1.1 三角形内角和定理 (第2课时 三角形外角和定理的证明)（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、性质及证明应用，通过复习三角形内角和定理导入，结合画图辨析、问题链探究搭建学习支架，帮助学生从旧知自然过渡到新知。 其亮点在于以问题驱动新知探究，通过多证法典例（如例1两种证法）培养数学思维，规范几何语言表述。注重数学眼光抽象外角概念，数学思维严谨推理性质，助力学生深化理解，教师教学逻辑清晰高效。

1.三角形内角和定理 第2课时 三角形外角和定理的证明 第一章 三角形的证明 学 习 目 标 1 2 了解并掌握三角形的外角的定义．（重点） 掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点） 情景引入 A C B 三角形内角和定理：三角形内角和等于_____. 符号表述：在△ABC中，∠A，∠B，∠C为△ABC的内角，则∠A+∠B+∠C=_____. 在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，∠B-∠A=30°，则∠A=_____，∠B=_____，∠C=_____. 180° 180° 30° 60° 90° 情景引入 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角. C B A D 定义 新知探究 A B C D 问题1： 如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？ E ∠DCE是不是△ABC的一个外角？ ∠BCE是△ABC的一个外角 ∠DCE不是△ABC的一个外角 新知探究 问题2：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ A B C 1 2 3 6 5 4 △ABC的外角有6个，分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6. 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 新知探究 ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. 三角形的外角应具备的条件： 每一个三角形都有 6 个外角． 1 2 3 6 5 4 A B C 归纳总结 新知探究 思考交流 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 探究1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 新知探究 探究2： △ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角（∠A，∠B）有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 猜测：∠A+∠B=∠ACD. 你能证明这个猜想吗？ 新知探究 已知，如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. A B C D 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180° （三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）. ∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义）， ∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）. ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）. 定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 新知探究 定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形内角和定理推论1： 几何语言： 在△ABC 中， ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A + ∠B. A B C D 新知探究 探究3 (1) 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； (2) 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：∵∠2=∠1+∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2 =∠1+∠B， ∠3 =∠2+∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 新知探究 定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形内角和定理推论2： A B C D 几何语言： 在△ABC中， ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 典例分析 方法技巧 紧扣三角形外角的定义识别外角 例1 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC. A C D B E 证法一:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 典例分析 证法二:推理可得: ∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实. A C D B E 典例分析 例2 如图，P是△ABC 内一点，连接 PB，PC.∠B =∠C. 求证：∠BPC＞∠A. 证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D. ∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)， ∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角 大于任何一个和它不相邻的内角). ∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)， ∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A. A B C P D 还有其他证明方法吗？ 课堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 变式训练 1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 C 变式训练 2 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD， ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求∠B 和∠C的度数. 解：∵∠ADC是△ABD的外角. 在△ABC中， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴∠C=180º-40º-70º=70°. ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又∵∠B=∠BAD， A B C D 感谢聆听! $