专题04 幂函数、指数函数与对数函数全章复习（期末复习讲义）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题04 幂函数、指数函数与对数函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 考点1 幂函数的定义与形式 能准确判断幂函数的标准形式，明确指数对定义域的限制 基础必考点，常出小题；易混淆幂函数与其他函数（如指数函数）的形式 考点2 幂函数的图像与性质 能根据指数特征判断幂函数的图像形状，运用单调性、奇偶性等性质解题 高频考点，小题常考；易忽略定义域对图像、性质的影响 考点3 指数函数的定义与形式 能依据定义判断指数函数，明确底数（a>0 且 a≠1）的范围限制 基础必考点，常出小题；易错误使用不符合底数要求的表达式 考点4 指数函数的图像与性质 能根据底数大小判断指数函数的图像特征，运用单调性、值域等性质分析问题 重点考点，小题 / 解答题常涉及；易颠倒不同底数对应的单调性 考点5 对数函数的定义与形式 能依据定义判断对数函数，明确底数（a>0 且 a≠1）、真数（x>0）的限制 基础必考点，常出小题；易忽略真数或底数的合规性条件 考点6 对数函数的图像与性质 能根据底数大小判断对数函数的图像特征，运用单调性、定点等性质解题 重点考点，小题 / 解答题常考；易混淆图像定点与底数对应的单调性 考点7  三类函数的性质综合 能综合判断幂函数、指数函数、对数函数的单调性、奇偶性，结合条件推导结论 中档考点，小题 / 解答题均涉及；易错误推导复合函数的性质传递 考点8 复合函数问题 能结合函数性质（单调性、定义域），求解三类函数的最值与值域 基础考点，常与单调性结合考查；易忽略定义域对值域的限制 考点9 三类函数的综合应用（含复合） 能分析三类函数的复合结构，解决定义域、单调性问题，或从实际问题抽象函数模型求解 难点考点，解答题常考；易混淆复合函数的内外层性质传递，忽略实际情境的变量限制 知识点01 幂函数的概念 定义 当指数 固定，等式 确定了变量 随变量 变化的规律，称为指数为 的幂函数． 使得 有意义的 的取值范围，称为此幂函数的定义域．幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数 的值有关． 下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 1．形式判断错（系数非 1、底数含系数，如 ）； 2．与指数函数混淆（颠倒底数／指数位置）； 3．忽略指数 对定义域的限制（如 需 ）； 4． 时漏 的条件； 5．误认指数只能是整数（可为分数、无理数）。 知识点02 幂函数的图像 作函数的大致图像的步骤：列表一描点一连线．在平面直角坐标系中把满足 的一切点 描绘出来，就构成幂函数 的图像．需要注意幂函数的图像依赖于指数 的值，可以有不同的形状。 五个常用幂函数的图像如下: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限 【答案】四 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 1．指数 影响判断错（正负／分数／整数对图像形状误判）； 2．过定点混淆（误记过（ 0,0 ），忽略 时 ）； 3．定义域限制漏考虑（如 漏 负漏 ）； 4．奇偶性与对称性对应错（ 为分数时对称关系误判）； 5．单调性判断反（ 时（ ）单调性颠倒）； 6．与指数／二次函数图像混淆（如 与 弄混）。 知识点03 幂函数的性质 所有的幂函数在 上都是有定义的，并且图像都过点 ． 1.当 时，幂函数 有下列性质： （1）图像都过点 和 ； （2）在第一象限内，函数值随 的增大而增大，此时称幂函数 在 上是严格增函数； （3）在第一象限内，当 时，图像上凸；当 时，图像下凸． 2.当 时，幂函数 有下列性质： （1）图像都过点 ； （2）在第一象限内，函数值随 的增大而减小，此时称幂函数 在区间 上是严格减函数，图像都下凸； （3）在第一象限内，当 的值从右趋于原点时，图像在 轴上方无限逼近 轴，当 趋于 时，图像在 轴上方无限逼近轴. 3.当 时，幂函数 有下列性质： 是直线 去掉一点 ，它的图像不是直线． 已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数 ． 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为： 1．定义域判断错（ 负漏 ，偶次根漏 ）； 2．单调性混淆（ 正负对 单调性判断反）； 3．奇偶性误判（未先验定义域对称，分数指数乱判奇偶）； 4．过定点记错（ 时误认过（ 0,0 ））； 5．值域对应错（正奇／偶次幂的值域混淆）； 6．与指数／二次函数性质混淆。 知识点04 五个常用幂函数的性质 函数 定义域 单调性 增函数 在 上是增函数，在 ， 0］上是减函数 增函数 增函数 在 上是减函数，在 ，0 ）上是减函数 定点 已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ． 【答案】 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】由幂函数的性质求解即可 【详解】解：因为幂函数为奇函数，且在上单调递减， 所以为负奇数， 因为， 所以， 故答案为： 1．定义域混淆 漏 漏 ）； 2．单调性误判 说全体增， 说全体减）； 3．奇偶性错判 误判偶函数， 误判奇函数 $)$ ； 4．过定点／值域记错（ 误过 值域漏非负）； 5．函数特征混淆 与 与 性质弄混）。 知识点05 指数函数的定义 定义 当底数 固定,且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的指数函数 需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正. 形式上的严格性：只有形如 （ 且 ）的函数才是指数函数，像 等函数都不是指数函数． 若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 1．底数范围错（ 或 ，违反 且 ）； 2．形式误判（系数非 1、底数含变量，如 ）； 3．与幂函数混淆（颠倒底数／指数位置）； 4．漏记定义核心条件（忽略 且 的双重要求）。 知识点06 指数函数的图像 用五点法作指数函数的图像. （1）指数函数 与 的图像关于 轴对称． （2）指数函数 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越远； 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越近． 6．函数的图像恒过定点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据函数解析式可求图像所过的定点. 【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为， 故函数图象恒过定点， 故答案为： 1．定点记错（误过 ）； 2．单调性颠倒（ 搞反）； 3．底数对陡峭度判断错； 4．误画与 轴相交； 5．与幂函数／二次函数混淆； 6． 误判为指数函数。 知识点07 指数函数的性质 图 像 图像 特征 (1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交 (2)过定点(0,1) (3)由左至右图像上升 (3)由左至右图像下降 函数性质 (1)定义域为R,函数值恒正 (3)在R上是严格增函数 (3)在R上是严格减函数 (4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像关于轴对称 已知，且函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数相关概念直接计算求解即可. 【详解】因为函数在上是严格减函数， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 1．底数对单调性判断反； 2．值域误含非正数； 3．定点记错（非 ）； 4．误判奇偶性（实际非奇非偶）； 5．与幂函数性质混淆； 6．忽略 且 前提。 知识点08 对数函数的定义 定义 当底数 固定，且 时， 以 为底的对数 确定了变量 随变量 变化的规律，称为底为的对数函数. 注意： （1）对数函数的定义域为 （全体正数）； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案. 【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 故选:A. 1．底数违反 且 ； 2．真数忽略 ； 3．形式误判（系数非 1、底数／真数颠倒）； 4．与指数函数定义混淆。 知识点09 对数函数的图像 图像 对数函数 且 的图像过定点 ，所以讨论与对数函数有关的函数的图像过定点的问题，只需令真数为 1 ，解出相应的 、 ，即可得到定点的坐标． 掌握三组关系—一底数 与函数图像的关系 （1）底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂：当 时，对数函数的图像＂上升＂； 当 时，对数函数的图像＂下降＂． （2）底数的大小决定了图像相对位置的高低： 不论是 还是 ，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大． （3）函数 与 且 的图像关于 轴对称． 函数且的图像必过的定点坐标为 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【详解】令，可得，则， 所以定点坐标为. 故答案为：. 1．定点记错（误过 ）； 2．单调性颠倒（ 搞反）； 3．误画 部分（忽略 ）； 4．错画与 轴相交； 5．底数对陡峭度判断错； 6．与指数／幂函数图像混淆。 知识点10 对数函数的性质 图像 性质 在上是严格增函数 在上是严格减函数 当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时， 函数 的定义域为 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数 的定义域为. 故答案为：. 1．忽略真数 的定义域限制； 2．底数 与 的单调性颠倒； 3．值域误判为非全体实数； 4．定点记错（非 ）； 5．误判为奇／偶函数（实际非奇非偶）； 6．与指数函数性质混淆； 7．漏记 且 的前提。 题型一 由对数函数的单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：利用对数函数单调性（ 时严格增， 时严格减），将对数不等式转化为整式不等式。 2．关键步骤： 先保证定义域：对数真数 、底数 且 ，缺一不可； 去对数符号：根据单调性去掉对数，复合函数遵循＂同增异减＂； 含参处理：按底数 的范围分类讨论，验证解集合理性。 3．易错点：忽略定义域限制，直接转化不等式导致增根。 【典例1】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为 . 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知定义在上的函数的表达式为，若此函数为奇函数. (1)求证：在上为严格增函数； (2)若为实数，解关于的不等式：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知，函数； (1)当时，解不等式； (2)若函数的值域为，求的取值范围； 【变式4】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 题型二对数型复合函数的单调性 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：复合函数单调性遵循＂同增异减＂，先拆分内外层函数单独分析。 2．关键步骤： 第一步求定义域：确保对数真数 ，确定函数有效范围； 第二步分析内层函数：如二次函数、一次函数的单调区间； 第三步结合外层对数函数：根据＂同增异减＂确定复合函数单调区间。 3．易错点：未先求定义域直接分析单调性，导致区间无效。 【典例2】（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）下列关于x的函数中，在其定义域上是严格增函数的是（填序号）： . ①；②；③；④；⑤. 【变式2】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知. (1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值. 题型三 求对数型复合函数的定义域 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：满足所有限制条件，核心是对数真数 ，兼顾其他附加条件。 2．关键步骤： 列不等式组：对数真数 分母 （若有）+ 偶次根式被开方数 （若有）； 解不等式组：分步求解，取所有不等式的交集； 结果表示：用区间或集合规范表示，避免遗漏边界。 3．易错点：遗漏对数底数 且 的隐含条件，或复杂表达式未化简直接列不等式。 【典例3】（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的定义域是 . 【变式4】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【变式5】（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 题型四 对数型函数图象过定点问题 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：定点与参数无关，令对数真数 （使对数值恒为 0 ）。 2．关键步骤： 令真数 ：求解 的值，消去参数影响； 求对应 值：将 代入函数，得到定点纵坐标； 验证合理性：确认定点在函数定义域内。 3．拓展应用：可结合定点求参数，或分析图象平移后的定点。 【典例4】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 【变式1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【变式2】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）已知常数 且 ，假设无论 取何值，函数 的图象恒经过一个定点， 则此点的坐标是 . 【变式4】函数过定点 . 题型五 仰角俯角问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：数形结合，将方程解的个数、不等式恒成立转化为图象交点或位置关系。 2．关键步骤： 画大致图象：标注定点、交点、渐近线、单调区间等关键点； 转化问题：方程解的个数 = 图象交点个数，不等式恒成立 =图象上下覆盖关系; 分析边界:关注渐近线、区间端点的函数值，避免遗漏特殊情况。 3.常见场景:零点个数判断、参数范围求解、不等式恒成立问题。 【典例5】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ． 【变式2】如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 ．    【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【变式4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设 (1)作出函数的大致图象，并指出它的单调区间； (2)当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数. 题型六 对数函数的值域（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心法则:换元转化，令t= 对数真数，将对数函数转化为 ，结合 的值域求 的范围。 2．关键步骤： 求 的范围：由函数定义域和内层函数（如二次函数、一次函数）性质确定 的取值区间； 求 的值域：根据 的单调性，结合 的范围得到 的最值或值域； 含参处理：对内层函数参数（如二次函数对称轴、最值）分类讨论，确保 。 3．易错点：未先确定 的范围，直接求对数函数值域。 【典例6】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【变式1】已知实数满足. （1）求的取值范围； （2）若函数，求的是大值和最小值，并求此时的值. 【变式2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 题型七 指数函数的单调性（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：底数决定单调性（ 时严格增， 时严格减），复合函数遵循＂同增异减＂。 2．关键步骤： 简单指数函数：直接利用单调性解不等式、比较大小； 复合指数函数：先分析内外层函数单调性，再判断复合函数单调性； 分段函数：保证分段区间衔接处单调性一致，列不等式组求解参数。 3．含参处理：按底数 的范围和内层函数参数分类讨论。 【典例7】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是 ． 【变式1】（23-24高一上·上海宝山·期末）若且在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为 . 【变式3】（23-24高一上·上海·月考）设为常数且，若函数在R上严格增函数，则实数的取值范围为 . 【变式4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型八 指数函数的值域（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：指数函数本身值域为 ，复合函数通过换元转化为二次函数、对勾函数等求值域。 2．关键步骤： 换元转化：令 指数部分，将复合函数转化为关于 的常见函数； 求 的范围：由定义域和内层函数性质确定 的取值区间； 求值域：结合常见函数单调性，得到最终值域。 3．分段函数：各段值域取并集，注意分段点函数值的衔接。 【典例8】（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 【变式3】（24-25高一上·上海静安·期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. (1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 题型九 指数函数图像应用（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：数形结合，利用指数函数的定点 、单调性、渐近线分析问题。 2．关键步骤： 画大致图象：标注定点、渐近线（ 轴）、单调方向； 转化问题：方程解的个数 = 图象交点个数，不等式 = 图象上下关系； 分析参数：根据图象平移、伸缩规律，结合交点或覆盖关系求参数范围。 3．常见场景：零点个数判断、恒成立问题、图象变换后的交点分析。 【典例9】（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的表达式； (2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）； (3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型十 指数型函数图象过定点问题（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：定点与参数无关，令指数部分 （使指数值恒为 1 ）。 2．关键步骤： 令指数部分 ：求解 的值，消去参数影响； 求对应 值：将 代入函数，得到定点纵坐标； 拓展应用：判断图象平移后的定点，或结合定点求参数。 3．易错点：混淆指数和对数型函数定点的求解方法。 【典例10】函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数且的图象恒过定点的坐标是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数（常数且）的图像总是经过点 . 题型十一 求幂函数的解析式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：幂函数定义为 （系数为 1 、指数为常数），代入已知点求参数 。 2．关键步骤： 设解析式：严格遵循幂函数定义，设 ，不可添加系数； 求参数 ：代入图象上的已知点坐标，解方程得 ； 验证：结合定义域、奇偶性验证解析式合理性。 3．易错点：误将幂函数与指数函数混淆（如 不是幂函数）。 【典例11】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【变式1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【变式3】（22-23高一上·上海崇明·期末）已知幂函数的图像经过点，则 ． 题型十二 幂函数的单调性（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：指数 时， 在 上严格增； 时，在 上严格减；偶函数需兼顾对材区间单调性。 2．关键步骤： 由 判断基本单调性：确定在 上的增减性； 结合奇偶性拓展：偶函数在 上单调性与 相反； 解不等式：利用单调性转化不等式，兼顾定义域。 3．含参处理：按指数 的正负分类讨论，或结合单调性求参数范围。 【典例12】（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 题型十三 反函数（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：反函数与原函数关于直线 对称，原函数过 则反函数过 。 2．关键步骤： 求反函数：先求原函数值域（反函数定义域），再解 关于 的方程，互换 x, y 得解析式； 利用对称性：求参数或解不等式时，转化为原函数的对应问题； 易错点：忽略原函数值域，导致反函数定义域错误。 【典例13】设已知函数，若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值是 . 【变式1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 5．（24-25高一上·上海静安·期末）已知 (1)设，，判断集合A与集合B的包含关系并说明理由； (2)用反证法证明，a，b，c，d至少有一个不小于1，至少有一个不大于1. 6．（24-25高一上·上海宝山·期末）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 2．（24-25高一上·上海·期末）甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 4．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围; (3)设 为实数，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域. １ / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂函数、指数函数与对数函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 考点1 幂函数的定义与形式 能准确判断幂函数的标准形式，明确指数对定义域的限制 基础必考点，常出小题；易混淆幂函数与其他函数（如指数函数）的形式 考点2 幂函数的图像与性质 能根据指数特征判断幂函数的图像形状，运用单调性、奇偶性等性质解题 高频考点，小题常考；易忽略定义域对图像、性质的影响 考点3 指数函数的定义与形式 能依据定义判断指数函数，明确底数（a>0 且 a≠1）的范围限制 基础必考点，常出小题；易错误使用不符合底数要求的表达式 考点4 指数函数的图像与性质 能根据底数大小判断指数函数的图像特征，运用单调性、值域等性质分析问题 重点考点，小题 / 解答题常涉及；易颠倒不同底数对应的单调性 考点5 对数函数的定义与形式 能依据定义判断对数函数，明确底数（a>0 且 a≠1）、真数（x>0）的限制 基础必考点，常出小题；易忽略真数或底数的合规性条件 考点6 对数函数的图像与性质 能根据底数大小判断对数函数的图像特征，运用单调性、定点等性质解题 重点考点，小题 / 解答题常考；易混淆图像定点与底数对应的单调性 考点7  三类函数的性质综合 能综合判断幂函数、指数函数、对数函数的单调性、奇偶性，结合条件推导结论 中档考点，小题 / 解答题均涉及；易错误推导复合函数的性质传递 考点8 复合函数问题 能结合函数性质（单调性、定义域），求解三类函数的最值与值域 基础考点，常与单调性结合考查；易忽略定义域对值域的限制 考点9 三类函数的综合应用（含复合） 能分析三类函数的复合结构，解决定义域、单调性问题，或从实际问题抽象函数模型求解 难点考点，解答题常考；易混淆复合函数的内外层性质传递，忽略实际情境的变量限制 知识点01 幂函数的概念 定义 当指数 固定，等式 确定了变量 随变量 变化的规律，称为指数为 的幂函数． 使得 有意义的 的取值范围，称为此幂函数的定义域．幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数 的值有关． 下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 1．形式判断错（系数非 1、底数含系数，如 ）； 2．与指数函数混淆（颠倒底数／指数位置）； 3．忽略指数 对定义域的限制（如 需 ）； 4． 时漏 的条件； 5．误认指数只能是整数（可为分数、无理数）。 知识点02 幂函数的图像 作函数的大致图像的步骤：列表一描点一连线．在平面直角坐标系中把满足 的一切点 描绘出来，就构成幂函数 的图像．需要注意幂函数的图像依赖于指数 的值，可以有不同的形状。 五个常用幂函数的图像如下: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限 【答案】四 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 1．指数 影响判断错（正负／分数／整数对图像形状误判）； 2．过定点混淆（误记过（ 0,0 ），忽略 时 ）； 3．定义域限制漏考虑（如 漏 负漏 ）； 4．奇偶性与对称性对应错（ 为分数时对称关系误判）； 5．单调性判断反（ 时（ ）单调性颠倒）； 6．与指数／二次函数图像混淆（如 与 弄混）。 知识点03 幂函数的性质 所有的幂函数在 上都是有定义的，并且图像都过点 ． 1.当 时，幂函数 有下列性质： （1）图像都过点 和 ； （2）在第一象限内，函数值随 的增大而增大，此时称幂函数 在 上是严格增函数； （3）在第一象限内，当 时，图像上凸；当 时，图像下凸． 2.当 时，幂函数 有下列性质： （1）图像都过点 ； （2）在第一象限内，函数值随 的增大而减小，此时称幂函数 在区间 上是严格减函数，图像都下凸； （3）在第一象限内，当 的值从右趋于原点时，图像在 轴上方无限逼近 轴，当 趋于 时，图像在 轴上方无限逼近轴. 3.当 时，幂函数 有下列性质： 是直线 去掉一点 ，它的图像不是直线． 已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数 ． 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为： 1．定义域判断错（ 负漏 ，偶次根漏 ）； 2．单调性混淆（ 正负对 单调性判断反）； 3．奇偶性误判（未先验定义域对称，分数指数乱判奇偶）； 4．过定点记错（ 时误认过（ 0,0 ））； 5．值域对应错（正奇／偶次幂的值域混淆）； 6．与指数／二次函数性质混淆。 知识点04 五个常用幂函数的性质 函数 定义域 单调性 增函数 在 上是增函数，在 ， 0］上是减函数 增函数 增函数 在 上是减函数，在 ，0 ）上是减函数 定点 已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ． 【答案】 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】由幂函数的性质求解即可 【详解】解：因为幂函数为奇函数，且在上单调递减， 所以为负奇数， 因为， 所以， 故答案为： 1．定义域混淆 漏 漏 ）； 2．单调性误判 说全体增， 说全体减）； 3．奇偶性错判 误判偶函数， 误判奇函数 $)$ ； 4．过定点／值域记错（ 误过 值域漏非负）； 5．函数特征混淆 与 与 性质弄混）。 知识点05 指数函数的定义 定义 当底数 固定,且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的指数函数 需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正. 形式上的严格性：只有形如 （ 且 ）的函数才是指数函数，像 等函数都不是指数函数． 若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 1．底数范围错（ 或 ，违反 且 ）； 2．形式误判（系数非 1、底数含变量，如 ）； 3．与幂函数混淆（颠倒底数／指数位置）； 4．漏记定义核心条件（忽略 且 的双重要求）。 知识点06 指数函数的图像 用五点法作指数函数的图像. （1）指数函数 与 的图像关于 轴对称． （2）指数函数 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越远； 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越近． 6．函数的图像恒过定点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据函数解析式可求图像所过的定点. 【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为， 故函数图象恒过定点， 故答案为： 1．定点记错（误过 ）； 2．单调性颠倒（ 搞反）； 3．底数对陡峭度判断错； 4．误画与 轴相交； 5．与幂函数／二次函数混淆； 6． 误判为指数函数。 知识点07 指数函数的性质 图 像 图像 特征 (1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交 (2)过定点(0,1) (3)由左至右图像上升 (3)由左至右图像下降 函数性质 (1)定义域为R,函数值恒正 (3)在R上是严格增函数 (3)在R上是严格减函数 (4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像关于轴对称 已知，且函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数相关概念直接计算求解即可. 【详解】因为函数在上是严格减函数， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 1．底数对单调性判断反； 2．值域误含非正数； 3．定点记错（非 ）； 4．误判奇偶性（实际非奇非偶）； 5．与幂函数性质混淆； 6．忽略 且 前提。 知识点08 对数函数的定义 定义 当底数 固定，且 时， 以 为底的对数 确定了变量 随变量 变化的规律，称为底为的对数函数. 注意： （1）对数函数的定义域为 （全体正数）； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案. 【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 故选:A. 1．底数违反 且 ； 2．真数忽略 ； 3．形式误判（系数非 1、底数／真数颠倒）； 4．与指数函数定义混淆。 知识点09 对数函数的图像 图像 对数函数 且 的图像过定点 ，所以讨论与对数函数有关的函数的图像过定点的问题，只需令真数为 1 ，解出相应的 、 ，即可得到定点的坐标． 掌握三组关系—一底数 与函数图像的关系 （1）底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂：当 时，对数函数的图像＂上升＂； 当 时，对数函数的图像＂下降＂． （2）底数的大小决定了图像相对位置的高低： 不论是 还是 ，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大． （3）函数 与 且 的图像关于 轴对称． 函数且的图像必过的定点坐标为 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【详解】令，可得，则， 所以定点坐标为. 故答案为：. 1．定点记错（误过 ）； 2．单调性颠倒（ 搞反）； 3．误画 部分（忽略 ）； 4．错画与 轴相交； 5．底数对陡峭度判断错； 6．与指数／幂函数图像混淆。 知识点10 对数函数的性质 图像 性质 在上是严格增函数 在上是严格减函数 当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时， 函数 的定义域为 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数 的定义域为. 故答案为：. 1．忽略真数 的定义域限制； 2．底数 与 的单调性颠倒； 3．值域误判为非全体实数； 4．定点记错（非 ）； 5．误判为奇／偶函数（实际非奇非偶）； 6．与指数函数性质混淆； 7．漏记 且 的前提。 题型一 由对数函数的单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：利用对数函数单调性（ 时严格增， 时严格减），将对数不等式转化为整式不等式。 2．关键步骤： 先保证定义域：对数真数 、底数 且 ，缺一不可； 去对数符号：根据单调性去掉对数，复合函数遵循＂同增异减＂； 含参处理：按底数 的范围分类讨论，验证解集合理性。 3．易错点：忽略定义域限制，直接转化不等式导致增根。 【典例1】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数单调性可得，解不等式即可. 【详解】因为是定义在上的严格增函数，且， 可得，解得， 所以不等式的解集为为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知定义在上的函数的表达式为，若此函数为奇函数. (1)求证：在上为严格增函数； (2)若为实数，解关于的不等式：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由是奇函数，可得对任意的成立，可得实数的值，代入验证后即可得函数解析式，设任意的，，由单调函数定义即可证明； （2）利用单调性将不等式转化为解不等式，按照、和分类讨论，根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为是奇函数，则， 整理得：，解得或， 当时，的定义域为，不合题意，舍去； 当时，的定义域为，符合题意，所以. 因，任取且， 由， 因，则，，，故， 即，故在上为严格增函数. （2）由（1）知函数为上的奇函数且为增函数， 则由可得 当时，不等式变为，故此时的解为； 当时，不等式变为，故此时的解为； 当时，不等式变为，故此时的解为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知，函数； (1)当时，解不等式； (2)若函数的值域为，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可； （2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可. 【详解】（1）由已知 时， 不等式 等价于 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以不等式 的解集为 ． （2）因为函数 的值域为， 即 的值域为， 故 能够取到一切大于0的实数， 当时, ,不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时，根据二次函数的图象和性质可得 ，解得或，所以； 综上所述：的取值范围是． 【变式4】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求对数型复合函数的值域、简单的对数方程、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数函数的单调性和指数函数的单调性解不等式即可； （2）利用对数运算化简函数的解析式，再由对勾函数的单调性和复合函数的单调性判断方法求函数的值域，进而得最小值； （3）利用对数运算将问题转化为方程有唯一解，化简成一元二次方程，根据一元二次方程的根使得对数有意义列不等式，求解即可. 【详解】（1）依题意，由，得，则，，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意知， 由，得，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 所以函数的最小值为. （3）由， 得①，化简得②， 当且时，方程②的解为，， 若是方程①的解，则，解得； 若是方程①的解，则，解得； 由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以. 因此，a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解对数不等式，指数不等式往往是化为同底，然后利用对数函数，指数函数的单调性来求解. 题型二对数型复合函数的单调性 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：复合函数单调性遵循＂同增异减＂，先拆分内外层函数单独分析。 2．关键步骤： 第一步求定义域：确保对数真数 ，确定函数有效范围； 第二步分析内层函数：如二次函数、一次函数的单调区间； 第三步结合外层对数函数：根据＂同增异减＂确定复合函数单调区间。 3．易错点：未先求定义域直接分析单调性，导致区间无效。 【典例2】（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数函数的单调性、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、求函数的零点 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误； 对于B： 在区间上是严格增函数，但 在区间上不存在零点，故B错误； 对于C：，在区间上是严格增函数， 由可得，在区间上且存在零点，故C正确； 对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）下列关于x的函数中，在其定义域上是严格增函数的是（填序号）： . ①；②；③；④；⑤. 【答案】③⑤ 【知识点】判断指数函数的单调性、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据解析式判断可得答案. 【详解】对于①，函数在和上是严格增函数， 但在定义域上不是严格增函数，故错误； 对于②，函数在定义域上不是严格增函数，故错误； 对于③，函数，定义域为， 且在定义域上是严格增函数，故正确； 对于④，如图，的图象如下， 函数在上严格增函数，在上是严格增函数， 但在定义域上不是严格增函数，故错误； 对于⑤，因为，定义域关于原点对称，且 ，所以为奇函数， 又函数在上是严格增函数，在上是严格增函数， 所以在上是严格增函数，根据对称性， 在上是严格增函数，且，故正确. 故答案为：③⑤. 【变式2】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、对数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据是偶函数求出，再由函数的单调性及对称性可得. 【详解】由是偶函数可得，即， 所以，设，任取，则， 所以在上单调递增，也即在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以的最小值在对称轴处取得，即. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知. (1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值. 【答案】(1)单调递减；证明见解析 (2)或 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的最值求参数、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）由函数的单调性定义结合对数函数的单调性证明即可； （2）由复合函数的单调性结合对数的运算分和讨论即可； 【详解】（1）单调递减， 证明：当时，， 设， 则， 因为，且为增函数，所以， 所以，所以在区间上的单调递减. （2）当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减， 所以， 即； 当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递增， 所以， 即， 综上，或. 题型三 求对数型复合函数的定义域 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：满足所有限制条件，核心是对数真数 ，兼顾其他附加条件。 2．关键步骤： 列不等式组：对数真数 分母 （若有）+ 偶次根式被开方数 （若有）； 解不等式组：分步求解，取所有不等式的交集； 结果表示：用区间或集合规范表示，避免遗漏边界。 3．易错点：遗漏对数底数 且 的隐含条件，或复杂表达式未化简直接列不等式。 【典例3】（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由指数函数性质求值域，由对数函数性质求定义域确定集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设， 对于，有，可得， 所以或， 故. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】令，解得，故定义域为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故，经检验符合题意. 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故的定义域为. 故答案为： 【变式4】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【答案】； 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式5】（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 题型四 对数型函数图象过定点问题 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：定点与参数无关，令对数真数 （使对数值恒为 0 ）。 2．关键步骤： 令真数 ：求解 的值，消去参数影响； 求对应 值：将 代入函数，得到定点纵坐标； 验证合理性：确认定点在函数定义域内。 3．拓展应用：可结合定点求参数，或分析图象平移后的定点。 【典例4】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，图象过定点， 故答案为：． 【变式1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【答案】2 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数过定点， 所以，化简可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 【变式2】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【详解】令，可得，则， 所以定点坐标为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）已知常数 且 ，假设无论 取何值，函数 的图象恒经过一个定点， 则此点的坐标是 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求解. 【详解】依题意，当时，恒有， 因此函数 的图象过定点. 故答案为： 【变式4】函数过定点 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】由，令即可得解. 【详解】由题意得，函数，令，即时，解得，即函数的图象过定点. 故答案为：. 题型五 仰角俯角问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：数形结合，将方程解的个数、不等式恒成立转化为图象交点或位置关系。 2．关键步骤： 画大致图象：标注定点、交点、渐近线、单调区间等关键点； 转化问题：方程解的个数 = 图象交点个数，不等式恒成立 =图象上下覆盖关系; 分析边界:关注渐近线、区间端点的函数值，避免遗漏特殊情况。 3.常见场景:零点个数判断、参数范围求解、不等式恒成立问题。 【典例5】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】再同一坐标系内画出和的图象，数形结合得到，且时满足题目中的两个条件，其他情况不合要求，得到答案. 【详解】定义域为，其在定义域内单调递减， 定义域为R，且，故为偶函数， 当时，单调递增，由复合函数单调性得单调递减， 同一坐标系内，画出和的图象，如下： 的值域为R， 显然， 若，此时不满足值域为R， 若，此时图象如下： 满足值域为R，但不满足关于x的方程有且只有一个实数解，不合要求， 若，此时图象如下： 满足值域为R，也满足关于x的方程有且只有一个实数解，满足要求， 若，此时的值域不为R，舍去， 综上，满足要求，即满足要求的只有1个，即. 故选：B 【点睛】方法点睛：方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先求出为零点，从而需在时有两个零点，分，和三种情况，结合图象，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，令，解得， 若，此时，只有1个零点，不合要求， 若，开口向下，对称轴为轴， 要想在时有两个零点，需满足， 即，又，解得， 若，开口向上，对称轴为轴， 要想有两个零点，需满足， 即，又，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 ．    【答案】 【知识点】对数函数图象的应用 【详解】设 因为 ，所以 ，因为是等腰直角三角形，所以可得 ，又因为在函数图象上，所以 ，解得 点A的横坐标为 ，故答案为. 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】． 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据值域求参数的值或者范围、对数函数图象的应用 【分析】先确定函数的定义域，再根据的大小关系分类讨论，从而可得，代入消去后可得关于的二次函数，即可求得取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令，解得或， ①若，当时，，且， 此时，不符合题意； ②若，当时，，且， 此时，不符合题意； ③若，当或时，，且， 此时， 当时，，故，符合题意； ④若，当时，，且， 此时，不符合题意； 综上所述，，即， 则， 所以当时，有最小值，则. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设 (1)作出函数的大致图象，并指出它的单调区间； (2)当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数. 【答案】(1)图象见解析，函数的递减区间为，递增区间是，. (2)答案见解析. 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的应用、对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）借助图象变换作出的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间. （2）把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答. 【详解】（1） 观察函数的图象得：函数的递减区间为，递增区间是，. （2）依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图， 当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0， 当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2， 当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3， 综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2， 当时，方程的解的个数为3. 题型六 对数函数的值域（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心法则:换元转化，令t= 对数真数，将对数函数转化为 ，结合 的值域求 的范围。 2．关键步骤： 求 的范围：由函数定义域和内层函数（如二次函数、一次函数）性质确定 的取值区间； 求 的值域：根据 的单调性，结合 的范围得到 的最值或值域； 含参处理：对内层函数参数（如二次函数对称轴、最值）分类讨论，确保 。 3．易错点：未先确定 的范围，直接求对数函数值域。 【典例6】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求对数函数在区间上的值域、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据二次函数、对数函数的性质及已知可得，进而有，结合分段函数解析式求的范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为2， 由在上单调递增，值域为， 所以要使有最小值，则有，即，则， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 故答案为： 【变式1】已知实数满足. （1）求的取值范围； （2）若函数，求的是大值和最小值，并求此时的值. 【答案】（1）；（2）当或2时，；当时，. 【知识点】求对数函数在区间上的值域、由指数函数的单调性解不等式 【解析】（1）令，原不等式等价于，解得的范围，进而可得的取值范围； （2）对函数化简可得，令，由可得，计算二次函数，的最值即可. 【详解】（1）令，则，所以， 解得：，即，解得， 所以的取值范围是， （2） 令，由可得，则， 所以即时，， 当或即或时，， 综上所述：当或2时，；当时，. 【点睛】关键点点睛：求对数复合型函数值域的关键点是利用换元法令，将原函数转化为关于的一元二次函数，求二次函数的值域即可，注意的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求对数函数在区间上的值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用题中定义验证即可； （2）由题中定义可知，对任意的、、，有，结合基本不等式可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得的取值范围； （3）分、、三种情况讨论，求出函数在上的值域，根据题意可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）对任意、、，，， ，则，则， 因此，函数是函数的一个具有三角形性质的关联函数. （2）由题意可知，对任意的、、，有， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 由题意可得对任意的恒成立，所以，， 令，则， 因为函数在上为增函数，则，且，故. （3）因为，， 则，所以，，所以，，分以下三种情况讨论： 当时，则，显然对任意的、、，成立； 当时，则， 对任意的、、，成立， 只需，解得，此时，； 当时，则， 只需，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 题型七 指数函数的单调性（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：底数决定单调性（ 时严格增， 时严格减），复合函数遵循＂同增异减＂。 2．关键步骤： 简单指数函数：直接利用单调性解不等式、比较大小； 复合指数函数：先分析内外层函数单调性，再判断复合函数单调性； 分段函数：保证分段区间衔接处单调性一致，列不等式组求解参数。 3．含参处理：按底数 的范围和内层函数参数分类讨论。 【典例7】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用根式性质及指数函数的单调性、一元二次不等式解法，求函数定义域. 【详解】由解析式知，则， 所以，故定义域为. 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·上海宝山·期末）若且在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由分段函数的单调性，结合指数函数、一次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由函数在R上单调递增，则，可得. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令函数，再根据指数函数和幂函数的单调性得函数的单调性，结合特殊点即可求解. 【详解】令函数，定义域为， 因为为定义域内的增函数，为定义域内的减函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·上海·月考）设为常数且，若函数在R上严格增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据复合函数单调性法则以及指数、对数函数的单调性求得结果. 【详解】因为函数在R上严格增函数， 所以，又， 所以,即. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数是上的增函数 (2) 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再借助指数函数的单调性判断的单调性 （2）由（1）及已知，等价变形给定不等式，分离参数并利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，得， 则，而，解得， 函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数， 所以，函数是上的增函数. （2）由（1）知，函数是上单调递增的奇函数， 对任意，不等式 ，而，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 题型八 指数函数的值域（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：指数函数本身值域为 ，复合函数通过换元转化为二次函数、对勾函数等求值域。 2．关键步骤： 换元转化：令 指数部分，将复合函数转化为关于 的常见函数； 求 的范围：由定义域和内层函数性质确定 的取值区间； 求值域：结合常见函数单调性，得到最终值域。 3．分段函数：各段值域取并集，注意分段点函数值的衔接。 【典例8】（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】由指数函数性质得结论． 【详解】，值域是． 故答案为：． 【变式3】（24-25高一上·上海静安·期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. (1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【答案】(1)不是局部奇函数 (2) (3) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据函数是幂函数求参数值、函数与方程的综合应用、函数新定义 【分析】（1）求出即可判断是否为“局部奇函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得， 所以不是“局部奇函数”； （2）因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即， 故； （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为. 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 题型九 指数函数图像应用（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：数形结合，利用指数函数的定点 、单调性、渐近线分析问题。 2．关键步骤： 画大致图象：标注定点、渐近线（ 轴）、单调方向； 转化问题：方程解的个数 = 图象交点个数，不等式 = 图象上下关系； 分析参数：根据图象平移、伸缩规律，结合交点或覆盖关系求参数范围。 3．常见场景：零点个数判断、恒成立问题、图象变换后的交点分析。 【典例9】（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】判断指数型函数的图象形状、对数的运算、指数函数图像应用 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示，    令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】根据函数解析式画出大致图象，问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围. 【详解】由题设，又函数恰有三个零点， 所以与有三个交点，而的大致图象如下， 由图及已知，，即参数取值范围为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】令，得到，由函数的值域，得到大致图像，从而得到实数的取值范围. 【详解】令，即， 令函数， 所以函数的大致图像为 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的表达式； (2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）； (3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)； 【知识点】求幂函数的解析式、指数函数图像应用、由幂函数的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据幂函数的对称性及区间单调性知且为偶数，即可求参数，进而可得解析式； （2）利用幂、指数函数的图象分析上单调性，利用单调性的定义判断上的单调性，即可得单调区间； （3）问题化为在上恒成立，结合右侧区间单调性求最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由函数图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数， 所以，则，且为偶数，，则， 所以； （2）当，对于、在上都是单调递增， 且在和处相交，如下图示，    由图分析知，从变化到过程中，从接近于0的值逐渐变大，再变小到0， 从变化到过程中，从0逐渐变小，再变大到0， 从变化到过程中，从0逐渐变大并趋向于， 所以，， 使在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当，令，则， 显然，，，即，故， 所以在上单调递减， 综上，，，使的单调增区间为、，单调减区间为、. （3）由题设在上恒成立，即在上恒成立， 由（2）知在上单调递减，则， 所以. 题型十 指数型函数图象过定点问题（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：定点与参数无关，令指数部分 （使指数值恒为 1 ）。 2．关键步骤： 令指数部分 ：求解 的值，消去参数影响； 求对应 值：将 代入函数，得到定点纵坐标； 拓展应用：判断图象平移后的定点，或结合定点求参数。 3．易错点：混淆指数和对数型函数定点的求解方法。 【典例10】函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】由指数函数的图象过定点可得答案. 【详解】，故函数恒过定点. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数且的图象恒过定点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据得到时，，故图象恒过定点. 【详解】令，解得，此时，故图象恒过定点. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、指数型函数图象过定点问题 【分析】由的图象过点，根据平移知识可知由此，可得的范围． 【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限， 则，即， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数（常数且）的图像总是经过点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数型函数的性质判断. 【详解】当时，，所以函数图象总经过. 故答案为：. 题型十一 求幂函数的解析式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：幂函数定义为 （系数为 1 、指数为常数），代入已知点求参数 。 2．关键步骤： 设解析式：严格遵循幂函数定义，设 ，不可添加系数； 求参数 ：代入图象上的已知点坐标，解方程得 ； 验证：结合定义域、奇偶性验证解析式合理性。 3．易错点：误将幂函数与指数函数混淆（如 不是幂函数）。 【典例11】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的表达式即可求解. 【详解】点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得. 【详解】依题意，设，由，得，解得，即， 所以. 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·上海崇明·期末）已知幂函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答. 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即， 所以. 故答案为： 题型十二 幂函数的单调性（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：指数 时， 在 上严格增； 时，在 上严格减；偶函数需兼顾对材区间单调性。 2．关键步骤： 由 判断基本单调性：确定在 上的增减性； 结合奇偶性拓展：偶函数在 上单调性与 相反； 解不等式：利用单调性转化不等式，兼顾定义域。 3．含参处理：按指数 的正负分类讨论，或结合单调性求参数范围。 【典例12】（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 【答案】1 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用幂函数的定义及单调性，列式求解即得. 【详解】由幂函数 在 上是严格减函数， 得，解得， 所以实数. 故答案为：1 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的定义域、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)不是，反例，理由见解析. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的性质有，再利用函数单调性定义及证明函数在上的单调性； （2）应用反例，结合的性质分析判断，即可得结论. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则， 任取，则，又在上是严格增函数， 由，即， 所以是上的严格增函数，得证； （2）函数不一定是上的严格增函数，理由如下： 对于， 由在、上都单调递增，且，函数满足题设， 但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数， 所以函数不一定是上的严格增函数. 题型十三 反函数（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：反函数与原函数关于直线 对称，原函数过 则反函数过 。 2．关键步骤： 求反函数：先求原函数值域（反函数定义域），再解 关于 的方程，互换 x, y 得解析式； 利用对称性：求参数或解不等式时，转化为原函数的对应问题； 易错点：忽略原函数值域，导致反函数定义域错误。 【典例13】设已知函数，若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【知识点】反函数的性质应用 【分析】本题可根据题意得出函数与函数互为反函数，则，然后根据函数的解析式即可求出. 【详解】因为函数与函数关于直线对称， 所以函数与函数互为反函数， 所以函数与函数互为反函数 即，， 因为，所以， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】反函数的性质应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据给定条件，利用反函数与原函数的关系求出，再结合函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数的图象经过点，得函数的图象过点， 则，解得，即， 而函数都是R上的增函数， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 【答案】； 【知识点】求反函数 【分析】理解原函数在指定定义域下的性质，然后基于此求解其反函数即可. 【详解】，其图象是开口向上的抛物线， 对称轴为 ，所以在上单调递减， 所以， 当时，；即当趋向于时，趋向于， 因此，函数的值域为. 令，求解方程，得， 因为原函数的定义域为， 因此当时，解在定义域内，而不在定义域内， 故只取. 将和互换，得到反函数为，其定义域为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 【答案】0 【知识点】反函数的性质应用 【分析】根据反函数性质解方程即可得出结果. 【详解】令可得，即， 解得； 即在函数的图象上，由反函数性质可得在函数的图象上， 因此可得. 故答案为：0 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性进行判断，A选项为奇函数；B选项为偶函数，在上单调递增；D选项为非奇非偶函数；根据排除法可得C正确. 【详解】对于A，的定义域为，又，故为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，单调递增，B错误； 对于C，的定义域为，又，故为偶函数，当时，在上单调递增，所以在上单调递减，C正确； 对于D，的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂函数的单调性的其他应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 3．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、分式不等式 【分析】由题可得，转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由题意，，即，解得或， 则函数的定义域为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海静安·期末）已知 (1)设，，判断集合A与集合B的包含关系并说明理由； (2)用反证法证明，a，b，c，d至少有一个不小于1，至少有一个不大于1. 【答案】(1)B是A的真子集，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】判断两个集合的包含关系、分式不等式、反证法证明、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由分式不等式以及绝对值的定义，可得集合，结合集合之间的包含关系，可得答案； （2）写出题干命题的否定，求得不等式组的解集，可得答案. 【详解】（1）由，可得，解得或，则或； 由，，可得，解得或，则或. 所以. （2）假设：都小于或都大于， 令，即，可得，则，解得或； 令，即，可得或，解得或； 令，即，解得；令，即，解得. 所以由不等式组，解得；由不等式组，解得， 与假设矛盾，故原命题正确. 6．（24-25高一上·上海宝山·期末）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、分段函数的值域或最值、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据条件，建立不等式关系，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，分别求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，所以当时，，不符题意； 当时，由，整理得到，即，解得，即， 所以交通流量，道路密度的取值范围为. （2）由题意得时，，得到， 当时，， 当时，， 由于，所以当时，取得最大值， 又，所以车辆密度的最大值为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 【答案】3 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、指数式与对数式的互化 【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案. 【详解】函数在R上单调递增，且， 由，得，则， 即，因此，则， 所以. 故答案为：3 2．（24-25高一上·上海·期末）甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】通过对不等式进行变形，将问题转化为求函数的最小值，再根据函数单调性求出最小值，进而确定参数的取值范围. 【详解】首先，由， 因为，两边同时除以（）得到. 然后，设. 对于，令， 在上增大时减小，减小，单调递增，根据复合函数同增异减，在上单调递减； 在上增大时增大，增大，单调递增，所以在上单调递增. 对于，时，单调递减；时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增.   接着，求的最小值，. 最后，因为，即，变形为，根据指数函数单调性可得，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的最值求参数或范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由对数及分式的性质求函数定义域； （2）将问题化为有唯一解，且，利用二次函数的性质求参数范围，注意保证且即可； （3）根据解析式判断函数的区间单调性，进而化为在上恒成立，整理并应用换元法、对勾函数性质求右侧的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则且，即， 所以函数的定义域为； （2）由，则有唯一解， 所以，而在定义域上单调递增， 则有唯一解，而， 所以，即，此时， 又且，则，显然、时满足， 所以； （3）当，，在上的最大值与最小值的差都不超过， 由在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上恒成立， 由，显然时，， 若，，则， 而在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故参数范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，把问题化为在上恒成立为关键. 4．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围; (3)设 为实数，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域. 【答案】(1) (2) ； (3)，定义域为 . 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解； （2）根据题意求得的范围，把不等式 恒成立，转化为恒恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）由题意得到，转化为分别是方程的根，且，并求得的范围，进而求得 关于的函数，即可求解. 【详解】（1） 等价为 或 ， 即为 或 ， 则不等式的解集为 ； （2）当 时， 的最大值为1，故 . 要使不等式 3 恒成立， 需要 ， 即 对任意 都成立 ， ，则 ∵ =4， ∴ 故的取值范围是 ； （3）函数，的图象如图所示 当时，，； 当0时，，； 当时，，. 所以 ① 若 ，则方程 变为， 即 ，且 ； ② 若 ，则方程 变为， 即 ，且 . 于是 分别是方程 的根，且 ，， 此函数的定义域为 . 【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立. １ / 14 学科网（北京）股份有限公司 $