精品解析：河北省邯郸市临漳县2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级第二次质量评估 数学试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 2. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ） A. 4.6cm B. 6.4cm C. 7.2cm D. 7.4cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 与之比为黄金比， ， ， ． 故选：D． 3. 中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，相似图形是指形状相同，大小不相等的图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，与题干的图形相似， 故选：C 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 5. 如图，在平行四边形中，E为上一点，F为上一点，连接、，且．若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质等知识点．证明，得出，则可得出答案． 【详解】解：在平行四边形中， ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：C． 6. 以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足：或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（ ） A. 500寸 B. 450寸 C. 100寸 D. 50寸 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了考查平行投影，根据同一地点，同一时刻物高与影长对应成比例，通过建立比例方程求解竹竿长度即可． 【详解】解：设竹竿长为x寸． ∵竹竿影长150寸，标杆高15寸，标杆影长5寸， ∴ ∴ ∴ 故竹竿长为450寸， 故选B． 8. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是解题的关键．根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：这个几何体的主视图如下： 故选：A． 9. 反比例函数 的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 将各点坐标代入函数解析式验证是否满足即可． 【详解】∵ 反比例函数解析式为 ， 对于选项A：当 时，，与点 的纵坐标一致， 对于选项B：当 时，， 对于选项C：当 时，， 对于选项D：当 时，， ∴ 只有点 在函数图象上， 故选A． 10. 如图，直线与轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质，设直线l与y轴交于点C，连接，根据平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C，连接， ∵直线l与x轴平行， ∴，轴， ∴， ∵直线与反比例函数和的图象分别交于点和点， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则FC的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设BF＝x，则F＝CF＝9﹣x，利用勾股定理计算即可． 【详解】设BF＝x，则CF＝BC﹣BF＝9﹣x， 由折叠可得F＝CF＝9﹣x， ∵是AB的中点， ∴B＝＝＝3， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝90°， ∴， ∴， 解得：x＝4， ∴FC＝9﹣4＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 12. 如图，反比例函数的图象与矩形ABCO的边AB、BC相交于E、F两点，点A、C在坐标轴上．若，则四边形OEBF的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接OB．想办法证明S△OBE=S△OBF=1即可解决问题； 【详解】解：如图，连接OB． ∵BE=2AE， ∴S△OBE=2S△OAE， ∵E、F在上，四边形AOCB是矩形， ∴S△AEO=S△OCF=，S△OBC=S△OBA， ∴S△OBE=S△OBF=2S△OAE =1， ∴S四边形OFBE=2． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上的点的特征，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 如图，直线，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 15. 数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.618 0.620 0.621 0.621 通过试验结果，估计抛出瓶盖后盖口向上的概率为______．（结果精确到0.1） 【答案】0.6 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率，并精确到0.1即可． 【详解】∵抛掷次数为1000次时，盖口向上的频率为0.619 ∴估计抛出瓶盖后盖口向上的概率为． 故答案为：0.6． 16. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【小问1详解】 ∴或 解得，； 【小问2详解】 ∴或 解得，． 18. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张大小、质地完全相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小西任意抽取一张卡片，他诵读材料A：《论语》的概率是________； （2）小明和小亮参加“经典诵读”比赛活动，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮诵读的材料不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小西任意抽取一张卡片的结果有A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》，共3种等可能性结果， ∴小西诵读《论语》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 19. 如图，它是由几个棱长为1厘米的小正方体组成的几何体，从上面看到的该几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置上的小正方的个数． （1）请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； （2）求这个几何体的表面积（含底面）． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据俯视图和各位置的小正方体数量即可作图； （2）根据三视图即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：表面积为： 【点睛】本题考查了几何体的三视图．旨在考查学生的空间想象能力． 20. 已知反比例函数的图像经过点． （1）求的值； （2）完成下面的解答过程． 解不等式组 解：解不等式①，得______； 在方格中画出反比例函数的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是______； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； 从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是______． 【答案】（1） （2）；； 【解析】 【分析】(1)把点代入中即可求解； (2)先解出不等式的解集为；然后在直角坐标系中画出的图像，得到的解集，最后即可求出不等式组的解集． 【小问1详解】 解：将点代入中， ∴； 【小问2详解】 解：不等式的解集为， 画出及在直角坐标系中的图像如下图所示： 由图可知，不等式的解集为， 在数轴上画出不等式组的解集如下图所示： ∴原不等式组的解集是：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式组，数形结合的思想，在数轴上表示不等式的解集，正确的理解题意是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，点、分别在边上、，．求证： （1）； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明:∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】( 1 )先判断出,进而得出,再判断出,得出,即可得出结论； (2 )先根据相似三角形的性质求出的长，再由勾股定理即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解: ∵ ，， ∴， 即， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得:. 【点睛】本题考查了是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形的判定方法及相似三角形对应边成比例是解答此题的关键. 22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点 坐标分别为 A（－2，1），B（－1，4），C（－3，2）． （1）以原点 O为位似中心，位似比为 1:2，在 y 轴的左侧， 画出△ABC 放大后的图形△A1B1C1； （2）直接写出 C1点坐标 ；若线段 AB上D 的坐标为(a，b)，则对应的点 D1的坐标 ； （3）△A1B1C1的面积为 ． 【答案】 （1）描点即可得到下图所示图形； （2）（-6，4）；（2a，2b）；（3）8 【解析】 【分析】（1）根据以原点O为位似中心的坐标变换规律，把点，，的横纵坐标都乘以2即可得到点，，的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）根据以原点O为位似中心的坐标变换规律，把点，的横纵坐标都乘以2即可得到点，的坐标； （3）根据（1）中所得的点，，的坐标，即可根据勾股定理计算出△A1B1C1各边的边长，可知△A1B1C1为直角三角形，进而即可计算出△A1B1C1的面积． 【详解】（1）根据以原点O为位似中心的坐标变换规律可得点，，的坐标分别为：（－4，2），（－2，8），（－6，4），图略； （2）根据位似比和以原点O为位似中心的坐标变换规律可得点，的坐标分别为：（－6，4），（2a，2b）； （3）根据勾股定理可知， ， ， ∵， ∴△A1B1C1为直角三角形， ∴△A1B1C1的面积为：． 【点睛】本题考查了作图—位似变换，位似比，勾股定理，三角形面积等知识点，解答本题的关键是会利用位似中心和位似比作图并利用点的坐标求出线段长． 23. 在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间， （1）用含的代数式表示：线段 ； ． （2）当为何值时的面积为？ （3）当与相似时，求出的值． 【答案】（1） （2）当或3时，三角形的面积为 （3）当或1时，与相似 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质， （1）由运动知，得出结论； （2）根据的面积为，建立方程，解方程即可求出答案； （3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【小问1详解】 由运动知，， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）知，， 的面积为， ， 或3， 当或3时，三角形的面积为． 【小问3详解】 与相似，， 或， 或， 当，则， ， 当时，则， ， 当或1时，与相似． 24. 如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝． （1）求k的值； （2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C． ①连接AC，求的面积； ②在图上连接OC交AB于点D，求的值． 【答案】（1）k＝12；（2）① 3；② 【解析】 【分析】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值； (2)①由三角形面积公式可求解； ②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出，利用相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示． ∵OA=AB，AH⊥OB， ∴， ∴， ∴点A的坐标为(2，6)． ∵A为反比例函数图象上的一点， ∴； (2)① ∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数上， ∴， ∵AH⊥OB， ∴AH∥BC， ∴点A到BC的距离=BH=2， ∴； ②∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数上， ∴， ∵AH∥BC，OH=BH， ∴MH=BC=， ∴ ∵AM∥BC， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，利用图象上点的坐标特征及相似三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级第二次质量评估 数学试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ） A. 4.6cm B. 6.4cm C. 7.2cm D. 7.4cm 3. 中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，E为上一点，F为上一点，连接、，且．若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（ ） A. 500寸 B. 450寸 C. 100寸 D. 50寸 8. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数 的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 4 11. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则FC的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 4.5 D. 5 12. 如图，反比例函数的图象与矩形ABCO的边AB、BC相交于E、F两点，点A、C在坐标轴上．若，则四边形OEBF的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 如图，直线，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则_________． 14. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 15. 数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.618 0.620 0.621 0.621 通过试验结果，估计抛出瓶盖后盖口向上的概率为______．（结果精确到0.1） 16. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1）． （2） 18. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张大小、质地完全相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小西任意抽取一张卡片，他诵读材料A：《论语》的概率是________； （2）小明和小亮参加“经典诵读”比赛活动，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮诵读的材料不同的概率． 19. 如图，它是由几个棱长为1厘米的小正方体组成的几何体，从上面看到的该几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置上的小正方的个数． （1）请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； （2）求这个几何体的表面积（含底面）． 20. 已知反比例函数的图像经过点． （1）求的值； （2）完成下面的解答过程． 解不等式组 解：解不等式①，得______； 在方格中画出反比例函数的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是______； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； 从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是______． 21. 如图，在矩形中，点、分别在边上、，．求证： （1）； （2）若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点 坐标分别为 A（－2，1），B（－1，4），C（－3，2）． （1）以原点 O为位似中心，位似比为 1:2，在 y 轴的左侧， 画出△ABC 放大后的图形△A1B1C1； （2）直接写出 C1点坐标 ；若线段 AB上D 的坐标为(a，b)，则对应的点 D1的坐标 ； （3）△A1B1C1的面积为 ． 23. 在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间， （1）用含的代数式表示：线段 ； ． （2）当为何值时的面积为？ （3）当与相似时，求出的值． 24. 如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝． （1）求k的值； （2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C． ①连接AC，求的面积； ②在图上连接OC交AB于点D，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $