专题01 圆（必备知识+十二大题型+分层训练）（期末复习讲义）六年级数学上学期北师大版

该小学数学圆专题复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将圆的概念、周长、面积及应用等知识点分模块呈现，清晰展示各要素内在联系与重难点分布，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础通关到综合拓展，涵盖方中圆面积计算、油桶滚动等实际应用题型，通过转化法培养几何直观与模型意识，助力不同学生提升，同时为教师提供精准教学支持。

专题01 圆（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质： 理解圆的定义，掌握圆心、半径、直径的概念及关系（d=2r），明确圆是轴对称图形且有无数条对称轴。 精准把握圆的基本概念和性质，清晰理解各要素关系，能准确判断相关问题。 多以填空、选择、判断形式出现，考查对基础概念的记忆和理解。 圆的周长： 理解圆周长公式C=2πr或C=πd的推导过程，能运用公式计算圆的周长，会根据周长求半径或直径。 熟练掌握圆周长公式，灵活运用公式解决周长计算及相关逆向问题。 以计算、应用题型为主，结合实际场景考查公式运用能力。 圆的面积： 理解圆面积公式S=πr²的推导过程，能运用公式计算圆的面积、环形面积等，会根据面积求半径。 深刻理解面积公式推导，准确运用公式计算不同情况下圆的面积及解决相关问题。 常出现在解答题中，难度稍大，考查综合运用知识和解决问题的能力。 圆在实际问题中的应用： 运用圆的知识解决生活中的实际问题，如车轮滚动、圆形场地面积规划等。 提高运用圆知识解决实际问题的能力，能准确建立数学模型求解。 以应用题形式呈现，结合生活场景，考查知识的应用能力和数学思维。 知识点01：圆的认识 ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点02：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点03：在长方形和正方形中画最大的圆 ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点04：扇形的认识 ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点05：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点06：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点07：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点08：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 题型一 与圆相关的轴对称图形 【例1】（24-25六年级上·福建泉州·期中）下面四幅图中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答。 【规范解答】 A．，有3条对称轴； B．，有4条对称轴； C．，有无数条对称轴； D．，有1条对称轴。 对称轴数量最多的是。 故答案为：C 【变式】（22-23六年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，乐乐在一个圆中画了一个最大的正方形。这个组合图形有( )条对称轴。 【答案】4 【思路引导】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴，据此确定对称轴的数量。 【规范解答】 如图，这个组合图形有4条对称轴。 【考点剖析】关键是熟悉轴对称图形的特点，能确定对称轴的数量。 题型二 圆的周长 【例2】（24-25六年级上·四川成都·期末）笑笑用圆规在一条直线上，取四个点作圆心练习画圆（如图）。画完后她突然想到一个数学问题：大圆周长与里面3个小圆周长的和有什么关系呢？想一想，下面说法正确的是（    ）。 A．没有数据，无法比较长短。 B．大圆的周长更长。 C．都一样长。 【答案】C 【思路引导】 如图：，圆1的周长＝π×圆1的直径；圆2的周长＝π×圆2的直径；圆3的周长＝π×圆3的直径；三个小圆的周长＝π×圆1的直径＋π×圆2的直径＋π×圆3的直径；则三个小圆的周长＝π×（圆1的直径＋圆2的直径＋圆3的直径）； 根据图可知，大圆的直径＝3个小圆的直径和，即大圆的直径＝圆1的直径＋圆2的直径＋圆3的直径，所以大圆的周长＝三个小圆的周长和，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，大圆周长与里面3个小圆周长的和都一样长。 故答案为：C 【变式】（25-26六年级上·广东深圳·月考）如图所示，圆沿着直尺从点开始，向右滚动一周后到达点，点的位置大约在（    ）。 A．8～9之间 B．9～10之间 C．10～11之间 D．11～12之间 【答案】D 【思路引导】由图可知圆的直径为6－4＝2厘米，然后根据圆的周长公式C＝πd求出圆向右滚动一周的距离，再加上起始位置5即可求出滚动后的位置。 【规范解答】6－4＝2（厘米） 3.14×2＋5 ＝6.28＋5 ＝11.28（厘米） 所以点B的位置大约在11～12之间。 故答案为：D 题型三 半圆的周长 【例3】（25-26六年级上·广东深圳·月考）如图，从甲地到乙地，小智走的是路线①，小趣走的是路线②，说法正确的是（    ）。 A．两条路线一样长 B．小趣走的路线长一些 C．小智走的路线长一些 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】观察图形可知：路线①是1个大半圆，路线②是2个小半圆（小半圆直径是大半圆直径的一半）。用半圆周长公式（为直径），算得两条路线的长度比较即可。 【规范解答】设大半圆的直径为，则两个小半圆的直径均为。 路线①的长度： 路线②的长度： 两者长度相等，因此两条路线一样长。 故答案为：A 【变式】一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．πr B．πr＋2r C．πr＋r D．2πr＋2r 【答案】B 【思路引导】根据圆周长的一半加上一条直径等于半圆的周长，列式为：2πr÷2＋2r，再进行计算即可得出答案。 【规范解答】2πr÷2＋2r＝πr＋2r 据分析可知，一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（πr＋2r）厘米。 故答案为：B 题型四 圆的周长的应用 【例4】（24-25六年级上·福建泉州·期末）如图，如果让小圆贴着大圆的边缘滚动一周，小圆的圆心移动的路程是( )厘米。 【答案】21.98 【思路引导】 如图，小圆的圆心移动轨迹是个圆，这个圆的半径＝大圆半径＋小圆半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 【规范解答】2×3.14×（2＋1.5） ＝2×3.14×3.5 ＝21.98（厘米） 小圆的圆心移动的路程是21.98厘米。 【变式】（2023·广东深圳·小升初真题）如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚( )圈。 【答案】8 【思路引导】根据题意可知，油桶滚动的距离＝两墙之间的距离－油桶的底面直径；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出油桶的底面周长，再用两墙之间的距离与油桶底面直径的差÷油桶的底面周长，即可解答。 【规范解答】（26.12－0.5×2）÷（3.14×0.5×2） ＝（26.12－1）÷（1.57×2） ＝25.12÷3.14 ＝8（圈） 底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚8圈。 题型五 含圆的组合图形的周长 【例5】（24-25六年级上·辽宁锦州·期末）一个底面是圆形的扫地机器人，沿着一块地毯边缘行进一周（如下图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，它的圆心走过路线的长度是多少分米？ 【答案】76.82分米 【思路引导】从图中可知，扫地机器人的圆心走过路线为两个半圆和长方形的两条长。两个半圆可以组成一个圆，这个圆的半径是（5＋1.5）分米，根据圆的周长公式C＝2πr，求出这个圆的周长，再加上2个18分米即可。 【规范解答】长方形的两边路线和： 18×2＝36（分米） 两侧半圆路线和： 2×3.14×（5＋1.5） ＝2×3.14×6.5 ＝40.82（分米） 一共：36＋40.82＝76.82（分米） 答：它的圆心走过路线的长度是76.82分米。 【变式】（23-24六年级上·四川成都·期末）将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 【答案】114.24厘米 【思路引导】观察截面可知，一圈的长度由四个直径和一个整圆周长组成，根据外圈直径为8厘米，圆的周长＝圆周率×直径，代入数据可算出一圈的长度，再乘2即为捆扎2圈的铁丝长度。 【规范解答】（3.14×8＋4×8）×2 ＝（25.12＋32）×2 ＝57.12×2 ＝114.24（厘米） 答：捆扎2圈至少需要114.24厘米长的铁丝。 题型六 圆周率的历史 【例6】（22-23六年级上·广东深圳·期末）在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家（    ）得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14，他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。 A．祖冲之 B．杨辉 C．刘锻 D．贾宪 【答案】A 【思路引导】从古到今，国内外的数学家都在研究圆周率的问题，最早是用测量的方法，发现圆的周长总是直径的3倍多；古希腊数学家阿基米德和我国魏晋时期数学家刘徽都用割圆术研究过圆周率的值；我国南北朝时期数学家祖冲之算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，比欧洲早1000多年，据此解答。 【规范解答】在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家祖冲之得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14，他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。 故答案为：A 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握圆周率的意义，以及有关圆周率研究的数学常识。 【变式】（22-23六年级上·广东深圳·期末）圆周率是圆的周长与直径的比值。如图，如果线段AF代表一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是线段（    ）。 A．AB B．AC C．AD D．AE 【答案】B 【思路引导】圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，π大约等于3.14，也就是说明同一个圆内周长是直径的3.14倍，据此选择。 【规范解答】因为一个圆的周长是直径的3.14倍，通过图示发现AC可能是圆的直径。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查了圆的周长和它直径的关系。 题型七 圆的面积 【例7】（25-26六年级上·吉林长春·期中）小军在学习“影子的秘密”时，用手电筒照向一张圆形纸片，墙上投射出一个圆形影子。已知影子的直径是纸片的3倍，则影子的周长是纸片的( )倍，面积是纸片的( )倍。 【答案】 3 9 【思路引导】已知影子的直径是纸片的3倍，假设纸片的直径是2厘米，则影子的直径是2×3＝6厘米，根据圆的周长公式C＝πd分别计算出影子和纸片的周长，用影子的周长除以纸片的周长即可； 用直径长度除以2分别计算出影子和纸片的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2分别计算出影子和纸片的面积，最后用影子的面积除以纸片的面积即可。 【规范解答】假设纸片的直径是2厘米 2×3＝6（厘米） （3.14×6）÷（3.14×2） ＝18.84÷6.28 ＝3 2÷2＝1（厘米） 6÷2＝3（厘米） （3.14×32）÷（3.14×12） ＝（3.14×9）÷（3.14×1） ＝28.26÷3.14 ＝9 因此，影子的周长是纸片的3倍，面积是纸片的9倍。 【变式】（25-26六年级上·广东深圳·期中）在课堂上，同学们将圆转化为已经学过的图形来计算圆的面积，想到以下三种推导方法。请你任选其中一种推导方法，用数学语言描述这种方法的推导过程。 我选择第（    ）种推导方法，写出推导过程。 【答案】①；推导过程见详解 【思路引导】把圆平均分成若干个完全相同的小扇形，然后将这些小扇形拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半；宽近似于圆的半径r。  因为长方形的面积 ＝ 长×宽，所以圆的面积 ＝ 长方形的面积 ＝ πr×r＝πr2。 【规范解答】我选择第①种推导方法，推导过程如下： 圆的周长C＝2πr，则长方形的长a＝C÷2＝πr，宽b＝r。 根据长方形面积公式S＝a×b，可得圆的面积S＝πr×r＝πr2。 题型八 圆的面积的应用 【例8】（24-25六年级上·广东深圳·期末）圆形设计元素在建筑领域中的应用颇为广泛。在街心公园有一个圆形喷水池，周长是31.4米，有一条2米宽的小路围着喷水池。 （1）喷水池的面积是多少平方米？ （2）请问这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）78.5平方米 （2）75.36平方米 【思路引导】（1）已知圆的周长公式为C＝2πr，则半径r＝C÷π÷2，根据喷水池的周长先求出喷水池的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把喷水池的半径代入公式计算即可。 （2）根据大圆的半径等于小圆的半径加上小路宽，先求出大圆的半径，再根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把大圆的半径和小圆的半径的数值代入公式计算即可。 【规范解答】（1）喷水池的半径：31.4÷3.14÷2＝5（米） 3.14×52 ＝3.14×（5×5） ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 答：喷水池的面积是78.5平方米。 （2）5＋2＝7（米） 3.14×（72－52） ＝3.14×（7×7－5×5） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 答：这条小路的面积是75.36平方米。 【变式】（24-25六年级上·福建南平·期末）如图，分别以长方形、梯形的四个顶点为圆心，画半径为1厘米的圆。在求长方形、梯形的阴影部分面积时，笑笑说：“这两个图形中阴影部分的面积都是：3.14×12＝3.14（平方厘米）。”你同意笑笑的说法吗？用学过的数学知识解释说明。 【答案】同意，理由见详解 【思路引导】观察图形可知，两个图形都是四边形，四边形内角和为360°，一个圆的圆周角也是360°，所以每个图形的阴影部分的面积都可以组成一个半径是1厘米的圆，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值进行计算即可。 【规范解答】3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 答：我同意笑笑的说法。因为通过计算，长方形、梯形的阴影部分面积均为3.14平方厘米。 题型九 圆环的面积 【例9】（24-25六年级上·辽宁大连·期末）有一个圆形花坛，直径是6米，这个花坛的占地面积是多少平方米？绕着花坛走一圈，走了多少米？如果在这个花坛的周围修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米；18.84米；21.98平方米 【思路引导】同一个圆内，半径是直径的一半，用直径6除以2即可得半径为3米，再根据圆的面积公式：，代入数据计算即可得这个花坛的占地面积；求绕着花坛走一圈，走了多少米，就是求圆的周长，根据圆的周长公式：，代入数据计算即可得走了多少米；求这条小路的面积就是环形的面积，用大圆的面积减去小圆的面积即可。大圆的半径等于小圆的半径加上小路的宽度1米。 【规范解答】6÷2＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个花坛的占地面积是28.26平方米。 3.14×6＝18.84（米） 答：走了18.84米。 3＋1＝4（米） 3.14×42－3.14×32 ＝3.14×16－3.14×9 ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：小路的面积是21.98平方米。 【变式】（21-22六年级上·四川甘孜·期末）某公园有一块由两个半圆和一个正方形组成（如下图）的草坪。为响应国家“增强国民体质”的号召，政府计划在草坪的外圈铺设一条宽2米的健身步道，铺设的健身步道的面积是多少平方米？ 【答案】629.36平方米 【思路引导】根据图可知，两个半圆的直径是60米，则半径是：60÷2＝30（米），由于外圈铺一条宽2米的健身步道，跑道两侧半圆外面的跑道正好构成一个圆环，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），大圆的半径是：30＋2＝32（米），把数代入求出左右两侧跑道的面积，之后上下两侧是一个长方形，根据长方形的面积公式：长×宽，长是60米，宽是2米，把数代入公式即可求解。 【规范解答】60÷2＝30（米） 30＋2＝32（米） 3.14×（32×32－30×30）＋60×2×2 ＝3.14×（1024－900）＋240 ＝3.14×124＋240 ＝389.36＋240 ＝629.36（平方米） 答：铺设的健身步道的面积是629.36平方米。 【考点剖析】本题主要考查圆环的面积，要注意左右两侧的半圆合在一起就是一个圆。 题型十 含圆的组合图形的面积 【例10】（2025·广东深圳·小升初模拟）求阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】17.12平方厘米 【思路引导】根据题意可知，直径为8厘米，则半径为4厘米，三角形的底和高也为4厘米，阴影部分的面积相当于半圆的面积减去三角形的面积，半圆面积公式：S＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 25.12－8＝17.12（平方厘米） 阴影部分面积17.12平方厘米。 【变式】（24-25六年级上·辽宁锦州·期末）下图两个正方形的边长都是8cm。比较图中阴影部分面积，正确的是（    ）。 A．图①阴影部分的面积大 B．图②阴影部分的面积大 C．图①和图②阴影部分的面积一样大 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】从图中可知，图①阴影部分的面积＝正方形的面积－半径为4cm的圆的面积，图②阴影部分的面积＝正方形的面积－4个半径为（8÷2÷2）cm的圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算，分别求出图①、图②阴影部分的面积，再比较大小，得出结论。 【规范解答】图①阴影部分的面积： 8×8－3.14×42 ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 图②阴影部分的面积： 8×8－3.14×（8÷2÷2）2×4 ＝8×8－3.14×22×4 ＝8×8－3.14×4×4 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 所以，图①和图②阴影部分的面积一样大。 故答案为：C 题型十一 方中圆和圆中方的面积问题 【例11】（24-25六年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形边长是8cm，求阴影部分面积列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】观察可知，圆的直径等于正方形的边长，阴影部分面积等于正方形面积减圆的面积，根据正方形的面积公式，半径＝直径÷2，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】（cm） （cm2） 正方形边长是8cm，求阴影部分面积列式正确的是。 故答案为：C 【变式】（24-25六年级上·辽宁·期末）从图1和图2中选择一个，画在框内，并计算该图中涂色部分的面积。我选择的图（    ）（填1或2）。 【答案】1；1.72平方厘米或2；0.86平方厘米 【思路引导】方法一：选择图1。涂色部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 方法二：选择图2。涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】方法一：我选择的图1。 （2×2）×2－3.14×22÷2 ＝4×2－3.14×4÷2 ＝8－6.28 ＝1.72（平方厘米） 方法二：我选择的图2。 2×2－3.14×22× ＝4－3.14×4× ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 题型十二 用转化法求园的组合图形的周长与面积 【例12】（24-25六年级上·甘肃定西·期中）计算阴影部分的面积。 【答案】60平方厘米；21.5平方厘米 【思路引导】 第一个图形：如图：，把左边半圆部分移到右边空白部分，阴影部分等于长是10厘米，宽是6厘米的长方形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 第二个图形：阴影部分面积＝边长是10厘米的正方形面积－直径是10厘米的圆的面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【规范解答】10×6＝60（平方厘米） 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×52 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 第一个图形的面积是60平方厘米，第二个图形的面积是21.5平方厘米。 【变式】（21-22六年级上·安徽阜阳·期末）求阴影部分的面积。（单位：） 【答案】11.44平方厘米；8平方厘米 【思路引导】左图，阴影部分面积等于梯形面积减去圆面积。虽然梯形上底未标注长度，但由图可知，上底等于圆的半径，也是4厘米。右图，如图所示，可以把右侧阴影部分顺时针旋转90度，等面积转化为边长为4厘米的小正方形的一半。 右图： 【规范解答】左图阴影面积： （8＋4）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 3.14×42÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（平方厘米） 24－12.56＝11.44（平方厘米） 右图阴影面积： 8÷2＝4（厘米） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·广东深圳·期末）在一张长9cm、宽7cm的长方形纸上画一个最大的圆，圆规两脚间的距离为（    ）cm。 A．4.5 B．7 C．3.5 D．9 【答案】C 【思路引导】在长方形纸上画最大的圆，这个圆的直径最大只能等于长方形的宽。已知该长方形纸宽7cm，即所画最大圆的直径为7cm。 圆规两脚间的距离是圆的半径，根据圆的半径等于直径的一半，可得圆的半径，也就是圆规两脚间的距离。 【规范解答】7÷2＝3.5（厘米） 因此圆规两脚间的距离为3.5厘米。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·四川成都·期末）下面图形中对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【规范解答】 A．，有3条对称轴； B．，圆环的每条直径所在的直线都是对称轴，圆环有无数条直径，所以有无数条对称轴； C．，有1条对称轴； D．，有3条对称轴； 综上所述，对称轴最多的是。 故答案为：B 3．（2023·陕西西安·小升初真题）一个半圆，它的半径为r，则它的周长为（    ）。 A．2π B．πr C．πr＋2r 【答案】C 【思路引导】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的直径d＝2r求解。 【规范解答】2πr÷2＋2r＝πr＋2r 所以，一个半圆，它的半径为r，则它的周长为πr＋2r。 故答案为：C 4．（24-25六年级上·福建泉州·期末）画一个直径2分米的圆，圆规两脚间的距离应该为( )分米，这个圆的面积是( )平方分米。 【答案】 1 3.14 【思路引导】圆规两脚之间的距离等于圆的半径，根据直径＝半径×2，半径＝直径÷2，据此求出半径，再根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【规范解答】2÷2＝1（分米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 画一个直径2分米的圆，圆规两脚间的距离应该为1分米，这个圆的面积是3.14平方分米。 5．（24-25六年级上·福建南平·期末）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹（如图）。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，经过3秒时波纹扩散的面积是( )平方米。 【答案】28.26 【思路引导】“经过3秒时波纹扩散的面积”其实是以（米）为半径的圆的面积。根据求解即可。 【规范解答】（米） （平方米） 所以经过3秒时波纹扩散的面积是平方米。 6．（24-25六年级上·广东惠州·期末）福建土楼是一种圆形的建筑，直径约20米，绕着它外围走一圈大约是( )米。 【答案】62.8 【思路引导】绕着它外围走一圈的距离相当于求圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×直径，列式计算即可。 【规范解答】3.14×20＝62.8（米） 绕着它外围走一圈大约是62.8米。 7．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）要在一个直径是80厘米的圆形桌面上铺一块大小完全相同的软玻璃桌垫，这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】这块软玻璃桌垫的面积就是圆的面积，先求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，即可得到这块软玻璃桌垫的面积是多少，据此解答。 【规范解答】80÷2＝40（平方厘米） 3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） 即这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。 故答案为：√ 8．（23-24六年级上·陕西宝鸡·期末）以半圆为弧的扇形圆心角是90°。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】因为圆周角是360°，以半圆为弧的扇形圆心角是圆周角的一半，即360°÷2＝180°；据此判断。 【规范解答】如图： 以半圆为弧的扇形圆心角是180°。 原题说法错误。 故答案为：× 9．（20-21六年级上·陕西榆林·期中）计算下面图形阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】38.84厘米；40.52平方厘米 【思路引导】根据题意，圆的直径为（4×3）厘米，阴影部分的周长等于圆的周长的一半加上5条4厘米长的线段之和，利用圆的周长公式：C＝，代入数据即可求出阴影部分的周长；阴影部分的面积等于圆的面积的一半减去边长为4厘米的正方形面积，分别利用圆的面积和正方形的面积公式求出这两个图形的面积，再相减即可得解。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝38.84（厘米） ＝ ＝ ＝ ＝40.52（平方厘米） 即阴影部分的周长是38.84厘米，面积是40.52平方厘米。 10．（19-20六年级上·甘肃白银·期末）下图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径为10米，篱笆长多少米？ 【答案】15.7米 【思路引导】观察图形可知，篱笆长就是直径为10米的圆的周长的一半，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×10÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（米） 答：篱笆长15.7米。 【考点剖析】熟练掌握圆的周长公式是解答本题的关键。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·福建泉州·期末）给一张周长为3.768米的圆桌选一块正方形桌布，桌布的边至少要垂下30厘米。选（    ）块最合适。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】通过圆桌的周长（）求出圆桌的直径（），因为桌布的边至少要垂下30厘米，说明垂下的长度需在圆桌直径的基础上，每侧增加垂下的长度，即直径d＋2×垂下的长度，就是桌布边长最少需要的长度。注意单位的换算：30厘米＝0.3米。 【规范解答】3.768÷3.14＝1.2（米） 30厘米＝0.3米 1.2＋2×0.3 ＝1.2＋0.6 ＝1.8（米） 因此正方形桌布的边长至少为1.8米。 故答案为：D 2．（24-25六年级上·福建泉州·期末）下列图形中，按对称轴的数量从多到少排列正确的是（    ）。 ①等边三角形    ②正方形    ③圆形    ④半圆    ⑤长方形 A．③②⑤①④ B．③⑤②①④ C．③②①⑤④ D．③②①④⑤ 【答案】C 【思路引导】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此解答即可。 【规范解答】①等边三角形有3条对称轴； ②正方形有4条对称轴； ③圆形有无数条对称轴； ④半圆有1条对称轴； ⑤长方形有2条对称轴。 按对称轴的条数从多到少排列为：③圆＞②正方形＞①等边三角形＞⑤长方形＞④半圆。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·福建泉州·期末）一个半径为3分米的圆，沿着半径平均分成若干份，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 24.84 28.26 【思路引导】（1）拼成的近似长方形的长近似于圆周长的一半，宽近似于圆的半径。圆的周长公式为，所以长方形的长为，宽为r。先代入r＝3分米，取3.14分别求出长方形的长和宽，再代入长方形的周长公式中：周长＝2×（长＋宽），求出长方形的周长即可； （2）将圆拼成近似长方形后，长方形的面积等于圆的面积。直接将r＝3分米，取3.14代入圆的面积公式中求出即可。 【规范解答】（1）长：3.14×3＝9.42（分米） 宽：3分米 周长：（9.42＋3）×2 ＝12.42×2 ＝24.84（分米） （2）3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 因此，一个半径为3分米的圆，沿着半径平均分成若干份，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是24.84分米，面积是28.26平方分米。 4．（24-25六年级上·浙江金华·期末）一个钟面时针长3cm，从1时到7时，这根时针的针尖走了 cm，它扫过面积的是 cm2。 【答案】 9.42 14.13 【思路引导】钟面上时针转一圈是12小时，从1时到7时，共经过了6小时，时针转了半圈。 求这根时针的针尖走过的距离，就是求半径为3cm的圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解； 求时针扫过的面积，就是求圆面积的一半，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】7－1＝6（小时） 6÷12＝ 3.14×3×2× ＝9.42×2× ＝9.42（cm） 3.14×32× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝14.13（cm2） 这根时针的针尖走了9.42cm，它扫过面积的是14.13cm2。 5．（24-25六年级上·四川成都·期末）如图把一个草绳编织的圆形茶杯垫沿线剪开后，像三角形。已知三角形的底长9.42cm，三角形的高是( )cm，圆形杯垫的面积是( )cm2。 【答案】 1.5 7.065 【思路引导】把圆形茶杯垫沿半径剪开，会得到一个近似的三角形，圆形转化为三角形时形状改变但是面积没有变化，圆形最外面一圈的周长相当于三角形底边的长度，圆形的半径相当于三角形的高。根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，即可求出圆的半径，即为三角形的高；再根据“三角形面积＝底×高÷2”即可求出三角形的面积，即为圆形杯垫的面积。 【规范解答】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（cm） 9.42×1.5÷2 ＝14.13÷2 ＝7.065（cm2） 所以三角形的高是1.5cm，圆形杯垫的面积是7.065cm2。 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）王伯伯用100米长的篱笆围羊圈，妙想认为“围成正方形羊圈比圆形羊圈的面积小”。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意，100米分别是正方形羊圈和圆形羊圈的周长。根据正方形边长＝周长÷4，圆的半径r＝C÷π÷2，算出正方形的边长以及圆的半径，再根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2。算出它们的面积再比较即可。 【规范解答】100÷4＝25（米） 25×25＝625（平方米） 100÷3.14÷2 ＝100÷（3.14×2） ＝100÷6.28 ≈15.92（米） 3.14×15.922 ＝3.14×253.4464 ≈796（平方米） 625平方米＜796平方米 因此，围成正方形羊圈的面积比圆形羊圈的面积小，妙想的说法正确。 故答案为：√ 7．（22-23六年级上·广东揭阳·期末）一只时钟的分针长8厘米，这根分针的尖端转动一周走过了25.12厘米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，分针尖端转动一周是以分针为半径的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出分针的尖端转动一周所走的路程，再进行比较，即可解答。 【规范解答】3.14×8×2 ＝25.12×2 ＝50.24（厘米） 一只时钟的分针长8厘米，这根分针的尖端转动一周走过了50.24厘米。 原题干说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】熟练掌握圆的周长公式是解答本题的关键。 8．（24-25六年级上·辽宁大连·期末）求阴影部分的面积。（单位： 厘米） 【答案】14.13平方厘米；15.48平方厘米 【思路引导】左图可以看成一个圆环面积的一半。外圆的直径是10厘米，根据同一圆内，直径是半径的2倍，用10除以2等于5，算出外圆的半径是5厘米。而内圆的半径比外圆小1厘米。再根据圆的面积S＝πr²，代入算出内圆和外圆的面积。再用外圆面积－内圆面积＝圆环面积。最后再除以2，就是阴影部分面积。 右图，圆的直径是6厘米，半径是6÷2＝3（厘米），长方形的长是两个圆的直径的长度。长方形的面积＝长×宽，圆的面积S＝πr²，代入分别计算出它们的面积。再用长方形的面积－2个圆的面积＝阴影部分面积。 【规范解答】10÷2＝5（厘米） 5－1＝4（厘米） 3.14×5²－3.14×4² ＝78.5－50.24 ＝28.26（平方厘米） 28.26÷2＝14.13（平方厘米） 6×2＝12（厘米） 6÷2＝3（厘米） 6×12－3.14×3²×2 ＝72－3.14×9×2 ＝72－28.26×2 ＝72－56.52 ＝15.48（平方厘米） 所以，左边阴影部分面积是14.13平方厘米，右边阴影部分面积是15.48平方厘米。 9．（24-25六年级上·四川成都·期末）数学与手工。手工课上，要用边长为20厘米的正方形卡纸制作叶片（如图），淘气用圆规在正方形上画出了两个，圆就做出了叶片。算一算，这个叶片一面的面积是多少平方厘米？ 【答案】228平方厘米 【思路引导】根据题意分析，这个叶片一面的面积等于正方形的面积减去2个（正方形的面积－圆的面积）；，，据此解答即可。 【规范解答】20×20－（20×20－×3.14×202）×2 ＝20×20－（20×20－×3.14×400）×2 ＝20×20－（400－314）×2 ＝20×20－86×2 ＝400－172 ＝228（平方厘米） 答：这个叶片一面的面积是228平方厘米。 10．（24-25六年级上·广东惠州·期末）潼湖国家湿地公园是广东最大的湿地公园，面积达到14000多亩。植物种类繁多，可以观赏到超过100种的鸟类。为了让游客更好地观赏鸟类，计划建设一个观鸟台，用25.12米围栏正好可以围住圆形观鸟台边缘，这个观鸟台的面积有多少平方米？ 【答案】 50.24平方米 【思路引导】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”可知“圆的半径＝圆的周长÷π÷2”，代入周长25.12米即可求出圆的半径；再根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”代入半径计算即可。 【规范解答】3.14×（25.12÷3.14÷2）2 ＝3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：这个观鸟台的面积有50.24平方米。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·浙江金华·期末）如图，在长为10cm，宽为9cm的长方形内侧，一个直径为4cm的圆在内部任意滚动，圆滚不到的面积是（    ）。 A．1.44cm2 B．3.44cm2 C．7.44cm2 D．9.44cm2 【答案】B 【思路引导】如下图，圆滚不到的地方在四个角上，每个角上滚不到的面积如图中阴影部分的面积，相当于边长是（4÷2）cm的正方形的面积减去半径为（4÷2）cm的圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出一个阴影部分的面积，再乘4，即是圆滚不到的面积。 【规范解答】4÷2＝2（cm） 2×2＝4（cm2） 3.14×22× ＝3.14×4× ＝3.14（cm2） （4－3.14）×4 ＝0.86×4 ＝3.44（cm2） 圆滚不到的面积是3.44cm2。 故答案为：B 【考点剖析】关键是明确长方形内圆滚不到的区域是在长方形的四个角上，因为圆的直径是4cm，那么圆心距离长方形的边界至少为2cm，据此得出一个角上圆滚不到的区域面积是正方形的面积减去圆的面积，进而求解。 2．如图，这个圆的面积与一个长方形的面积相等，那么长方形的长是（    ）。 A．πr B．2πr C．4πr D．πr2 【答案】A 【思路引导】根据图可以发现，长方形的宽为圆的半径r，根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积，即长方形的面积，再根据长方形面积公式变式，a＝S÷r，代入计算即可。 【规范解答】根据分析可知，长方形的长：πr2÷r＝πr 故答案选：A 【考点剖析】本题考查圆的面积公司、长方形面积公式的应用，关键熟记公式，灵活运用。 3．（23-24六年级上·四川成都·期末）如图三幅图中阴影部分的面积相比较。（    ） A．甲的面积大 B．乙的面积大 C．丙的面积大 D．同样大 【答案】D 【思路引导】阴影部分面积等于正方形面积减去空白区域的面积，分别计算空白区域面积，作出比较即可。 【规范解答】阴影部分面积等于正方形面积减去空白区域的面积，而三个图的正方形边长相等，所以面积相等，所以，只需要比较空白区域面积即可。 甲空白区域是4个半径为（4÷2）厘米圆的，也就是一个半径为（4÷2）厘米圆的面积； 乙空百区域是两个半径为（4÷2）厘米的半圆，也就是一个半径为（4÷2）厘米圆的面积； 丙空白区域是一个半径为（4÷2）厘米圆的面积； 甲、乙、丙空白区域面积相等，所以，甲、乙、丙阴影部分面积也相等。 故选：D。 【考点剖析】本题主要考查了圆与组合图形，将阴影部分面积比较转化为空白区域比较，是本题解题的关键。 4．（24-25六年级上·福建南平·期末）在探索圆的面积的过程中，妙想尝试将圆16等分后拼成一个近似的三角形（如图）。如果圆的半径用r表示，那么三角形的高可以用含有字母r的式子表示为( )，底可以用含有字母r的式子表示为( )。 【答案】 4r πr 【思路引导】在把半径为r的圆16等分后拼成近似三角形时，三角形的高是由4段圆的半径叠加而成的，所以高可以表示为4r；圆的周长公式是C＝2πr，将圆16等分后，每一份小扇形的弧长为2πr÷16＝πr，三角形的底由4 个小扇形的弧长组成，三角形的底是。 【规范解答】4×r＝4r 4×（2πr÷16） ＝4× ＝ 所以三角形的高是4r，底是。 【考点剖析】把圆等分后拼接成近似图形时，图形的边长（高、底）是由圆的半径或弧长“组合”而成的，三角形的高对应“多段半径的叠加”，底对应“多个小扇形弧长的拼接”。 5．把一个圆平均分成若干份,然后把它剪开,拼成一个近似的长方形,已知长方形的长是40.82厘米,这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】530.66 6．（21-22六年级上·辽宁阜新·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】6cm2 【思路引导】阴影部分的面积＝直径3cm的半圆面积＋直径4cm的半圆面积＋直角三角形的面积－直径5cm的半圆面积，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【规范解答】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2 ＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋6－3.14×2.52÷2 ＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6－3.14×6.25÷2 ＝3.5325＋6.28＋6－9.8125 ＝6（cm2） 图中阴影部分的面积是6cm2。 7．（22-23六年级上·辽宁沈阳·期中）一个圆形喷水池，周长是43.96米，有一条宽3米的小路围着喷水池，这条小路面积是多少？ 【答案】160.14平方米 【思路引导】求小路的面积，实际上是求圆环的面积，根据圆环的面积公式求解即可。 【规范解答】小圆半径： 43.96÷3.14÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 大圆半径：7＋3＝10（米） 小路面积： 3.14×（） ＝3.14×（100－49） ＝3.14×51 ＝160.14（平方米） 答：这条小路面积是160.14平方米。 【考点剖析】本题的关键是属于求圆环的面积，即根据圆环面积公式即可求解，关键是求出大圆、小圆的半径。 8．（2023·山东济南·小升初真题）下图中，大圆半径是10厘米，起始位置如图，如果小圆从A点沿大圆内侧滚动至B点，请在下图中画出小圆圆心走过的轨迹，并计算小圆圆心走过的路线是多少厘米？ 【答案】图见详解；15.7厘米 【思路引导】由题意可知：小圆圆心走过的轨迹是以点O为圆心，半径是10÷2＝5厘米的圆的一半；将数据代入圆的周长公式计算即可。 【规范解答】作图如下： 3.14×（10÷2）×2÷2 ＝3.14×5 ＝15.7（厘米） 答：小圆圆心走过的路线是15.7厘米。 【考点剖析】本题主要考查圆的周长公式的灵活运用，明确圆心的轨迹是解题的关键。 9．（23-24六年级上·广东清远·期末）草场中央有一间长方形的牧人屋子，屋子长6m，宽3m。牧人用4m长的绳子把羊拴在墙角（如图A点处），求羊吃草的面积有多少平方米？ 【答案】38.465平方米 【思路引导】根据题意，羊吃到屋子的宽这一堵墙后，由于绳长4米，屋子宽3米，所以羊会以另一个墙角B点为圆心，4－3＝1米为半径，继续吃个小圆面积的草，所以求羊吃草的面积就是阴影部分包括两个部分：半径为4米个大圆的面积和半径为4－3＝1米个小圆的面积。 【规范解答】先求出个大圆的面积： ×π×42 ＝×16×π ＝12π（平方米） 再求出个小圆的面积： ×π×12 ＝π（平方米） 羊吃草的总面积： 12π＋π ＝37.68＋0.785 ＝38.465（平方米） 答：羊吃草的面积有38.465平方米。 【考点剖析】解决此题的关键是找出个小圆的半径，利用圆的面积计算公式解决问题。 10．（23-24六年级上·四川成都·期末）装卸工人把4根圆柱形钢管用铁丝捆扎在一起（下图）。每根钢管的直径为10厘米，如果铁丝接头处的长度忽略不计，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？ 【答案】142.8厘米 【思路引导】由于铁丝可以弯折，所以在接触钢管的地方是曲线，如下图所示，可以分成曲线部分和直线部分分别计算。 【规范解答】 10×3.14＋10×4 ＝31.4＋40 ＝71.4（厘米） 71.4×2＝142.8（厘米） 答：捆扎2圈至少需要142.8厘米的铁丝。 【考点剖析】可以尝试着计算把两根钢管或者3根钢管捆在一起的情况，其计算方法非常类似。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质： 理解圆的定义，掌握圆心、半径、直径的概念及关系（d=2r），明确圆是轴对称图形且有无数条对称轴。 精准把握圆的基本概念和性质，清晰理解各要素关系，能准确判断相关问题。 多以填空、选择、判断形式出现，考查对基础概念的记忆和理解。 圆的周长： 理解圆周长公式C=2πr或C=πd的推导过程，能运用公式计算圆的周长，会根据周长求半径或直径。 熟练掌握圆周长公式，灵活运用公式解决周长计算及相关逆向问题。 以计算、应用题型为主，结合实际场景考查公式运用能力。 圆的面积： 理解圆面积公式S=πr²的推导过程，能运用公式计算圆的面积、环形面积等，会根据面积求半径。 深刻理解面积公式推导，准确运用公式计算不同情况下圆的面积及解决相关问题。 常出现在解答题中，难度稍大，考查综合运用知识和解决问题的能力。 圆在实际问题中的应用： 运用圆的知识解决生活中的实际问题，如车轮滚动、圆形场地面积规划等。 提高运用圆知识解决实际问题的能力，能准确建立数学模型求解。 以应用题形式呈现，结合生活场景，考查知识的应用能力和数学思维。 知识点01：圆的认识 ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点02：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点03：在长方形和正方形中画最大的圆 ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点04：扇形的认识 ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点05：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点06：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点07：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点08：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 题型一 与圆相关的轴对称图形 【例1】（24-25六年级上·福建泉州·期中）下面四幅图中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式】（22-23六年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，乐乐在一个圆中画了一个最大的正方形。这个组合图形有( )条对称轴。 题型二 圆的周长 【例2】（24-25六年级上·四川成都·期末）笑笑用圆规在一条直线上，取四个点作圆心练习画圆（如图）。画完后她突然想到一个数学问题：大圆周长与里面3个小圆周长的和有什么关系呢？想一想，下面说法正确的是（    ）。 A．没有数据，无法比较长短。 B．大圆的周长更长。 C．都一样长。 【变式】（25-26六年级上·广东深圳·月考）如图所示，圆沿着直尺从点开始，向右滚动一周后到达点，点的位置大约在（    ）。 A．8～9之间 B．9～10之间 C．10～11之间 D．11～12之间 题型三 半圆的周长 【例3】（25-26六年级上·广东深圳·月考）如图，从甲地到乙地，小智走的是路线①，小趣走的是路线②，说法正确的是（    ）。 A．两条路线一样长 B．小趣走的路线长一些 C．小智走的路线长一些 D．无法确定 【变式】一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．πr B．πr＋2r C．πr＋r D．2πr＋2r 题型四 圆的周长的应用 【例4】（24-25六年级上·福建泉州·期末）如图，如果让小圆贴着大圆的边缘滚动一周，小圆的圆心移动的路程是( )厘米。 【变式】（2023·广东深圳·小升初真题）如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚( )圈。 题型五 含圆的组合图形的周长 【例5】（24-25六年级上·辽宁锦州·期末）一个底面是圆形的扫地机器人，沿着一块地毯边缘行进一周（如下图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，它的圆心走过路线的长度是多少分米？ 【变式】（23-24六年级上·四川成都·期末）将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 题型六 圆周率的历史 【例6】（22-23六年级上·广东深圳·期末）在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家（    ）得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14，他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。 A．祖冲之 B．杨辉 C．刘锻 D．贾宪 【变式】（22-23六年级上·广东深圳·期末）圆周率是圆的周长与直径的比值。如图，如果线段AF代表一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是线段（    ）。 A．AB B．AC C．AD D．AE 题型七 圆的面积 【例7】（25-26六年级上·吉林长春·期中）小军在学习“影子的秘密”时，用手电筒照向一张圆形纸片，墙上投射出一个圆形影子。已知影子的直径是纸片的3倍，则影子的周长是纸片的( )倍，面积是纸片的( )倍。 【变式】（25-26六年级上·广东深圳·期中）在课堂上，同学们将圆转化为已经学过的图形来计算圆的面积，想到以下三种推导方法。请你任选其中一种推导方法，用数学语言描述这种方法的推导过程。 我选择第（    ）种推导方法，写出推导过程。 题型八 圆的面积的应用 【例8】（24-25六年级上·广东深圳·期末）圆形设计元素在建筑领域中的应用颇为广泛。在街心公园有一个圆形喷水池，周长是31.4米，有一条2米宽的小路围着喷水池。 （1）喷水池的面积是多少平方米？ （2）请问这条小路的面积是多少平方米？ 【变式】（24-25六年级上·福建南平·期末）如图，分别以长方形、梯形的四个顶点为圆心，画半径为1厘米的圆。在求长方形、梯形的阴影部分面积时，笑笑说：“这两个图形中阴影部分的面积都是：3.14×12＝3.14（平方厘米）。”你同意笑笑的说法吗？用学过的数学知识解释说明。 题型九 圆环的面积 【例9】（24-25六年级上·辽宁大连·期末）有一个圆形花坛，直径是6米，这个花坛的占地面积是多少平方米？绕着花坛走一圈，走了多少米？如果在这个花坛的周围修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？ 【变式】（21-22六年级上·四川甘孜·期末）某公园有一块由两个半圆和一个正方形组成（如下图）的草坪。为响应国家“增强国民体质”的号召，政府计划在草坪的外圈铺设一条宽2米的健身步道，铺设的健身步道的面积是多少平方米？ 题型十 含圆的组合图形的面积 【例10】（2025·广东深圳·小升初模拟）求阴影部分面积。（单位：厘米） 【变式】（24-25六年级上·辽宁锦州·期末）下图两个正方形的边长都是8cm。比较图中阴影部分面积，正确的是（    ）。 A．图①阴影部分的面积大 B．图②阴影部分的面积大 C．图①和图②阴影部分的面积一样大 D．无法比较 题型十一 方中圆和圆中方的面积问题 【例11】（24-25六年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形边长是8cm，求阴影部分面积列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式】（24-25六年级上·辽宁·期末）从图1和图2中选择一个，画在框内，并计算该图中涂色部分的面积。我选择的图（    ）（填1或2）。 题型十二 用转化法求园的组合图形的周长与面积 【例12】（24-25六年级上·甘肃定西·期中）计算阴影部分的面积。 【变式】（21-22六年级上·安徽阜阳·期末）求阴影部分的面积。（单位：） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·广东深圳·期末）在一张长9cm、宽7cm的长方形纸上画一个最大的圆，圆规两脚间的距离为（    ）cm。 A．4.5 B．7 C．3.5 D．9 2．（24-25六年级上·四川成都·期末）下面图形中对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（2023·陕西西安·小升初真题）一个半圆，它的半径为r，则它的周长为（    ）。 A．2π B．πr C．πr＋2r 4．（24-25六年级上·福建泉州·期末）画一个直径2分米的圆，圆规两脚间的距离应该为( )分米，这个圆的面积是( )平方分米。 5．（24-25六年级上·福建南平·期末）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹（如图）。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，经过3秒时波纹扩散的面积是( )平方米。 6．（24-25六年级上·广东惠州·期末）福建土楼是一种圆形的建筑，直径约20米，绕着它外围走一圈大约是( )米。 7．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）要在一个直径是80厘米的圆形桌面上铺一块大小完全相同的软玻璃桌垫，这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。( )（判断对错） 8．（23-24六年级上·陕西宝鸡·期末）以半圆为弧的扇形圆心角是90°。( )（判断对错） 9．（20-21六年级上·陕西榆林·期中）计算下面图形阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 10．（19-20六年级上·甘肃白银·期末）下图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径为10米，篱笆长多少米？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·福建泉州·期末）给一张周长为3.768米的圆桌选一块正方形桌布，桌布的边至少要垂下30厘米。选（    ）块最合适。 A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·福建泉州·期末）下列图形中，按对称轴的数量从多到少排列正确的是（    ）。 ①等边三角形    ②正方形    ③圆形    ④半圆    ⑤长方形 A．③②⑤①④ B．③⑤②①④ C．③②①⑤④ D．③②①④⑤ 3．（24-25六年级上·福建泉州·期末）一个半径为3分米的圆，沿着半径平均分成若干份，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 4．（24-25六年级上·浙江金华·期末）一个钟面时针长3cm，从1时到7时，这根时针的针尖走了 cm，它扫过面积的是 cm2。 5．（24-25六年级上·四川成都·期末）如图把一个草绳编织的圆形茶杯垫沿线剪开后，像三角形。已知三角形的底长9.42cm，三角形的高是( )cm，圆形杯垫的面积是( )cm2。 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）王伯伯用100米长的篱笆围羊圈，妙想认为“围成正方形羊圈比圆形羊圈的面积小”。( )（判断对错） 7．（22-23六年级上·广东揭阳·期末）一只时钟的分针长8厘米，这根分针的尖端转动一周走过了25.12厘米。( )（判断对错） 8．（24-25六年级上·辽宁大连·期末）求阴影部分的面积。（单位： 厘米） 9．（24-25六年级上·四川成都·期末）数学与手工。手工课上，要用边长为20厘米的正方形卡纸制作叶片（如图），淘气用圆规在正方形上画出了两个，圆就做出了叶片。算一算，这个叶片一面的面积是多少平方厘米？ 10．（24-25六年级上·广东惠州·期末）潼湖国家湿地公园是广东最大的湿地公园，面积达到14000多亩。植物种类繁多，可以观赏到超过100种的鸟类。为了让游客更好地观赏鸟类，计划建设一个观鸟台，用25.12米围栏正好可以围住圆形观鸟台边缘，这个观鸟台的面积有多少平方米？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·浙江金华·期末）如图，在长为10cm，宽为9cm的长方形内侧，一个直径为4cm的圆在内部任意滚动，圆滚不到的面积是（    ）。 A．1.44cm2 B．3.44cm2 C．7.44cm2 D．9.44cm2 2．如图，这个圆的面积与一个长方形的面积相等，那么长方形的长是（    ）。 A．πr B．2πr C．4πr D．πr2 3．（23-24六年级上·四川成都·期末）如图三幅图中阴影部分的面积相比较。（    ） A．甲的面积大 B．乙的面积大 C．丙的面积大 D．同样大 4．（24-25六年级上·福建南平·期末）在探索圆的面积的过程中，妙想尝试将圆16等分后拼成一个近似的三角形（如图）。如果圆的半径用r表示，那么三角形的高可以用含有字母r的式子表示为( )，底可以用含有字母r的式子表示为( )。 5．把一个圆平均分成若干份,然后把它剪开,拼成一个近似的长方形,已知长方形的长是40.82厘米,这个圆的面积是( )平方厘米。 6．（21-22六年级上·辽宁阜新·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 7．（22-23六年级上·辽宁沈阳·期中）一个圆形喷水池，周长是43.96米，有一条宽3米的小路围着喷水池，这条小路面积是多少？ 8．（2023·山东济南·小升初真题）下图中，大圆半径是10厘米，起始位置如图，如果小圆从A点沿大圆内侧滚动至B点，请在下图中画出小圆圆心走过的轨迹，并计算小圆圆心走过的路线是多少厘米？ 9．（23-24六年级上·广东清远·期末）草场中央有一间长方形的牧人屋子，屋子长6m，宽3m。牧人用4m长的绳子把羊拴在墙角（如图A点处），求羊吃草的面积有多少平方米？ 10．（23-24六年级上·四川成都·期末）装卸工人把4根圆柱形钢管用铁丝捆扎在一起（下图）。每根钢管的直径为10厘米，如果铁丝接头处的长度忽略不计，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $