精品解析：甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2025-2026学年高三上学期11月阶段性考试数学试卷

2025-2026学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高三阶段性考试数学试卷（11月份） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为 （ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中， 平面，，于，，为中点，则三棱锥的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有（ ） A. B. C. D. 10. 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数在上具有性质，那么下列函数中具有性质的为（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为，为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，的最小值为 C. 时，直线与面交点轨迹长度为 D. 时，正方体被平面截的图形最大面积是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角与角终边关于轴对称若，则______． 13. 在体积为36的长方体中，面是边长为3的正方形，E，F，G分别是棱上的点，其中为棱的中点，且面面是矩形ABCD内一动点，则当取最小值时直线与平面EFG所成角的正弦值为__________. 14. 当时，恒成立，则实数的取值区间为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 二次函数为实数，对任意的都有和恒成立.已知的函数图象与的图象有且只有一个公共点，这个公共点在第二象限. （1）求证：； （2）若的最小值为-10，求函数的解析式. 16. 已知在区间上的最大值为． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）在中，角对边分别是．且．求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点、分别为和的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 18 已知函数，并设， （1）若图像在处切线方程为，求、的值； （2）若函数是上单调递减，则 ① 当时，试判断与的大小关系，并证明之； ② 对满足题设条件的任意、，不等式恒成立，求的取值范围 19. 已知椭圆C：的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，、分别为椭圆C的左、右焦点． （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆C上一点，．若，求实数λ的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高三阶段性考试数学试卷（11月份） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为 （ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再求，，最后从并集中去掉交集部分即可． 【详解】由，即，解得或， 所以或， 又，所以，， ∴阴影部分表示的集合为中去掉，即阴影部分表示为或． 故选：B． 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算以及共轭复数的定义计算可得结果. 【详解】由可得， 所以， 因此虚部为. 故选：C 3. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】依题意列出不等式再由对数运算法则计算，解不等式可得结果. 【详解】设至少过滤次数为， 则依题意可得，即， 即，所以， 可得， 所以至少过滤3次才能满足要求. 故选：B 4. 已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程求出，根据可得答案. 【详解】设，则，解得，即，， 因为，所以，可得， ，解得. 故选：A. 5. 将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变换规律求得的解析式，进而得的解析式，再利用三角函数的单调性求得的范围． 【详解】将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． ， 由，， 得， ∴的增区间为， 若在上单调递增，则， ∴且，∴且， 又，∴当时，， 故答案为：B． 6. 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用的单调性求得结果． 【详解】设，则， 由，得，又， 所以，故函数在上单调递减． 因为为奇函数，且定义域为， 所以，得， 所以， 不等式等价于，即， 又函数在上单调递减，所以， 故不等式的解集是． 故选：D． 7. 在三棱锥中， 平面，，于，，为中点，则三棱锥的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出平面，可得出，可得出，设点到平面的距离为，利用锥体的体积公式结合基本不等式可求得三棱锥体积的最大值. 【详解】因为平面，、平而，所以，， 因为为的中点，则， 又因为，，、平面，所以平面， 又平面，则， 又，而，、平面，所以平面， 又平面，所以，则， 设点到平面的距离为， 所以， 当且仅当且平面时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为， 故选：B． 8. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象与性质及函数图象的翻折可求解. 【详解】， 当时，在内单调递增，满足题意． 当时，令，其对称轴为，零点为和， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合题意， 当，时，因为，所以， 所以， 所以函数在内单调递增，满足题意． 综上知，实数的取值范围是． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理化简得选项C正确；利用三角形面积公式化简得选项D错误；利用余弦定理得选项A错误；利用正弦定理得选项B正确. 【详解】解：由正弦定理得, 所以, 因为,所以选项C正确； 由题得，所以选项D错误； 由余弦定理得，所以选项A错误； 由正弦定理得.所以选项B正确. 故选：BC 10. 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数在上具有性质，那么下列函数中具有性质的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得，逐项判断即可得结论． 【详解】对于A，因为函数是上的奇函数，可找关于原点对称的点， 比如，，则有，故函数在上具有性质，故A符合； 对于B，因为函数是上奇函数，可找关于原点对称的点， 比如，，则有，故函数在上具有性质，故B符合； 对于C，假设存在不相等，，使得， 即，整理得，所以，与假设矛盾，函数在上不具有性质，故C不符合； 对于D，函数为上的偶函数，，令， 比如，，则，故函数在上具有性质，故D符合. 故选：ABD． 11. 已知正方体的棱长为，为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，的最小值为 C. 时，直线与面的交点轨迹长度为 D. 时，正方体被平面截的图形最大面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，以及线面垂直的性质定理，证明选项A的正误；根据向量的线性运算，判断线段和最小的点的位置，由勾股定理求出结果，判断选项B的正误；根据线面相交的性质，判断交点轨迹，进而求出轨迹长度，判断选项C的正误；根据正方体的性质，判断截面的形状，进而求出截面面积公式，构造函数，根据函数导数判断函数单调性，求出面积最大值，判断选项D的正误. 【详解】 如图所示，取中点，的中点，连接，，，则， 因为，，， 所以，即点在线段上，因为为线段的中点， 则，故，所以， 由于， 所以，又平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B选项，在上取点，使得，在上取点，使得， 因为，，，所以点在线段上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如下图所示， 连接交于点，即三点共线时，取得最小值， 其中由勾股定理得：，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，，，时， 由向量共线定理的推论可得：点在线段上， 连接，，交于点，交于点，连接， 则线段即为直线与面的交点轨迹，其中三角形是等边三角形，， 由三角形相似可知：，而，所以， 同理可得，所以是等边三角形，所以， 直线与面的交点轨迹长度为，故C错误； 由选项的分析可知，点在线段上， 连接，相交于点，当位于线段上时，连接并延长交于点， 连接，则平面截正方体所得图形为， 则当与重合时，与重合，此时截面面积最大，面积为； 当位于线段上不包括点时，如下图所示， 连接并延长，交于点，过点作交于点，连接， 则四边形即为平面截正方体所得的截面， 设，则由平行性质可知：，则，所以四边形为等腰梯形， 其中，设梯形的高为，则， 则截面面积为， 令， 则在上恒成立，即在单调递减， 所以当时，取得最大值，即截面面积取得最大值，最大面积为，此时与点重合， 因为，所以时，正方体被平面截的图形最大面积是，所以D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式，结合两角终边关于轴对称的性质、诱导公式进行求解即可 【详解】因为角与角的终边关于轴对称， 所以， 所以， 故答案为： 13. 在体积为36的长方体中，面是边长为3的正方形，E，F，G分别是棱上的点，其中为棱的中点，且面面是矩形ABCD内一动点，则当取最小值时直线与平面EFG所成角的正弦值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据已知求出相关线段长度，再建立合适的空间直角坐标系并标注出相关点坐标，根据已知分别求出平面EFG的法向量和，最后应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】由题意，，， 如图，以方向x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， 所以， 因为平面EFG平面，则平面EFG的法向量，即为平面的法向量， 设平面的法向量，则，取，则， 设，则， 所以， 由于，则时取得最小值，为， 此时N，则， 则直线与平面所成的角的正弦值为. 故答案为：0 14. 当时，恒成立，则实数的取值区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为当，时，恒成立，令，只需，即可得出答案． 【详解】解：由当，时，恒成立， 则当，时，恒成立， ， 则， 令， 则， 则在，上单调递减， 因为， ， 所以存在，使得，即， 所以． 当时，，，单调递增， 当，时，，，单调递减， 所以， 又， 所以，则， 所以， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 二次函数为实数，对任意的都有和恒成立.已知的函数图象与的图象有且只有一个公共点，这个公共点在第二象限. （1）求证：； （2）若的最小值为-10，求函数的解析式. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得到时，，时，，从而求解；. （2）由（1）得到二次函数对称轴，从而在上单调递减，则，再由的函数图象与的图象有且只有一个公共点，由方程的判别式求解. 【小问1详解】 解：由题意可得， 当时，； 当时，， 则①， ， 同时有， 利用①式解得②， 已知函数与只在第二象限有唯一公共点，则二次函数开口向下，③， 由②③可得. 【小问2详解】 由（1）可得二次函数对称轴，则在上单调递减， 即， 方程的判别式， 解得或 若成立，则，不满足，故舍去； 若成立，则，满足， 函数解析式. 16. 已知在区间上的最大值为． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）在中，角的对边分别是．且．求的取值范围． 【答案】（1），最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）一般的，求三角函数的周期性等问题，需要将函数化为形式，再求解即可； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最小值，求出角的范围，化简函数表达式，进而求解函数的值域即可. 【小问1详解】 （1）因为， ， ， 所以， 即， 又因为，所以，则， 所以的最大值为，得：， 所以，故． 故的最小正周期为：． 【小问2详解】 因为， 所以，即， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），得， ， ， 所以， 又，， 故的取值范围为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点、分别为和的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助等腰三角形性质可得、，再利用线面垂直判定定理与性质定理即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线方向向量与平面法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由，，是等腰直角三角形， 此时，又，， ，， 由，， 此时，，有四点共面， 又，、平面， 直线平面，又平面，； 【小问2详解】 由，，且，平面， 根据，是等边三角形， 以为原点，，所在边为轴，轴， 过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量， 有，即，取，则， 设直线与平面夹角为， 则. . 18. 已知函数，并设， （1）若图像在处的切线方程为，求、的值； （2）若函数是上单调递减，则 ① 当时，试判断与的大小关系，并证明之； ② 对满足题设条件的任意、，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】（1），；（2）①见解析 ，② ． 【解析】 【详解】（1）因为，所以， 又因为图像在处的切线方程为， 所以，即，解得，． （2）①因为是上的单调递减函数，所以恒成立， 即对任意的恒成立， 所以，所以，即且， 令，由，知是减函数， 故在内取得最小值，又， 所以时，，即． ② 由①知，，当时，或， 因为，即，解得，或，所以， 而， 所以或， 不等式等价于， 变为或恒成立，， 当时，，即，所以不等式恒成立等价于恒成立，等价于， 而， 因为，，所以，所以，所以， 所以，所以． 19. 已知椭圆C：的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，、分别为椭圆C的左、右焦点． （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆C上一点，．若，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由给定的条件，求出即可得椭圆C的方程. （2）设，结合椭圆定义、椭圆方程建立函数关系，利用椭圆的范围求解即得. 【小问1详解】 由椭圆C：的离心率为，得，解得， 由长轴长与短轴长的和为6，得，则， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由（1）知，，，而， 因此， 由，得，则， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $