精品解析：福建省莆田市仙游县片区联考2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题

2025年秋季郊尾、枫亭、盖尾十校教研片区 期中考八年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面体操、游泳、羽毛球和乒乓球四个不同运动项目的图标，其中为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（ ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 3. 如图，在中，分别为，的角平分线，，则（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 如果，那么 C. 若，则，， D. 若，则 5. 如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 7. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，D为内一点，平分，于点D．，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10. 如图，在等边中，于D，E是线段上一点，是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 12. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm. 13. 如图，在中，已知点分别是的中点，且，则______． 14. 如图，在中，D是边的中点，，，则___________． 15. 小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角，其中，，如图，点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你帮助小明，点B的坐标为___________． 16. 如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当___________为何值时，与全等． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 已知：如图，点、在上，且，，．求证：． 18. 如图，线段、相交于点，连接、，其中，．求证：． 19. 如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且，．求：的度数． 20. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在中作的平分线，交于点，在上取一点，使，直接用三角板作交于点，把图形补充完整，并证明． 21. 如图所示，中，，D是边上的点，于点E，点是的中点，连接，且，请问与的比是否为定值；若是，请求出；若不是，请说明理由． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）画出关于轴成轴对称的，顶点坐标为 ， （2）点Q在轴上，且，点Q的坐标为 ； （3）在x轴上求一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标是 ． 23. 规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 示例：如图1，在中，，，， 把分割成和两个小三角形， 其中，，，． ∵， ∴，即为等腰三角形； 又∵，，， ∴与三个角分别相等； ∴为的“等角分割线” （1）如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； （2）在中，，是的等角分割线，求的度数． 24. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中和全等的三角形是___________，此时和的数量关系是___________； （2）如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点P，请判断线段和的关系，并说明理由； （3）如图3，已知，请完成作图：以为边分别向外作等边和等边，等边三角形三条边相等，连接，两线交于点P，并判断线段和的数量关系及的度数，并说明理由． 25. 【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季郊尾、枫亭、盖尾十校教研片区 期中考八年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面体操、游泳、羽毛球和乒乓球四个不同运动项目的图标，其中为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（ ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3. 如图，在中，分别为，的角平分线，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵分别为，的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 如果，那么 C. 若，则，， D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意； 故选：D 5. 如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再由平行线的性质和角平分线及三角形外角的性质，可得到的度数，从而利用直角三角形的性质求得的长，最后求出三角形面积． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 是平分线上一点，，，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握角平分线的性质定理是关键． 6. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，首先根据尺规作图得到，是的垂直平分线，进而得到，然后根据的周长为15，求解即可． 【详解】解：由题意得，，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴． 故选：． 7. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该等腰三角形为，且， ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示， 由题意得，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 8. 如图，D为内一点，平分，于点D．，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰，可推出，，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴, 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 9. 如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 10. 如图，在等边中，于D，E是线段上一点，是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据三线合一定理可判断①；可证明，得到，由三角形外角的性质可得，，则可得到，据此可判断②；可证明，据此可判断③；可求出，则可得到，求出，则，据此可判断④． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，，，故①正确； 如图，连接， ，， ， ； ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ∵，， ， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确，； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为： 12. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm. 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答. 【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB(AAS)； 由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20(cm)， 答：两堵木墙之间的距离为20cm. 故答案是：20. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 13. 如图，在中，已知点分别是的中点，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点是的中点得出，，进而得到，再根据为的中点，得到，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键． 【详解】解：点是的中点， ，， ， ， 为的中点， ， 故答案为：2． 14. 如图，在中，D是边的中点，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，在上取一点E，连接，使得，连接，可证明是等边三角形，得到，，则可证明； 导角可证明，得到，则，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，在上取一点E，连接，使得，连接， ∵，， ∴， ∴； ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 15. 小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角，其中，，如图，点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你帮助小明，点B的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 作，作，证明，根据相等的线段推出坐标． 【详解】如图，作，作， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴点B的横坐标，纵坐标为： ∴B点的坐标为 故答案为：． 16. 如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当___________为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【解析】 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 已知：如图，点、在上，且，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据，可知，根据两直线平行，内错角相等，可证，利用可证，则可知，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】略 18. 如图，线段、相交于点，连接、，其中，．求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，可证明，得到，再证明，即可证明． 【详解】略 19. 如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且，．求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，则可求出的度数，证明，得到，同理求出的度数，则可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； ∵为延长线上一点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 20. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在中作的平分线，交于点，在上取一点，使，直接用三角板作交于点，把图形补充完整，并证明． 【答案】 解：补全图形如下，证明如下： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，角平分线的性质，线段的尺规作图，画垂线，先根据题意补全图形，由角平分线的性质可得，证明，即可证明． 【详解】略 21. 如图所示，中，，D是边上的点，于点E，点是的中点，连接，且，请问与的比是否为定值；若是，请求出；若不是，请说明理由． 【答案】与的比是定值，为 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，根据已知条件可得，再根据三角形的外角性质得到，然后可得，再化简即可求解． 【详解】解：与的比是定值，为，理由如下： ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的比是定值，为． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）画出关于轴成轴对称的，顶点坐标为 ， （2）点Q在轴上，且，点Q的坐标为 ； （3）在x轴上求一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标是 ． 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2）或 （3）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）分两种情况进行讨论：当点在直线的下方时，当点在直线的上方时，利用作为等量关系构建方程即可解决问题； （3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；取点，连接，设，根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：则顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，； ∴； 设， ①如图，当点在直线的上方时， 则， 解得 ， ； ②如图，当点在直线的下方时， 则， 解得， ． 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 如图所示，取点，连接，设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 23. 规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 示例：如图1，在中，，，， 把分割成和两个小三角形， 其中，，，． ∵， ∴，即为等腰三角形； 又∵，，， ∴与三个角分别相等； ∴为的“等角分割线” （1）如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； （2）在中，，是的等角分割线，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴与三个角分别相等， ∴为的等角分割线； （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可； （2）由题意可知为等腰三角形或者为等腰三角形，当是等腰三角形时，分为，，，三种情形；当是等腰三角形时，分为，，，三种情形，分别利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是的等角分割线， ∴为等腰三角形或者为等腰三角形， 当是等腰三角形时， ①当，时，如图， 则， ∴， ； ②当，时，如图， 则， ∴， ； ③当，时， 则， ∴，故此情况不存在； 当是等腰三角形时， ④当，时，如图， 则， 由得，， ∴， ∴； ⑤当，时，如图， 则， 设， 则， 由得， ， ∴， ∴； ⑥当，时， 则， ∴，故此情况不存在； 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是根据等腰三角形的顶点正确分类讨论，画出图形． 24. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中和全等的三角形是___________，此时和的数量关系是___________； （2）如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点P，请判断线段和的关系，并说明理由； （3）如图3，已知，请完成作图：以为边分别向外作等边和等边，等边三角形三条边相等，连接，两线交于点P，并判断线段和的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3） 解：完成作图如下，，， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． ， 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得； （2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得； （3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $