上， ∴设点， ∴以为底的的高为， 在抛物线中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ， ，即， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点G的坐标为或． （3）解：存在，点Q的坐标为或． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴有以下两种情况，如图： ①当为斜边时，则， 即，解得． ②当为斜边时，则， 即，解得． 综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或． 2．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 3．（25-26九年级上·辽宁·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 【答案】(1)， (2)的面积最大值为 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． $