精品解析：福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学2025-2026学年高二上学期两校联考二（12月）数学试卷

晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高二年两校联考二 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题者：潘玉琴 许明怨 审核者： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 四面体中，，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中应，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ） A. “摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件 B. “至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件 C. “摸出的球颜色相同”的概率为 D. “摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立 10. 已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（ ） A. 的焦距小于的焦距 B. 可能为等轴双曲线 C. D. 与恰有四个公共点 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（ ）． A. 存在点P使得平面 B. 直线与平面所成的角为定值 C. 点P到平面的距离的最小值为 D. 直线与所成角的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列，，，则________. 13. 点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求与平面成角的正弦值. 16. 如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点，它们在第一象限内的交点为. （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）若双曲线的渐近线为. (i)求双曲线的标准方程； (ii)求点到双曲线两个焦点的距离之和. 17. 设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和，已知， （1）求，通项公式; （2）若，数列的前项和为，求. 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角正弦值的取值范围． 19. 已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高二年两校联考二 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题者：潘玉琴 许明怨 审核者： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项结合条件计算即可. 【详解】由题可知，得，，得， 所以的公差. 故选：B 2. 若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数恒等式，可求得的值，即为直线的斜率，再由点斜式方程得到答案. 【详解】由及，可得， 所以的斜率， 所以由点斜式方程得的方程为: ，即. 故选：C. 3. 在四面体中，，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 4. 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案. 【详解】将 代入椭圆方程得， 整理得， 由 ，得 ，代入上式， ， 因此，点 和 的坐标分别为 和 ， 弦长 为， 由已知 ，有， ， 离心率 ，其中 ，代入 ， 因此：. 故选：B 5. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 6. 如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中应，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建系再用向量法求点到面的距离即可. 【详解】易知两两垂直，则以为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系. 由题意，得 所以. 设为平面的法向量， 则，令，得， 又， 设点到平面的距离为，所以. 故选：B 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据抛物线定义以及相似三角形的性质求解出的值，则结果可知. 【详解】如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则， 根据抛物线定义知，，设，， 因为，所以，即，得， 所以，所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 8. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设曲线C上任意一点为，由题意求出其方程为：，再取，求，即得答案. 【详解】设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ） A. “摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件 B. “至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件 C. “摸出的球颜色相同”的概率为 D. “摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A和B利用互斥事件和对立事件的概念判断即可，对于C利用古典概型计算公式计算即可，对于D需要判断是否满足独立性事件同时发生的条件，即是否满足. 【详解】2个红球为，3个白球为，则任意摸出2个球有，共10种， “摸到2个红球”有，“摸到2个白球”有，“至少摸到1个红球”有， “摸出的球颜色相同”有，“摸出的球中有白球” 有，“摸出的球颜色不相同”有， A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确； C：给每个球编号，不同的摸球结果有10种，“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确； D：设“摸出的球中有红球”，“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知 ，，，显然，故，不相互独立，故D错误. 故选：ABC 10. 已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（ ） A. 的焦距小于的焦距 B. 可能为等轴双曲线 C. D. 与恰有四个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】求出与的焦距，离心率即可判断AC；由等轴双曲线的概念判断B；根据曲线中的取值范围判断D. 【详解】根据题意，椭圆，半焦距， 的焦距为， 双曲线，半焦距， 的焦距为，显然，A正确； 因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误； ，则，C正确； 因为椭圆中， 双曲线中， 则与只有和两个交点，D错误. 故选：AC 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（ ）． A. 存在点P使得平面 B. 直线与平面所成的角为定值 C. 点P到平面的距离的最小值为 D. 直线与所成角的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件分析得的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），取与重合，利用线面平行的判定判断A；由直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角即可判断B；利用等体积法求点P到平面的距离，进而确定最小距离判断C；根据对称性，当从运动到半圆的最上方时所求角由最小逐渐增加到最大，取与重合确定最小角判断D. 【详解】由题设，棱柱底面是边长为4菱形，且，则， 根据直棱柱的结构特征知，关于平面对称且面， 由，点P在四边形及其内部运动，则， 所以的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），如下图示， 当与重合时，，即，面，面， 所以平面，A对； 由上分析知，直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角， 所以直线与平面所成的角为定值，B对； 令点P到平面的距离为，到直线的距离为且， 而，，， 由，则，整理可得， 所以，C对； 由，直线与所成角，即为直线与所成角， 根据对称性，当从运动到半圆的最上方时，由最小逐渐增加到最大， 即与重合时，最小为，显然不满足区间的最小值，D错. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据计算数列的前几项找到周期性并进行计算即可. 【详解】因为，所以， ，， 由此可得数列的周期为，即. 故答案为：. 13. 点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】连接切点与圆心，则该连线垂直于切线，利用勾股定理，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【详解】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为． 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得的坐标，可得在直线上，由推得，进而求得，再由对称性判断点在轴上，利用点到直线的距离等于该点到直线的距离列方程，求出，即得，由两点间距离公式即可求得. 【详解】 由题意可得，由，解得和， 即，易知直线经过点， 由可得， 故的外接圆圆心为的中点，即， 又内切圆圆心为，则由平分，故点在轴上，不妨设， 易得直线的方程为，即， 则点到直线的距离等于该点到直线的距离， 即，解得或（不合题意，舍去），故得， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求与平面成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法1：构造平行四边形，证明线线平行，即可证明线面平行；法2：利用向量法证明线面垂直； （2）利用向量法求线面角. 【小问1详解】 法1：取的中点,连接,, 依题意可知：且,且 所以且,四边形为平行四边形，故， 又平面,平面,所以平面. 法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，，，,, ，， 设平面的法向量， 则，取，得， ,又面，所以平面， 【小问2详解】 由（1）， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为. 16. 如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点，它们在第一象限内的交点为. （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）若双曲线的渐近线为. (i)求双曲线的标准方程； (ii)求点到双曲线两个焦点的距离之和. 【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程直接写出焦点坐标和准线方程； （2）(i)根据条件列出的方程组，求解出的值则双曲线标准方程可知；(ii)根据抛物线的定义、双曲线的定义求解出到右焦点和左焦点的距离，则问题可解. 【小问1详解】 因为抛物线， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为； 【小问2详解】 (i)设双曲线的方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为； (ii)由，可得，所以， 由抛物线的定义可知， 由双曲线的定义可知，点到左焦点的距离为， 所以点到双曲线的两个焦点的距离之和为. 17. 设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和，已知， （1）求，的通项公式; （2）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1）， （2）340 【解析】 【分析】（1）由等差数列项之间的关系求得的关系，从而得到通项，即可得到，然后通过求得， 即可求得，的通项公式； （2）由（1）分别求出，，即可求得 【小问1详解】 由，即，得， ∴， 则， ， 又， 所以即解得(舍去)， 所以， 则， 【小问2详解】 ， ， . 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点是上的一点得到进而得到平面的法向量的坐标，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一个法向量，利用两平面夹角的余弦值求得的值，进而得到； （ⅱ）利用平面的法向量，确定点的坐标，从而得到的坐标，由点M在平面PBC上，可设，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用表示出EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围. 【小问1详解】 因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量， 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量． 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以． （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，． ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD的一个法向量， 设EG与平面MAD所成角为，则 因，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为． 19. 已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线为，，，联立椭圆，应用韦达定理并结合的坐标表示列方程求，即可得结论； （3）由（2）及题意得，进而得到，且，，应用点线距离、弦长公式、三角形面积公式得，最后应用基本不等式求范围即可. 【小问1详解】 由已知得，且， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即， 所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则，所以， 可得，则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点； 【小问3详解】 由（2）知且，， ， 因为直线，，的斜率分别为，且， 所以，即，即， 又，所以，， 因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得， 而斜率存在，故不为上下顶点，故， 设为点到直线的距离， 则 ， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $