第4章 幂函数、指数函数与对数函数 单元题型大总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 教学目标 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质,并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数(且)与对数函数(,且)互为反函数,通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较,来解决简单的实际问题. 3.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函数构建数学模型的基本过程;运用模型思想发现和提出、分析和解决问题. 教学重难点 教学重点:指数函数、对数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 教学难点:与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型 知识点01 幂函数的概念 1、定义：一般地，函数 ，其中是自变量，是常数. 【即学即练】已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 知识点02幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 知识点03幂函数的性质 1、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在 上单调递减 在 单调递增 在上单调递增 在单调递增 在 上单调递减 在 上单调递减 定点 2、拓展： ①，当时，在 单调递增； ②，当时，在 【即学即练】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点04指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 【即学即练】下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点05指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 【即学即练】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点06 对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数叫做 ，其中指数是自变量，定义域是. 【即学即练】给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点07 对数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【即学即练】设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 题型01 定义域问题 【典例1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4】若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02 幂函数的单调性与最值问题 【典例1】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 【变式2】（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 题型03 指数（型）函数的值域问题 【典例1】已知函数，，则的值域为 . 【变式1】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数在上的值域为 . 【变式3】求函数的值域. 【变式4】求函数的值域． 题型04指数（型）函数的图象问题 【典例1】（多选）函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2】若函数的部分图象如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是 A． B． C． D． 【变式4】函数且与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   题型05 指数（型）函数单调性与最值问题 【典例1】函数的最大值为 ． 【变式1】（多选）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 【变式2】函数，的最大值为 ． 【变式3】函数的最大值是 ． 【变式4】已知函数. （1）判断此函数的单调性； （2）求在区间上的最大值与最小值之差. 题型06 对数函数的图象问题（含与指数型函数综合） 【典例1】（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1】函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（    ）    A．和 B．和 C．和 D． 和 【变式4】若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 题型07 对数（型）函数的单调性 【典例1】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 【变式2】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式4】函数的单调增区间为 . 题型08 对数（型）函数的最值、值域 【典例1】已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 【变式2】函数的值域是 . 【变式3】已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【变式4】求函数的定义域、值域和单调区间． 题型09指数（型）与对数（型）函数综合 【典例1】已知函数． (1)利用定义法判断的单调性； (2)若关于的不等式在恒成立，求正实数的取值范围． 【变式1】已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式2】已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【变式3】已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【变式4】已知函数，. (1)求实数a的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 1．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 2．已知函数的定义域为，则m的取值范围是 . 3．函数单调递减区间是 ． 4．若，且，则的最小值为 . 5．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 6．函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 7．若，则实数的取值范围是 . 8．若函数的值域是，则的取值范围是 ． 9．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 10．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知，，求函数的最大值及取得最大值时的的值． 12．已知函数（其中）过点，且的图象无限接近于直线，但没有交点． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 教学目标 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质,并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数(且)与对数函数(,且)互为反函数,通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较,来解决简单的实际问题. 3.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函数构建数学模型的基本过程;运用模型思想发现和提出、分析和解决问题. 教学重难点 教学重点:指数函数、对数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 教学难点:与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型 知识点01 幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 【即学即练】已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且，解得. 故选：D 知识点02幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 知识点03幂函数的性质 1、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 2、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【即学即练】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 知识点04指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 【即学即练】下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可判断. 【详解】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C 知识点05指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 【即学即练】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 知识点06 对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 【即学即练】给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 知识点07 对数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【即学即练】设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图象，结合题意及对数的图象性质即可求解. 【详解】作出图象，如图，因， 且，可得，则， 所以.故D正确. 故选：D.    题型01 定义域问题 【典例1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 【变式1】下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 【变式2】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 【变式3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，结合对数函数的单调性解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可得，∴， ∴，即的定义域为， 故选：B 【变式4】若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知在上恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 当时，，得，不合题意， 当时，则，解得， 综上实数的取值范围为， 故选：C 题型02 幂函数的单调性与最值问题 【典例1】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由代入法可得，求出在区间上单调递增， 即可得到最小值. 【详解】由幂函数的图像过点， 可得，解得，所以， 函数， 则， 所以在区间上单调递增， 所以的最小值. 故选： 【变式1】已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 【答案】7或/或7 【分析】由幂函数的性质求解即可 【详解】令，． 由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称． 又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2， 所以，当的图像关于原点对称时， 在区间上的最大值为7，最小值为4， 在区间上的最大值为，最小值为， 于是在区间上的最大值为，最小值为． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 同理可得，当的图像关于y轴对称时， 在区间上的最大值为5，最小值为2． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或． 故答案为：7或． 【变式2】（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【答案】（1）作图见解析，定义域为；（2）. 【分析】（1）根据函数解析式，求出图象上的五个点坐标，描点即可画出图象，观察解析式即可得出定义域； （2）设，从而有，即可得出的值域. 【详解】解：（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 题型03 指数（型）函数的值域问题 【典例1】已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 【变式1】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 【变式2】函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数、指数函数的知识来求得正确答案. 【详解】设，由于，所以， 所以， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，对应； 当时，取得最大值为， 所以取得的值域为. 故答案为： 【变式3】求函数的值域. 【答案】 【分析】设，则且，则得，再设，则且，则得，根据该函数的定义域分成和两部分，利用函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】由，可得，设，则且，则. 再设，则且，，则， 因函数在上单调递增，故，则； 又因在上单调递增，故，故， 综上所述，函数的值域为. 【变式4】求函数的值域． 【答案】 【分析】利用指数函数单调性求值域即可. 【详解】令，因此． ∵在定义域内为减函数，当时，可得：. ∴原函数的值域为． 题型04指数（型）函数的图象问题 【典例1】（多选）函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合指数函数的图象性质，分，分别研究单调性和渐近线，进而得到答案. 【详解】当时，， 显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合； 对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合； 当时，， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合； 故选：BC. 【变式1】如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c，d大于1，a，b小于1， 由图知： ，即， ，即 ， 所以， 故选：D 【变式2】若函数的部分图象如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数的性质可知,函数图象恒过,进而由图象求解即可 【详解】由题,函数图象恒过点,由图象可得,即, 显然,函数单调递减,所以, 故选:A 【点睛】本题考查指数函数的图象的应用,属于基础题 【变式3】在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y轴的交点即可得出b的大小，从而能判断出二次函数图象的正误. 【详解】对和分类讨论，当时，对应A,D:由A选项中指数函数图象可知，，A选项中二次函数图象不符，D选项符合；当时，对应B,C:由指数函数图象可知，，则B，C选项二次函数图象不符，均不正确，故选D. 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象. 【变式4】函数且与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，用排除法分析，由的斜率排除CD，又由指数函数的单调性，排除B，即可得答案． 【详解】根据题意，用排除法分析： 直线为一次函数，其图象为直线，且其斜率为，故排除选项C、D， 对于A，与y轴交点在上方，则，为增函数，符合题意， 对于B，与y轴交点在下方，则，应该为减函数，不符合题意， 故选：A． 题型05 指数（型）函数单调性与最值问题 【典例1】函数的最大值为 ． 【答案】16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 【变式1】（多选）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】AC 【分析】对于A、B选项，利用指数型复合函数的单调性判断即得；对于C、D选项，利用二次函数的值域和指数函数的单调性即可求得最值判断. 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增． 因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误． 因为，所以，则C正确，D错误． 故选：AC 【变式2】函数，的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，结合单调性求出最大值. 【详解】∵，指数函数在区间上单调递减， 则函数在区间上单调递减， ∴当时，取最大值，即． 故答案为： 【变式3】函数的最大值是 ． 【答案】9 【分析】计算的范围，然后根据指数函数的单调性简单计算即可. 【详解】由题可知：，所以 又指数函数为R上的增函数，所以的最大值为 故答案为：9 【变式4】已知函数. （1）判断此函数的单调性； （2）求在区间上的最大值与最小值之差. 【答案】（1）函数在R上单调递增；（2）. 【分析】（1）根据指数函数和一次函数的单调性可判断； （2）结合函数的单调性确定函数的最值，即可得解. 【详解】（1）因为，又和在R上单调递增，所以在R上单调递增； （2）由（1）知在R上单调递增，所以在区间上的最大值为，最小值， 在区间上的最大值与最小值之差为. 所以在区间上的最大值与最小值之差为. 题型06 对数函数的图象问题（含与指数型函数综合） 【典例1】（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【分析】利用反函数性质判断A，利用函数的单调性求解参数范围发现矛盾判断B，结合代入法判断对称性求解C，D即可. 【详解】对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数， 则其图象关于直线对称，故A正确； 对于B，对于，由对数函数性质得， 对于，当时，函数变为，当时，函数变为， 由图象可得在上单调递增，在上单调递减， 得到，解得，产生矛盾，故B错误， 对于C，令，， 由换底公式得， 设点在上，则在上， 可得与关于轴对称，故C正确， 对于D，如图，作出的图象，    由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称， 而，设点在上，则在上， 得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确． 故选：ACD 【变式1】函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用指数函数及对数函数图象结合定点及单调性排除判定选项即可. 【详解】∵函数为减函数，且其图象必过点，∴排除A、D． ∵的图象是由的图象上移1个单位得到的， 因此为增函数，且图象必过点，∴可排除C． 故选：B． 【变式2】若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】由于，， 所以函数与函数单调性相反，故排除A，C. 再由可排除B. 故选：D 【变式3】在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（    ）    A．和 B．和 C．和 D． 和 【答案】D 【分析】先由指数函数的图象确定函数底数的取值范围，再由此推断对数复合函数的图象性质，并与已知图象比较，若矛盾则排除. 【详解】对于选项A，由图可知为减函数，故，此时 为上的增函数，与图象矛盾，排除A 对于选项B，由图可知为减函数，故，此时为上 的增函数，与图象矛盾，排除B 对于选项C，由图可知为减函数，故，此时为上的减函数，与图象矛盾，排除C 故选：D． 【变式4】若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知对数函数图形求得，再根据指数函数的单调性及与y轴交点位置判断图象. 【详解】函数的大致图象可知函数为减函数， 所以，又，所以， 所以函数单调递减，且， 故只有B选项的图象符合题意. 故选：B. 题型07 对数（型）函数的单调性 【典例1】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 【变式1】若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可． 【详解】因为在区间（2,4）上单调递增， 底数，函数在定义域上单调递减， 又在区间（2,4）上单调递增， 则由复合函数单调性“同增异减”，可得在区间（2,4）上单调递减且恒为正， 所以且，所以 故选：C． 【变式2】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 【变式3】函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 【变式4】函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令且，解得，可知函数的定义域为， 因为，且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性知，函数在内单调递增，在内单调递减，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 题型08 对数（型）函数的最值、值域 【典例1】已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 【变式1】（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据对数的性质，列不等式即可求解定义域，进而根据复合函数的性质即可求解单调性和值域. 【详解】（1）令，解得， 故函数的定义域为， 又在单调递增，在单调递减，而在单调递增，故的单调递增区间为， 当时，，故最大值为，故函数的值域为， （2）令，则或，故的定义域为， 在单调递减，在单调递增，而为单调递减函数，因此的单调递增区间， 当时，，故的值域为. 故答案为：，，， 【变式2】函数的值域是 . 【答案】 【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 【变式3】已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式4】求函数的定义域、值域和单调区间． 【答案】定义域为；值域为；单调递增区间为，单调递减区间为， 【分析】根据对数的性质，列不等式即可根据一元二次不等式的求解得定义域，根据复合函数的性质即可求解值域和单调性. 【详解】令，即，得，所以定义域为． 设，则是增函数． 因为，所以，所以值域为． 在上单调递增，又是增函数，所以在上是增函数； 在上单调递减，又是增函数，所以在上是减函数， 因此的单调递增区间为，单调递减区间为， 题型09指数（型）与对数（型）函数综合 【典例1】已知函数． (1)利用定义法判断的单调性； (2)若关于的不等式在恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【分析】（1）先求得函数的定义域，再根据函数单调性的定义以及指数函数的性质判断即可； （2）转化问题为，结合函数的单调性以及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）令，解得，故函数的定义域为． 任取，则， 因为指数函数在上单调递增，且， 所以，则， 则， 所以，即， 故函数在上单调递增． （2）由题知． 由（1）知函数在上单调递增， 则， 即，解得， 又，故正实数的取值范围为． 【变式1】已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原方程中用换得，联立方程组求，进而可得； （2）设，则，把原问题转化为能成立问题，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，① 用换得，② ①②得， 所以． （2）设，，则， 所以存在，使， 即，即， 因为，所以， 当时，取得最大值， 所以，即的取值范围是． 【变式2】已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先利用换元法将指数型函数转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域. （2）分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解. 【详解】（1）当时，. 令，， 则，. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时；当时， 故函数，的值域为. 所以当时，在上的值域为. （2）当时，，满足在上单调递增，满足题意； 当时，设，则，. 因为单调递增， 所以要使在上单调递增， 须使在上单调递增，     所以解得. 综上可得：实数的取值范围为，即. 【变式3】已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数单调性，结合二次函数求出值域. （2）将给定不等式作等价变形并分离参数，利用指数函数单调性，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）当时，， 由，得，则，因此， 所以函数的值域是. （2），， 由（1）知，， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的范围是. 【变式4】已知函数，. (1)求实数a的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）参变分离，令，得到的单调性，从而得到，得到答案. 【详解】（1），解得； （2），即， ∴， 设， 由于在上单调递减， 又在上单调递增，且， 故在上，单调递减， 所以， 故. 1．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 2．已知函数的定义域为，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数函数定义域与二次函数的性质，结合判别式及一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为的定义域为，所以恒成立， 则，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 3．函数单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 4．若，且，则的最小值为 . 【答案】81 【分析】利用基本不等式及对数的运算法则,最后借助对数函数的单调性即可求解. 【详解】，，， ， 当且仅当即时等号成立， 又，， ，则的最小值为. 故答案为：. 5．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 6．函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 【答案】2 【分析】由幂函数得或，结合幂函数的单调性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当，显然在R上不是增函数，不满足； 当，在R上单调递增，满足. 所以. 故答案为：2 7．若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 故答案为：. 8．若函数的值域是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求解的值域，即可根据求解. 【详解】由于的值域是， 令，则要能取遍所有的值， ， 因此，故 故答案为： 9．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解. 【详解】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 10．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数的单调区间，结合对数函数的定义域可求出答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立. 所以，解得. 故选：A. 11．已知，，求函数的最大值及取得最大值时的的值． 【答案】当时，最大值为 【分析】先由对数函数的单调性和性质求出目标函数的定义域，再利用换元法结合二次函数的性质可得. 【详解】由，得，，即， 得函数的定义域为， ， 即， 令，， ，当，即时，． 12．已知函数（其中）过点，且的图象无限接近于直线，但没有交点． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入得到，且，求出，得到解析式； （2），变形得到，换元，解不等式，求出解集. 【详解】（1）由题意得，即， 的图象无限接近于直线，但没有交点， 由于的图象无限接近于，故的图象无限接近于， 故，则，所以； （2），故， 即，令， 则，解得， 故，解得，不等式解集为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $