江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试卷

南京一中2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高 二 数 学 2025.12 命题人:王琳、陈丞、韩淑敏 校对人: 韩淑敏、陈丞 审核人: 王琳 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆的焦距为　　 A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 因为，，所以焦距故选 2．已知等差数列满足，则　　 A． B． C．8 D．10 【答案】B  【解答】 在等差数列中，记公差为,由 则，即. 所以.故选B 3．记为等比数列的前项和，若，，则　　 A． B． C．8 D．16 【答案】B 【解答】由，则，即，即公比 又，所以，故选B 4．已知，则a，b，c大小关系为　　 A. B. C. D. 【答案】D  【解答】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即故选： 5．已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C 的准线距离的2倍，且，则　　 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解答】由抛物线的定义可知点M到焦点的距离与点M到准线距离相等， 故选： 6．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解答】因为，所以， 因为，所以，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是.故选：C. 7．设为数列的前项积，已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故.故选：B. 8．已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解答】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即.，其渐近线方程为.故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知方程，则下列说法正确的有　　 A. 若，此时方程为椭圆，离心率为 B. 若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C. 若方程表示双曲线，则 D. 若方程表示椭圆，则 【答案】AC  【解答】若，则为椭圆，，则离心率为，故A正确； 若，则为双曲线，则焦点坐标为 ，故B错误； 若方程表示双曲线，则，解得或，故C正确； 若方程表示椭圆，则，得且，故D错误. 故选： 10．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有　　 A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【解答】因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为2，公比为1的等比数列，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 11．已知直线l与曲线和都相切，切点分别为，，则　　 A. B. C. 满足条件的直线l有2条 D. 满足条件的直线l只有1条 【答案】BC  【解答】由题可知直线l与曲线相切于点，又， 所以直线l的斜率，则在点A处的切线方程为，即， 直线l与曲线相切于点， 则在点B处的切线方程为，即 因为直线l与两条曲线都相切， 则且， 则，即， 可得，故B正确，A错误； 把代入，得， 在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：的值有两个，故C正确，D错误．故选： 三、填空题：本题共3小题，共15分。 12．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 . 【答案】3 【解答】由函数的图象在点处的切线方程是 可得：，即 13．设数列满足，且，则__________. 【答案】1 【解答】因为，得，所以， 所以，所以数列是以为公比的等比数列， 14．已知数列满足：奇数项成等比，公比为q，偶数项成等差，公差为d，且数列的前n项和为， ，，. 若，则正整数          . 【答案】3  【解答】因为，所以，又， 即解得， ①当n为奇数时，设，则， 当n为偶数时，设，则 综上； ②当m为奇数时，由， 当m为偶数时，， 当时，右边小于或等于2，左边大于2，等式不成立； 综上，； 故答案为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分) 设数列的各项都为正数，且． （1）证明数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和． 【解答】（1）由数列的各项都为正数，且， 得，即， ……………………4分 所以数列是以为公差的等差数列； ……………………5分 （2），由（1）得，所以， ……………………7分 则， ……………………10分 所以. ……………………13分 16．(本小题满分15分) 已知函数. （1）若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【解答】（1） ……………………1分 由题意，，即， ……………………3分 所以， ……………………5分 所以在点处的切线方程为 ……………………7分 (2) 函数的定义域为， ……………………8分 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； ……………………11分 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为； ……………………15分 17．(本小题满分15分) 已知椭圆C：，直线l的斜率为1，且交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点． （1）若直线l与轴交于点T，且，求直线l的方程； （2）椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】设，，，直线l的方程为， 联立，得， ，解得， ……………………1分 由韦达定理得， ……………………3分 又由可得：， 由，可得， 带入，可得 ……………………5分 直线l的方程为或 ……………………7分 设AB中点， 由（1）可知，则，，即。 假设椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形， 则，且，即， ……………………10分 又点P在椭圆上，将其代入椭圆方程得， 解得，满足，且， ……………………13分 综上所述，存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形， 直线l的方程为或 ……………………15分 18．(本小题满分17分) 记数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前2n项和B2n； （3）设m为整数，且对任意，，求m的最小值． 【解答】（1）因为，所以， ……………………1分 当时，，故， ……………………3分 且不满足上式， 故数列的通项公式为 ……………………5分 （2）由题意可知： ……………………7分 ……………………9分 ……………………10分 （3）设，则， ……………………11分 当时，， ……………………12分 故， 于是． 整理可得， ……………………15分 所以，又，所以符合题设条件的m的最小值为7． ……………………17分 19．(本小题满分17分) 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2），分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【解答】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以， 所以双曲线的方程为 .……………………3分 （2）（i），，又，， 所以，同理，， 所以，所以； .……………………7分 （ii）（法一）由与坐标轴不垂直，设直线的方程为， 由消去得，， 所以 .……………………10分 所以， 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过定点 ..……………………13分 因为， 又，所以，.……………………14分 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令，则， ， 因为在上单调递减， 所以， 所以得面积的取值范围是. .……………………17分 （ii）（法二）设直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，，解得：， 同理：， .……………………10分 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直得， ，即且 .……………………11分 又，即， 所以.……………………13分 由， 令由且，可得 由在上单调递减， 所以， 所以得面积的取值范围是 ..……………………17分 高二数学答案 第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高 二 数 学 2025.12 命题人:王琳、陈丞、韩淑敏 校对人: 韩淑敏、陈丞 审核人: 王琳 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆的焦距为　　 A. B. C. D. 2．已知等差数列满足，则　　 A． B． C．8 D．10 3．记为等比数列的前项和，若，，则　　 A． B． C．8 D．16 4．已知，则a，b，c大小关系为　　 A. B. C. D. 5．已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C 的准线距离的2倍，且，则　　 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是　　 A． B． C． D． 7．设为数列的前项积，已知，则　　 A． B． C． D． 8．已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方程，则下列说法正确的有　　 A. 若，此时方程为椭圆，离心率为 B. 若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C. 若方程表示双曲线，则 D. 若方程表示椭圆，则 10．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有　　 A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 11．已知直线l与曲线和都相切，切点分别为，，则　　 A. B. C. 满足条件的直线l有2条 D. 满足条件的直线l只有1条 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 . 13．设数列满足，且，则__________. 14．已知数列满足：奇数项成等比，公比为q，偶数项成等差，公差为d，且数列的前n项和为， ，，. 若，则正整数          . 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 设数列的各项都为正数，且． （1）证明数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和． 16．(本小题满分15分) 已知函数. （1）若在点处的切线与直线平行，求在点处的 切线方程； （2）求函数的单调区间. 17．(本小题满分15分) 已知椭圆C：，直线l的斜率为1，且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点． （1）若直线l与轴交于点T，且，求直线l的方程； （2）椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 18．(本小题满分17分) 记数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前2n项和B2n； （3）设m为整数，且对任意，，求m的最小值． 19．(本小题满分17分) 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2），分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 高二数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $南京一中2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高二数学 2025.12 命题人：王琳、陈丞、韩淑敏 校对人：韩淑敏、陈丞 审核人王琳 注意率项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分， 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选泽题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.椭圆少+x =1的焦距为() 32 A.2 B.1 C.2W5 D.5 【答案】A 【解答】因为a2-b2=c2,c=√3-2=1，所以焦距2c=2.故选A 2.已知等差数列{an}满足4=2,4+2a。=18,则4，=() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【解答】在等差数列中，记公差为d,由4=2， 则a+2a。=4+2d+2(a+5d)=3a+12d=6+12d=18,即d=1 所以a,=4+4d=6.故选B 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若3S?=S2+2S4,4=2,则a=() A后 B.8 C.8 D.16 【答案】B 【解答】由3S,=8,+2S,则2S,-2S,=S,-S,即2a=4,即公比q=2 又4=2，所以4=ag=2x号= 24-8 ,故选B 高二数学答案第1页（共9页） 4.己知a=n2,b=,c=n5,则a,b,c大小关系为( ) A.a>b>c B.c>bza C.bzazc D.b>c>a 【答案】D 【解答】根据式子结构，构造函数fx)=n,则了(x)=一血 令f(x)>0,则0<x<e,令f"(x)<0,得x>e, 因此fs)=在(0，e)单调递增，在[e,+o)单调递减， 而a=n52g.b=o.cn5-g-) 因为4>3>e,所以f(e)>f(3)>f(4),即b>c>a.故选：D. 5.已知抛物线C:x2=2py(p>O)的焦点为F,点M是C上的一点，M到直线y=-2p的距离是M到C 的准线距离的2倍，且MF=6,则P=() A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【解答】由抛物线的定义可知点M到焦点的距离与点M到准线距离相等， 则1-2p6解得p=4 故选：C 6.若{an}是等差数列，Sn表示{a}的前n项和，a+46>0,S:<0,则{Sn}中最小的项是() A.S, B.S1o C.Su D.S2 【答案】C 【解答】因为S2, _21(4+a=21a1<0,所以a<0, 2 因为a,+46=4+42>0,所以42>-41>0，所以公差d=42-41>0, 故当n≤11时，a,<0,当n≥12时，a.>0, 所以当n=11时，Sn取得最小值， 即{Sn}中最小的项是S故选：C. 高二数学答案第2页（共9页） 7.设为数列a,}的前项积，已知元 101-a=3,则a4s=(） 6070 6073 6076 6067 A. 6073 B.6076 C. D. 6079 6070 【答案】B 【解答】由T为数列{a}的前n项积，则a+1= 工业 To T 侧血手3，可得当22时，有71 -=3 THT。I.T 1 1=1=4, 又当n-1时，(=4，则是-13，即a=才则元日 4142 1 则数列 T 是以4为首项，3为公差的等差数列， 1 则74+30m-1=3n+1,则工，=3 1 故4025= 6076故选：B 25=3×2025+1-6073 3×2024+1 8,已知卫N是双陆线C普若=a00>0右支上不同的雨点，是C的结点，点P关于原点O的 对称点为M,且MF.FW=0,3PF=2FW,则C的渐近线方程为() A.y=+5 4 B.y=±V30 C.y=± -x 3 D.y=± s"r 【答案】D 【解答】设双曲线的左焦点为E,连接F、PF、N、M瓜，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形P耳MF为平行四边形， 又因为MF.FN=0,所以PF⊥MF，,所以四边形PMF为矩形， 高二数学答案第3页（共9页） 因3PF=2FN,设NF=3t(t>0),则PF=2t, 由双曲线的定义可得：N=2a+3t,PF=2a+2t, 又因为△PN为直角三角形，所以P+PW=RM, 则(2a+2y+2r-(2a-刘，得1-a,则Pr-号alP-号a 又因为△PF为直角三角形，F=2c,所以P+PR=F, 则4c2= 12a 2a 5+ 5 1482, 2 所以337 23 a2=25 即b12 a2=25 其渐近线方程为y=± x.故选：D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知方程+少 =1(meR),则下列说法正确的有() 4+m1-m A若m=0,此时方程为椭圆，离心率为 B.若m=-5,此时方程为双曲线，其渐近线为y=士√ 1 6 C.若方程表示双曲线，则m∈(-0，-4)U(1,十0) D.若方程表示椭圆，则∈(-4,1) 【答案】AC 【解答】若m=0,则+y2-1为插题，。2=46=1c-3,则案心率为- ,故A正确： 若m=5,则兰x产=1为双曲线，则焦点坐标为(0，√万)，(0，-√万，故B错误： 6 若方程表示双曲线，则(4+m)(1-0<0,解得<4或m>1,故C正确： 若方程表示椭圆，则4+m>0,1->0,4+m≠1-m,得-4<m<1且m*,枚D错误 故选：AC 10.已知数列{a}的前n项和为S.,且满足4=2，a=8,a+1=4a-3a-(n≥2)，则下列说法正确的 有() 高二数学答案第4页（共9页） A.数列{aa1-a}为等差数列 B.数列{a+1-3a}为等比数列 C.an=3”-1 3 【答案】BCD 【解答】因为a1=4a。-3an-1(n≥2)，所以a+1-an=3(a。-a-i), 则{a+1-a}是首项为a-4=6,公比为3的等比数列，故A错误： 根据题意得a+1=40.-3an1→a+1-30.=a.-3an-1,42-301=2, 所以数列{a+1-3a}为首项为2，公比为1的等比数列，故B正确： 所以a=4+(a-4)+(a-a)++a-a)=2+6+18+…+631_2x-3】-3-1,赦c正 1-3 确： 1-3 =,n子改D正确 8=6+3+3++3）-1-3-）n-3”用 3 故选：BCD 11.已知直线1与曲线y=e和y=+2x+2都相切，切点分别为A(5,),B(5,则(） 2 A.x2-2x=1 B.X2-2x=0 C.满足条件的直线1有2条 D.满足条件的直线1只有1条 【答案】BC 【解答】由题可知直线l与曲线y=e相切于点A(x,y),又y=e, 所以直线l的斜率k=e1,则在点A处的切线方程为y-e=e(x-x),即y=ex+(1-r)e, 直线1与曲线y=+2x+2相切于点B(2,py'=x+2, 2 则在点B处的切线方程为y-s+2)=氏十2x-),即y=(化十2)r-号12 2 2 因为直线1与两条曲线都相切， 则e=x+2>0且0-0e=专+2. 2 高二数学答案第5页（共9页） 4 43 0 23 00-0x,+2-号-2.即0-￥Xx+2)-+2x-习. 可得x=多，故B正确，A错误： 2 把x2=2x代入e=x2+2,得e=2x+2, 在同一坐标系中，作出函数=，y=4.x+8的图象，如图所示： 由图象知：x的值有两个，故C正确，D错误.故选：BC 三、填空题：本题共3小题，共15分。 12.已知函数y=f()的图象在点M0f0)处的切线方程是y=2x+2,则f0+∫D= 【答案】3 【解答】由函数y=f(x)的图象在点M(L,f(I)处的切线方程是y=二x+2 2 可得：f00-1-23即f0+7033 22 13.设数列{x}满足log2x1=1+log2,且xx,6=8,则x3x4x,= 【答案】1 【解答】因为log2x1=1+log2x,得log2xm+1=log2(2xn),所以xm+1=2x(xn>0), 所以=2，所以数列x}是以2为公比的等比数列， X. 3x4x,=1 14.己知数列{a}满足：奇数项成等比，公比为q,偶数项成等差，公差为d,且数列{a}的前n项和为Sn, 4=4=2,及=4+a,4=g+a.若a01=a2,则正整数m=一 2 【答案】3 【解答】因为8，=4a,+a,所以a+a,+4=3a,又4=g+a, 2 「4+2q=3(2+) 即 解得d=2,q=4. 2d=q ①当n为奇数时，设n=2k-1,则a=a21=ag=24=221=2”, 高二数学答案第6页（共9页） 当n为偶数时，设n=2k,则a,=4=4+(k-1)d=2+2k-2=2k=n 综上a,= 2",n=2k-1 kEN: n,n=2k ②当m为奇数时，由anam1=am+2→2m(m+1)=2m+2→m=3, 2 当l为偶数时，a,a1=a2→21=m+2→2m1=1+二 当≥2时，右边小于或等于2，左边大于2，等式不成立； 综上，=3； 故答案为3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) b 设数列私，}的各项都为正数，且b16十1 (1)证明数列 为等差数列： b (2)设b=1,求数列bb}的前n项和Sn. 【解答】(1)由数列和，}的各项都为正数，且b16+1 b。 得1-+1-1+ 1=1. bnt …4分 b 6,即 +1b. 所以数列 是以1为公差的等差数列： …5分 b (2) 1，血1)相=”，所以6， .1 n …7分 111 则bbnH= n(n+1)nn+1' …l0分 所以s=1223tnm1n中1n+1 …13分 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2+anx(a∈R) 1)若y-)在点（兮》处的切战与直线3x+y1-0平标，-在点，0）地的切发 方程： 高二数学答案第7页（共9页） (2)求函数f(x)的单调区间. 【解答】(1)f(w)=2x+ …1分 由题意，f(白)=1+2a=-3,即a=-2, …3分 所以f'(I)=2-2=0,f1)=1-2n1=1, …5分 所以y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程为y=1 …7分 (2)函数f(x)的定义域为(0，+o), …8分 当a≥0时，f'(x)>0恒成立， 所以f(x)单调递增区间为(0，+o),无单调减区间： …11分 当a<0时，令f'(x)>0,解得x> 所以)单调区间为（+）.单调减区为0分 ……15分 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C: 2+)=1,直线1的斜率为1，且交椭圆C于4，B两点，O为坐标原点。 (1)若直线1与x轴交于点T,且TB=3AT，求直线1的方程： (2)椭圆C上是否存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求直线I的方程；若不存在，请 说明理由、 【解答】)设A(x,y),B(x2,y2),Tt,0),直线I的方程为x=y+m, 联立 +22得3+2四+m20 x=y+m .△=4m2-12(m2-2)>0,解得 m2<3, 1分 高二数学答案第8页（共9页） 由韦达定理得，+，=-2， 3 片y=02 3 3分 又由TB=3AT可得：y2=-3y, +3=-2m 由 ，可得男行y=m y2=-3y 带入y乃=心-2 可得 3 =±1 5分 直线1的方程为y=x-1或 y=x+1 .7分 (2)设AB中点Q(x。,y), 由1)可知。罗，别，号气ym,即@受学： ,2L、 2 假设椭圆C上存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形， 则m≠0，且oP=01+0B=200-",2,即r,2%. 3,-3 3,31 .10分 义点P在稀圆上，将其代入椭圆方程得（智：+2（受=2， 3 解得m=± ,满足△>0，且m≠0， .13分 综上所述，存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形， 直线1的方程为y=x- 或 2 y+3 2 15 分 18.(本小题满分17分) 记数列{a}的前n项和为S。,且a=1,an=Sn-(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b.= 1,为奇数 求数列bn的前2n项和B2m: an,n为偶数 高二数学答案第9页（共9页） (3)设m为整数，且对任意eN,m≥之+2++”，求m的最小值。 a42 【解答】(1)因为4=1,4n=Sm-1(n≥2)，所以a=4=1, 1分 当n≥2时，a4+1=Sn=Sn-1+an=2a.，故a.=422-2=2"-2(n≥2)， 3分 且4=1不满足上式， 〔1，n=1, 故数列{a}的通项公式为a= 12"-2,n≥2. .5分 (2)由题意可知： b 2,奇数 2-2,n为偶数 +2+2++,=44 6+b+6++61=l++1十 22n-2-33 .7分 6.+6+b,++bn=1+2+2++22-2-4- 9分 3 44+41-1+44 B.=333 .10分 33 (3)设-1+2++ ,则7=1， 442 a .11分 当n≥2时，T=1+2·2°+321+…+-22-n, 12分 做号T=+22+32+…+n:2m 于足32+212）m220g -1n.2-. 2 1-21 整理可得T2=7-(n+2)22-", 15分 49 所以T<7,又T,= >6，所以符合题设条件的m的最小值为7. 8 .17分 19.(本小题满分17分) 已知双曲线C的渐近线方程是y=±√3x,且过点（一2,3）. (1)求C的标准方程： 高二数学答案第10页（共9页）南京一中2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高二数学 2025.12 命题人：王琳、陈丞、韩淑敏 校对人：韩淑敏、陈丞 审核人王琳 注意率项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分， 3,答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选泽题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.椭圆少+x =1的焦距为() 32 A.2 B.1 C.2W5 D.5 2.已知等差数列{an}满足4=2,4+2a。=18,则a=（) A.4 B.6 C.8 D.10 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若3S3=S2+2S4,41=2,则a=() A iG B.1 C.8 D.16 8 4.已知a=nV2,b=1,c=n5,则a,b,c大小关系为( ) A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a 5.己知抛物线C:x2=2py(p>O)的焦点为F,点M是C上的一点，M到直线y=-2P的距离是M到C 的准线距离的2倍，且MF=6,则p=() A.8 B.6 C.4 D.2 6.若{a}是等差数列，Sn表示{an}的前n项和，4+a6>0,S2:<0,则S}中最小的项是() A.S B.Sto C.Su D.S2 7.设Tn为数列{an}的前n项积，己 na1-a=3,则4，os=( 4.6070 B. 6073 C.076 6067 D. 6073 6076 6079 6070 高二数学试卷第1页（共4页） 8已奥AV是双战c菩号=a>0>0右支上不同影丙点.F是的右点.点e关于原点e的 对称点为M,且MF·FN=0,3PF=2FN,则C的渐近线方程为( ) A.y=±5、 B.y=3 6 C.y=3 D.y=±23 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知方程+ -=1(m∈R),则下列说法正确的有() 4+m1- A若1=0，此时方程为椭圆，离心率为 2 B.若m=-5,此时方程为双曲线，其渐近线为y= 6 C.若方程表示双曲线，则∈(-0，-4)U(1,十∞) D.若方程表示椭圆，则m∈(-4,1) 10.己知数列{a}的前n项和为S。,且满足q=2,42=8,4H=4a,-3a-1(n≥2)，则下列说法正确的 有() A.数列{a1-a.}为等差数列 B.数列{a+1-3a}为等比数列 C.an=3”-1 D.8=33 2n-2 11.已知直线1与曲线y=e和y= -+2x+2都相切，切点分别为A(,y),B(x2,y2),则() 2 A.x2-2x=1 B.x2-2x=0 C.满足条件的直线1有2条 D.满足条件的直线1只有1条 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2,已知函数y=fG田的图象在点MLf0》处的切线方程是y=x+2,则f0+fD 13.设数列{xn}满足1og2xt1=1+log2xn,且x4x,x=8,则，x4x,= 高二数学试卷第2页（共4页） 14.已知数列{a}满足：奇数项成等比，公比为q,偶数项成等差，公差为d,且数列{a}的前n项和为Sn, g=%=2,8=46+4,4-受+4若a01=0a则正整数m=— 四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设数列，}的各项都为正数，且.1十1 b. (1)证明数列 为等差数列： (2)设b=1,求数列bbn+}的前n项和Sn 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2+anx(a∈R) 1)若y=)在点兮，》处的切线与直线3x+y+1=0平行，求y=)在点0，/0)处的 切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C: 2+)=1,直线的斜率为1，且交椭圆C于4、B两点，O为坐标原点 (1)若直线1与x轴交于点T,且TB=3AT,求直线1的方程： (2)椭圆C上是否存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求直线1的方程；若不存在， 请说明理由 高二数学试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 记数列{a}的前n项和为Sn,且41=1，an=Sn-1(n≥2). (1)求数列{a}的通项公式： 1 ，n为奇数 (2)设bn= an+ ,求数列b.的前21项和B2m: an,n为偶数 (3)设m为整数，且对任意1eN,m≥+2+，求m的最小值。 a42 a. 19.(本小题满分17分) 已知双曲线C的渐近线方程是y=±√5x,且过点（-2,3) (1)求C的标准方程： (2)A,A分别为双曲线的左、右顶点，与x轴不垂直的直线！与双曲线C的左支相交于M,N两 点，记直线MA,MA,NA,NA的斜率分别为k,k2,k,k,已知k+k,=-3(k2+k) (i)证明：kk3为定值： (i)求△AMN面积的取值范围， 高二数学试卷第4页（共4页）