重难点专题03锐角三角函数3大几何模型+3大思想方法（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题03锐角三角函数3大几何模型+3大思想方法 重难点一、母抱子模型 “母抱子”模型是指有公共边，且公共边在同侧的两个直角三角形，其中一个三角形包含在另一个三角形中.解答这类题的关键是构造（或找出）两个直角三角形的共同高（公共边） 1.模型1：如图①，因为AD十DC=AC, 所以AD=- 所以BC=·AD 2.模型2：如图②，因为DC一BC=BD, 所以BD=AC·tan∠2-AC·tan∠1=AC·(tan2-tan∠1). 1．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（    ） A．米 B．3米 C．米 D．米 3．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为 ．（精确到；参考数据：） 4．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 5．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 6．如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，） 7．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 重难点二、背靠背模型 “背靠背”模型是指有公共边，且公共边在异侧的两个直角三角形（双直角三角形)，其中一个三角形在另一个三角形的异侧.解答这类题的关键是构造（或找出)两个直角三角形的公共边（共同高)若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中恰当利用公共边是解题的关键， 1.模型1：如图①，BC=BD＋CD=AD·(+) 2.模型2：如图②，AE=BD,AB=ED, CE=AE·tan,AB=DE=AE·tan 所以CD=CE十DE=AE·(tan＋tan). 8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（    ） A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m C． D． 9．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 10．如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据： ，，，，，） 11．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 重难点三、拥抱模型 “拥抱”（叠合）模型是指有公共部分，且公共边在同侧的两个直角三角形(双直角三角形)，其中两个三角形有重叠部分.解答这类题的关键是需要分别求出两个直角三角形的相关值，然后利用已知角度的正切值来列式求解 1.模型1：如图①，因为EC一BC=EB, 所以EB=EC一BC=DC·tan∠EDC AC·tanA. 2.模型2：如图②，AC=FG,AF=CG 因为BG=BC十CG,，BC=AC·tan∠BAC,BG=FG·tan∠BFG=AC·tan∠BFG. 所以AF=CG=BG-BC=AC·tan∠BFG-AC·tan∠BAC=AC·(tan∠BFG-tan∠BAC). 12．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度． （, ，精确到1米）． 13．如图，在四边形中，，点D在上，，连接，且． （1）求的面积． （2）求的长度． （本题中计算过程和结果均保留根号） 14．如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 15．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 16．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 17．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              18．某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，） 19．如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30°，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，）．         重难点四、方程思想 方程思想是解决数学问题的重要思想方法，解直角三角形和运用锐角三角函数的边角关系解决实际问题时，经常依据题意设出适当的未知数来表示其他有关线段，并利用直角三角形的边角关系得到等量关系，列出方程（组），从而使问题得以解决 20．如图，在中，，，，求的面积． 21．如图，在中，点在边上，，，． (1)求的长； (2)当时，求的值． 22．如图，在四边形中，对角线与交于点，，过作对角线的垂线交边于点，垂足为点，已知． (1)求证：； (2)如果，求证：． 23．如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 24．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点，过点作于点M，交边于点． (1)求证：； (2)若． ①求的值； ②当时，求的长． 重难点五、转化思想 转化思想在本章中的应用非常广泛，如利用锐角三角函数的定义可以实现边与角的转化：通过添加辅助线可以将非直角三角形问题转化为直角三角形问题；当不能直接求一个锐角的三角函数值时，常转化为求另一个与它相等的在直角三角形中的角的三角函数值等，此外，解决实际问题时，一般先将实际问题 转化为数学问题，再借助解直角三角形的知识求解 25．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 26．如图，在中，，则的长为 ． 27．如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ． 28．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 29．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    30．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 31．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 重难点六、分类讨论思想 方程思想是解决数学问题的重要思想方法，解直角三角形和运用锐角三角函数的边角关系解决实际问题时，经常依据题意设出适当的未知数来表示其他有关线段，并利用直角三角形的边角关系得到等量关系，列出方程（组），从而使问题得以解决 32．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 33．如图，中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，P为线段上的动点，以点P为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为 ． 34．已知．在中，，，，则线段BC的长为 ． 35．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是 ． 36．如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连接．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为 ． 37．如图1，抛物线与轴交于点和点，点位于原点左侧，点位于原点右侧，与轴交于点，连接，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)若是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． ①如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标； ②如图3，设与交于点，连接，求的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03锐角三角函数3大几何模型+3大思想方法 重难点一、母抱子模型 “母抱子”模型是指有公共边，且公共边在同侧的两个直角三角形，其中一个三角形包含在另一个三角形中.解答这类题的关键是构造（或找出）两个直角三角形的共同高（公共边） 1.模型1：如图①，因为AD十DC=AC, 所以AD=- 所以BC=·AD 2.模型2：如图②，因为DC一BC=BD, 所以BD=AC·tan∠2-AC·tan∠1=AC·(tan2-tan∠1). 1．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度． 【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠EDF=, ∴, 由题可知，△DCE为直角三角形， 在Rt△DEC中， 即： , ∴, 故选：C 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形． 2．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（    ） A．米 B．3米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案． 【详解】解：在中，， （米， 在中，， （米， 米， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为 ．（精确到；参考数据：） 【答案】35 【分析】分别在与中，运用正切函数解题，分别计算DC，BC的长，再求二者的差即可解题． 【详解】根据题意，在中，， 即 在中，， 即 即 故答案为：35 【点睛】本题考查解直角三角形，其中涉及锐角三角函数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为米 【分析】解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：由题意知，米，米，设米，在中， 米，， 米， 米， 在中， ， ， 即， 解得米， 米， 故魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 【答案】中原福塔CD的总高度约为389m． 【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解． 【详解】解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m， 在Rt△ACB中，∠ABC=45°， ∴BC=AC=x， ∴CE=x+20， 在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°， 即≈1.346， 解得：x≈269.0， ∴CD=x+120=389.0≈389米， 答：中原福塔CD的总高度约为389m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． 6．如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，） 【答案】88米 【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的长． 【详解】解：， ，， 在Rt△APQ中，， ， （米）， 在Rt△BPQ，， （米）， （米）， 答：这条河的宽度约为88米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ． 7．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 【答案】宣传牌的高度为2米． 【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可． 【详解】解：过分别作、的垂线，设垂足为、， 则，， 在中， 斜坡的坡度，米， 设米，米， ， ， 米，米， 在中，， 米， （米）， 在中，（米）， （米）． 答：宣传牌的高度为2米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 重难点二、背靠背模型 “背靠背”模型是指有公共边，且公共边在异侧的两个直角三角形（双直角三角形)，其中一个三角形在另一个三角形的异侧.解答这类题的关键是构造（或找出)两个直角三角形的公共边（共同高)若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中恰当利用公共边是解题的关键， 1.模型1：如图①，BC=BD＋CD=AD·(+) 2.模型2：如图②，AE=BD,AB=ED, CE=AE·tan,AB=DE=AE·tan 所以CD=CE十DE=AE·(tan＋tan). 8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（    ） A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m C． D． 【答案】A 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长. 【详解】过点A作AH⊥BC于点H， ∴∠AHB=∠AHC=90°， 在Rt△ABH中， BH=AHtan∠BAH=100tanα； 在Rt△ACH中， CH=AHtan∠CAH=100tanβ； ∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m. 故选：A. 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键. 9．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【答案】/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 10．如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据： ，，，，，） 【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船C处 【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，分别求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形． 【详解】解答：过点A作AH⊥BC，垂足为点H． 由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20． 在Rt△ABH中， ∵ ， ， ∴ ， ， 在Rt△ACH中， ∵ ， ∴ ， ∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21， ∵21÷25＜1， ∴巡逻艇能在1小时内到达渔船C处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 11．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可； （2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长 【详解】（1）如图，过C作于点D , 即 （2），，, 在中，设，则 在中， 即: 解得：（不符题意，舍） 【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 重难点三、拥抱模型 “拥抱”（叠合）模型是指有公共部分，且公共边在同侧的两个直角三角形(双直角三角形)，其中两个三角形有重叠部分.解答这类题的关键是需要分别求出两个直角三角形的相关值，然后利用已知角度的正切值来列式求解 1.模型1：如图①，因为EC一BC=EB, 所以EB=EC一BC=DC·tan∠EDC AC·tanA. 2.模型2：如图②，AC=FG,AF=CG 因为BG=BC十CG,，BC=AC·tan∠BAC,BG=FG·tan∠BFG=AC·tan∠BFG. 所以AF=CG=BG-BC=AC·tan∠BFG-AC·tan∠BAC=AC·(tan∠BFG-tan∠BAC). 12．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度． （, ，精确到1米）． 【答案】旗杆的高度约为9米． 【分析】根据题意过点作于点，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案． 【详解】解：过点作于点， ，，，，， 又， ， ，，， 答：旗杆的高度约为9米． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，点D在上，，连接，且． （1）求的面积． （2）求的长度． （本题中计算过程和结果均保留根号） 【答案】（1）252；（2） 【分析】（1）过点A作，交于点F，设AF为x，则DF为，列方程解出AF的长度，即可求出面积； （2）过点B作，交于点G，证得四边形BCFG为矩形，可得AG的长度，在△ABG中，求得∠ABG=30°，即可求出AB的长度． 【详解】解：（1）过点A作，交于点F， 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ∴ ．     （2）过点B作，交于点G， ∵BC⊥CE，AF⊥CE，BG⊥AF， ∴四边形BCFG为矩形，． ∵ ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、含30度角直角三角形的特点和矩形的性质，解题的关键是灵活运用各种知识求出AF的长度． 14．如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 【答案】64m 【分析】利用直角三角形的边角关系，在两个直角三角形中设未知数列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，EC＝54m，AB＝22m，∠DBC＝60°，∠EAC＝34°， 设DE＝xm，则DC＝（x+54）m， 在Rt△DCB中， ∵tan∠DBC＝，即＝， ∴BC＝， 在Rt△ECA中， ∵tanA＝， ∴AC＝≈＝90（m）， 由题意得，90﹣（x+54）＝22， 解得，x≈64， 答：塑像DE的高度约为64m． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 15．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米； (2)广告牌的高度为米． 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 16．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 【答案】小山的高度为米 【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高． 【详解】解：设为米，则米，∵ ∴，而米， 在中，， 则米，米， 在中，， 解得． 答：小山的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键． 17．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米 【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值． 【详解】解：在Rt△ACD中，，则. 设，则 在Rt△BCD中，. ∴ ∴   解得：.             在Rt△ACE中，. ∴ 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错． 18．某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】假山的高度DE约为70米． 【分析】过点D作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可． 【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上， 设DE的长为x米， 在Rt△BCE中，∠CBE＝45°， ∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米， 在Rt△ADE中，∠A＝35°， AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x， tanA＝， ∴tan35°＝≈， 解得：x≈70， 答：假山的高度DE约为70米． 【点睛】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答． 19．如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30°，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，）．         【答案】引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为． 【分析】延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，计算AG，GH，BH的长度，再求和即可． 【详解】解：如图，延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，则在中，，    ， 在中， 答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为．    【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，熟练的构造直角三角形，并计算各边的计算是解题的关键． 重难点四、方程思想 方程思想是解决数学问题的重要思想方法，解直角三角形和运用锐角三角函数的边角关系解决实际问题时，经常依据题意设出适当的未知数来表示其他有关线段，并利用直角三角形的边角关系得到等量关系，列出方程（组），从而使问题得以解决 1． 20．如图，在中，，，，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查的是解直角三角形，作于点H，先求出，设，则，，列方程求出k值，进而求出面积． 【详解】解：作于点H， 在中，， 设，则， ， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， 的面积． 21．如图，在中，点在边上，，，． (1)求的长； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）与性质（对应边成比例）是解题的关键． （1）通过角的等量关系证明，利用相似三角形的对应边成比例求解的长． （2）先由得到的长，再作于，利用勾股定理列方程求出、的长度，进而得到的长，最后根据正切的定义计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 作于，设，则，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 22．如图，在四边形中，对角线与交于点，，过作对角线的垂线交边于点，垂足为点，已知． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，由锐角三角函数比得出，即，然后利用等量代换得出，最后利用同旁内角互补，两直线平行即可得出结论； （2）证明，得出，假设，，则，证明，，得出对应边成比例，表示出相关线段的长度，然后求出等式左右两边的值进行比较即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 假设，，则， 由勾股定理得， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 23．如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为 【分析】本题考查菱形的性质，圆的切线判定和三角函数，熟练运用垂径定理是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得，故，再由和菱形的性质可推出，进而可证是的切线． （2）由的半径与菱形的边长之比为，可设参数表示、，再由菱形的性质和垂径定理可推出，在中求出，进而求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵，∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径与菱形的边长之比为，， ∴， 设，∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，∴，即， ∵， ∴． ∴． 答：的值为． 24．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点，过点作于点M，交边于点． (1)求证：； (2)若． ①求的值； ②当时，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)①,②4 【分析】（1）利用正方形的直角和平行，证、，从而证相似； （2）①根据相似的性质得出，结合等角的三角函数值相等，即可解答；②代入的值，利用三角函数值即可求． 【详解】（1）在正方形中，， ∴． ∵，， ∴； 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴（两角对应相等）． （2）解：∵ ①设，则， ， 即． ∵， ∴， ∴． ②当时，． ∵，， ∴． 解得． 【点睛】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质、锐角三角函数及线段长度计算，涉及知识点：正方形的角与边的性质、相似三角形的“两角对应相等”判定、正切的定义、线段比例关系．解题方法是利用正方形的直角与平行关系找等角，结合条件证相似；通过设参数表示线段长度，利用相似或比例关系求解．解题关键是利用正方形的边、角性质建立线段与角的联系，易错点是参数设定或比例转化时的对应关系错误． 重难点五、转化思想 转化思想在本章中的应用非常广泛，如利用锐角三角函数的定义可以实现边与角的转化：通过添加辅助线可以将非直角三角形问题转化为直角三角形问题；当不能直接求一个锐角的三角函数值时，常转化为求另一个与它相等的在直角三角形中的角的三角函数值等，此外，解决实际问题时，一般先将实际问题 转化为数学问题，再借助解直角三角形的知识求解 25．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 26．如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 27．如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作于点，设，利用勾股定理得到，代入数据解出的值，解得到，，得出，由，得到四点共圆，记圆心为，且为的直径，利用外接圆的性质得到，分析可得当时，有最小值，利用等面积法求出的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，， ， 四点共圆，记圆心为，且为的直径， 如图，作于点，连接、， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，此时有最小值， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键． 28．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 29．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 30．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 31．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 重难点六、分类讨论思想 方程思想是解决数学问题的重要思想方法，解直角三角形和运用锐角三角函数的边角关系解决实际问题时，经常依据题意设出适当的未知数来表示其他有关线段，并利用直角三角形的边角关系得到等量关系，列出方程（组），从而使问题得以解决 32．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形，熟知以上知识是解题的关键． 设等腰的底角为x，分类讨论当顶角为时和当顶角为时两种情况即可求解． 【详解】解：设等腰的底角为x， 当顶角为时，有，解得：； 此时，底角的余弦值为； 当顶角为时，有，解得：； 如图所示：作，平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； 综上所述：底角的余弦值为或． 故选：D． 33．如图，中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，P为线段上的动点，以点P为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，综合性强，难度较大，理解题意，根据题意画出图形，添加适当辅助线是解题关键．根据，，设，则，勾股定理得，求出，得到．根据旋转性质得到，，进而得到．①若与相切，设切点为M，连接，得到，证明，得到．设圆的半径为r，列出方程，求出，即可得到的半径为；②若与相切，延长交于点N， 证明，得到N为AB与切点，求出，得到，即可得到的半径为． 【详解】解：∵，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴（负值舍）， ∴， ∴． ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴． ①若与相切，如图1，设切点为M，连接， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设圆的半径为r， 则， ∴， ∴， 解得， 即的半径为； ②若与相切，如图2，延长交于点N， ∵， ∴， ∴N为与切点， ∴为直径， 又∴， ∴， ∴的半径为． 故答案为：或． 34．已知．在中，，，，则线段BC的长为 ． 【答案】7或1 【分析】作AD⊥BC于点D，分类讨论点C在BD延长线上或BD上，通过勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作AD⊥BC于点D， ①当点C在BD延长线上时， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； ②当点在BD上时，同①可得：，， ∴． 故答案为：7或1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，无图形时注意考虑是否需要分类讨论． 35．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： ①△ABC为锐角三角形时，如图1． 作△ABC的高AD，BE为AC边的中线． ∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=， ∴CD=a，AD=a． ∵在直角△ABD中，∠ABD=45°， ∴BD=AD=a， ∴BC=BD+CD=a． 在△BCE中，由余弦定理，得 BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC ∴BE=； ②△ABC为钝角三角形时，如图2． 作△ABC的高AD，BE为AC边的中线． ∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=， ∴CD=a，AD=a． ∵在直角△ABD中，∠ABD=45°， ∴BD=AD=a， ∴BC=BD+CD=a． 在△BCE中，由余弦定理，得 BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC ∴BE=． 综上可知AC边上的中线长是或． 36．如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连接．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定，过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，根据勾股定理求出，再分情况计算即可解决． 【详解】解：过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，如图2所示， 在中，， ， ， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， 此时； 当D点在E点右侧时， 同理可得：； 故答案为：或． 37．如图1，抛物线与轴交于点和点，点位于原点左侧，点位于原点右侧，与轴交于点，连接，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)若是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． ①如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标； ②如图3，设与交于点，连接，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；②的最大值为3． 【分析】（1）先求出，可得，再由得出求出再运用待定系数法即可求得答案； （2）①由点，，得直线的解析式，过点作轴交于点．设点，则点，得关于的方程，解出即可； ②由抛物线求出顶点的坐标为．由（ⅰ）知直线的解析式为，则点．设直线交于点，设点．由直线经过点，可设直线的解析式为，把点代入，得关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：（1）将代入得， ， ， ． ， ， 由抛物线经过点，，得， 把点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）①设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， 得直线的解析式为， 如图2，过点作轴交于点， 设点，则点， ， 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）或， 则， 点的坐标为； ②由抛物线知，顶点的坐标为， 由①知直线的解析式为，则点， 如图3，设直线交于点，设点， 由直线经过点， 设直线的解析式为， 把点代入， 得， 解得（舍去）或， 即， 直线的解析式为， 当时，，即， ， 即的最大值为3． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，三角形的面积问题等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $