吉林省四平市第一高级中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

2025一2026学年度上学期第二次月考 高一数学试题答案及评分标准 1-8单选，每题5分 9-11多选每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B A D B B 题号 9 10 11 答案 ABD ABC BCD 1.C 【分析】根据全称命题的否定形式解决问题即可.【详解】由全称命题的否定形式可知：命题“Vx>O, x2-x+1>0,”的否定为x>0,x2-x+1≤0，”.故选：C. 2.C 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sina,cosa的值，可得2sina+coso的值. 【详解】因为角x的终边经过点P(1,2),x=1,y=2,r=√2+22=√5，所以 na房2wa古苔则ma-a=2299月：e 55 3.C 【分析】分a+9=6和a2+a=6两种情况讨论，注意集合中元素的互异性 【详解】因为A=1,a+9,a2+a,6∈A,当a+9=6时，则a=-3,此时a2+a=6,不符题意： 当a2+a=6时，解得a=2或a=-3（舍去)，若a=2,则A={1,11,6,符合题意，综上所述，a=2, 故选：C 4.B 【分析】根据指数与对数互化运算即可得出结论.【详解】设24=N,两边同时取常用对数得1g24=lgN, 64lg2=lgN,.lgN≈64×0.30=19.2，N≈1092.故选：B. 5.A 【分析】由f(x)=mx{风，x}表示√风与x2的较大者，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 取图象较高者即可得f(x)的图象 【详解】y=V何和y=2都是偶函数，当x>0时，y=√丙=x2在(0，+∞)上单调递增，y=x2在(0，+o)上 单调递减，当x=1时，√何=x2在同一平面直角坐标系中作出y=√何和y=x2的图象，如图： -3-2-10123 -1 f(x)=max{风x}表示√不丙与x2的较大者，所以f(x)图象是两个图象较高的， 故选：A 6.D 【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为xm,水价为y元， 3.x,0≤x≤12 则y=36+6(x-12),12<x≤18， 172+9(x-18),x>18 [3.x,0≤x≤12 整理得到：y={6.x-36,12<x≤18， 9x-90,x>18 当0≤x≤12时，0≤y≤36；12<x≤18时，36<y≤72；x>18时，y>72. 故甲户本月缴纳的水费为54元，则用水量应满足12<x≤18， 令6x-36=54,解得x=15,即甲用户该月的用水量为15m3. 故选：D 7.B 【分析】令u=3x-2,判断其单调性，根据复合函数的单调性，可判断y=log,u的单调性，结合对数的 真数大于0，解不等式，即可得答案 【详解】令u=3ar-2,则y=logu,因为a>0,所以u=3-2在[1,2]上是增函数， 根据复合函数的单调性知y=logu需为减函数，所以0<a<1. 又u=3x-2在x∈[L2]上需满足恒大于0，所以3a-2>0,即a>3 3 综上，实数a的取值范围是 故选：B 8.B 【分析】先根据指数对数转化减少未知量得出(y-3)-4'≥0，再根据函数的单调性得出不等关系即可求 出最值 【详解】令y=1og4n,n=4,.y-4-3≥0，(y-3)-4"≥0， y-3≤0， y≤3， m≤-2， y-3)-(-2)-4Ψ≥0,1-2y-4+6≥0， :f(y)=-2y-4+6单调递减，且f0)=-2-4+6=0, .当fy)≥0时y≤1，.1og4n≤1,0<n≤4，t的最大值为4. 故选：B. 9.ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系求得b=-4,c=-6a,再代入不等式 cx2-b.x+a<0,化简求解即可判断A、B;根据幂函数的性质判断C;利用基本不等式判断D. 【详解】为关于x的不等式ar2+bx+c≥0的解集为{x-2≤x≤3}， 所以-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0, （b=-2+3=1 由韦达定理得 a 所以b=-a,c=-6a, 二=-2×3=-6 a 则abc=6a3<0,A正确： 所以不等式cx2-b.x+a<0=-6ax2+r+a<0,又a<0, 则6x2-x-1<0,解得-3】 2 所以不等式cx2-bx+a<0的解集是 B正确； 由a<0,函数∫(x)=x在定义域内单调递减，C错误； 由于a<0,则1-3a>0, 动号(aW13(1=41- 当且仅当4-3+1，即a=1(合)或a:-时，等号成立， -3a+1 2 ,+9的最小值为3，D正确。 故选：ABD 10.ABC 【分析】根据指数与对数运算公式分别化简计算各选项. 【1延厦02月)--（品）-周)1号9145， A选项正确； B选项：2(1g2)2+3lg2lg5+(1g5)2-lg2=(2lg2+lg5)(lg2+lg5)-lg2=21g2+lg5-lg2=lg2+lg5=1,B 选项正确： c选项：由log,4=l,得x==1og,3,即f=3, log:4 所以4本4子3引写号c滤项正确 D选项：由2m=3”=k,则m=log2k,n=1og3k,且k>0, 即-le,2lg,3 所以1+1=lbg2+1og:3=1bg:6=2,解得=6，D选项错误； nn 故选：ABC 11.BCD 【分析】根据所给定义，即可代入选项逐一求解 【详解】对于A,由于√2025=45eQ,故D(√2025)=1，A错误， 对任意的x∈R,D(x)=0或D(x)=1,故D(x)∈2，因此D(D(x)=1,故B正确， 对于C,当x∈Q,则-x∈Q,故D(x)=1,D(-x)=1,满足D(-x)=D(x), 当x∈2，则-x∈9，此时D(x)=0,D(-x)=0,满足D(-x)=D(x), 故对任意的x∈R,都有D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数，C正确， 对于D,当x∈Q,则x+ae2,故D(x)=1,D(x+a=1,满足D(x+a=D(x), 当x∈2，则x+a∈Q,此时D(x)=0,D(a+x)=0,满足D(x+a=D(x), 故对任意的x∈R,都有D(x+a)=D(x),故D正确， 故选：BCD 12.号 【分析】设该扇形的半径为r,圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、r的方 程组，即可求解 【详解】设该扇形的半径为r,圆心角的弧度数为a, 2元 00°= a= 由题意可得 3 解得 3, 1 2元 (2ari= r=2 3 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为 故答案为： 3 13.-8 【分析】由已知可得P(2,8),待定系数法设出g(x)=x,代入求出=3，即可求出8(-2)的值. 【详解】由x-2=0可得，x=2,所以P(2,8) 设g(x)=x,由g(2)=8可得，2“=8，所以=3，即有g(x)=x, 5 所以g(-2)=（-2)=-8 故答案为：-8。 14.-1 【分析】通过分析g)=e-e的零点及在零点两侧函数值的正负，得出)=X十b+a在x>0时的零点及 在零点两侧函数值的正负，因为x>0,研究二次函数p(x)=x(x)的零点分布情况即可求解 【详解】设g的=e-e,)=x+b+a,则f)=g((,g0=0,且g)在0，+可单调递增， 1 当0<x<1时，8(x)<0;当x>1时，8(x)>0: 因为当x>0时f(x)≥0恒成立，函数h(x)为(0，+o)上的连续函数， 所以h(x)有一个零点为1，且当0<x<1时，h(x)<0;当x>1时，h(x)<0,所以a+b+1=0 令g(x)=h()=x2+x+b=x2+ax-a-1,因为x>0,所以()有一个零点=1，且当0<x<1时， p(x)<0;当x>1时，px)>0, 所以△=a2+4(a+1)>0,且xx2=-a-1≤0，所以a≥-1. 故答案为：-1 15.(1)1: @号 【分析】(1)用诱导公式和同角三角函数基本关系化简f),将7匹代入计算： (2)由条件得tanx的值，将代数式化简成由tanx表示，代入计算即可. 【详解】(1）f=二sx.snx=-ax,5分 sin x.cosx 所以孕m牙a孕m 4 n亚=1.…7分 4 (2)f(x)=-tanx=-2,所以tanx=2,…8分 sin x(sinx+cos)sinx+sinx cosx tan x+tanx.....13 1+sin2x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 3 (x+1)2,x>0 16.(1)f(x)= 0,x=0 -(x-1)2,x<0 (2)答案见解析. (3)t<9. 【分析】(1)根据奇函数的定义求解； 6 (2)分段作出函数图象即可得， (3)利用单调性求得f(x)有最大值可得. 【详解】(1)f(x)是奇函数，则f(0)=0, x<0时，f(x)=-f(-x)=-(-x+1)2=-(x-1)2, (x+1)2,x>0 所以f(x)= 0,x=0 ;…5分 -(x-1)2,x<0 (2)分别作出x>0,x=0,x<0的图象，图象如下： …l0分 (3)由图象知f(x)是增函数，f(x)在[-1,2]上最大值是f(2)=(2+1)2=9, 不等式f(x)-t>0在[-1,2]上有解，即t<f(x)在[-1,2]上有解， 所以t<9.…l5分 17.(1)f(n)=-2012+3201-560(n∈N),从第3年开始盈利 (2)7 【分析】(1)根据利润=销售收入-总成本求出∫(n),再解一元二次不等式可得答案： (2)先求出前n年的总盈利再求出g(n),结合双勾函数的性质即可得结果， 【详解】(1)由题意得f(m)=3601-（202+40n)-560=-202+3201-560(n∈N) 令f(n)>0,得2<n<14,而neN, 所以该设备从第3年开始使企业盈利.…6分 (2)当n≥3时，第1台设备使用了n年，第2台设备使用了n-2年， 前n年的总盈利为f(n)+f(-2)=-2012+3201-560-20-2)+320亿-2560 =-40n2+720n-1840(n≥3，n∈N), 则年平均盈利额gm=-40m+7201-1840-=40n+ 46 +720(n23,neN),…10分 n n 7 由双勾函数的性质可得g(m在(0，√46)上单调递增，在（√46，+∞）上单调递减， 当m=6时.g6-20.当n=7时.8)-1240，而8(0)>8何。 所以当n=7时，g(n)取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额g(n)最大时n=7.…15分 18.(1)奇函数；证明见解析 2)03:( 【分析】(1)根据奇函数定义判断证明； (2)①先利用函数单调性定义证明f(x)为R上的减函数，结合函数奇偶性化简f(2a-3)+f -0,得 解：②利用基本不等式求出1+2b的最小值，得解 【详解】（1)因为函数f(x)的定义域为R,…1分 Wx2+1+x)(N2+1-x） 又f(←x)=1g(x2+1+x）=lg Vx2+1-x 1=g2+1-灯=-+1-=术内，4分 -leri-x 所以函数f(x)为奇函数…5分 (2)①任取x,x2≥0，且x<x2, f(x)-f(x2)=lg(+1x)-1g(+1-x) =g(V+1+x）g(+1+xg x>20,∴V+1+x>V+1+>0, 则+5>，1e Vx好+1+x1 E+1+生>0，即f(s)-f(s)>0, V+1+x ∴f(x)>f(x),即f(x)在[0，+∞)上单调递减， …8分 又f(x)为R上的奇函数，所以f(x)为R上的减函数…9分 由a-*r80,a)8】 2-3=即2 +1=3.…11分 @a6>0.2a号3 日必-动+}+小非后a9分 2a+1=3 当且仅当 6 即=3b=名时，等号成立，15分 3 1 41 3 =4ab ab 所以2”的技小值为 需存在满足条件的ab,使得5+2b≤1成立，所以2号 a 8 所以实数t的取值范围为 3,o …17分 19.(1)0或1： 创 【分析】(1)依题意可得4-21+2=2，利用换元法计算可得； (2)依题意可得：-2at+2=1在[2,4上有解，参变分离可得2a=+?-1在[24上有解，结合对勾函数的 单调性求出t+2-1的取值范围，即可得解： (3)依题意可得-1-g(:)m≤f(:)≤-g(:)+1,根据8()的单调性，求出g(x)的最值，即可得到 -3≤f(:)≤0，换元得到1≤t2-2t+2≤8，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【详解】(1)当a=1时，由f(x)=-x可得，4-21+2=2， 令t=2,则t2-3t+2=0,解得t=1或t=2, 即2*=1或2*=2，解得x=0或x=1, f(x)的准不动点”为0或1：…4分 (2)由f(x)=-x得，1og(4-a.21+2)=-x, 即4-a.21+2 =2在1,2]上有解， 令t=2,由x∈[1,2]可得t∈[2,4]，则t2-2at+2=t在[2,4]上有解， 9 故2-2+片-1，当e利时，4子12单调溶，2 则2≤2a≤ t 7 得1≤a≤4 …10分 (3)由f(x)+8(x2)≤1得，-1≤f(x)+g(x)≤1， 即-1-g(x2)≤f(:)≤-g(x)+1,则-1-g(x)mx≤f()≤-g(x2)mm+1, 又由指数函数的性质可知g(x)在[0,1]上单调递增，·g(s,)=g0)=2,g(c,)=g(0)=1,则 -3≤∫(：)≤0， 即1≤4-a.2++2≤8， 2a≥t-6 令t=2,x∈[0，]，则t∈[1,2]，从而1≤t2-2at+2≤8，则 1’ 2a≤t+ 又为=1+y=-1在2上均为增酒数，则0ym=-1,0=2. 1≤20s2,即名a1,所以实数a的取值范国内为[分 …17分 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数y=f(y),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d] (1)若x∈[a,b],x∈[c,d],有f(:)<g(:)成立，则f(x)nx<g(r)aa: (2)若此∈[a,b],3x,∈[c,d],有f(5)<g(x)成立，则f(x)mm<g(x)mx: (3)若3x,∈[a,b],x,∈[c,d],有f(:)<g(s,)成立，则f(x)<8(rmx; (4)若x,∈[a,b],x2∈[c,d],有∫(s)=g(x)成立，则f(x)的值域是g(x)的值域的子集 102025一2026学年度上学期第二次月考 高一数学试题 命题人：李颖 审题人：吴誥 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。考试结束 后，只交答题卡。 第1卷客观题 一、单项选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.命题“x>0,x2-x+1>0的否定为() A.x>0,x2-x+1≤0 B.Vx≤0，x2-x+1≤0 C.x>0,x2-x+1≤0 D.3x≤0，x2-x+1≤0 2.若角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2),则2sina+cosa=() A.35 B.V10 C.5 D.30 5 10 3.已知集合A={1,a+9,a2+a,若6∈A,则a=() A.-2或3B.-3或2 C.2 D.-3 4.很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及24这 个数，请你估算24大致所在的区间是()（参考数据：1g2=0.30,lg3=0.48) A.(102,10） B.(109,1020） C.(1020,1021） D.(（100,1031) 5。对ab:,记mx红码=冬分商数)m的图象可能是) B. D 6.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m 超过12m3的部分但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量() A.12m3 B.13m3 C.14m3 D.15m3 2025一2026学年度上学期第二次月考高 7.已知函数y=log.(3m-2)(a>0,且a≠1)在1,2]上单调递减，则实数a的取值范围是() B. C.(1,3) D.(1,+∞) 8.若集合A={(m,m)m≤-2,0<n≤t,V(,)∈A,均有mlog4n-n-3m≥0恒成立，则t的最 大值为() A.2 B.4 C.8 D.16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为x2≤x≤3}，则() A.ab<0 R不爷式a-+a<0的解集为号引 C.函数(x)=x在定义域内单调递增 4+的最小值为3 D.3b+12 10.下列命题中正确的是() A02（)g)5--s B.2(1g2)+3lg2lg5+(lg5)-lg2的值为1 C.若x1og,4=1,则4+4的值为 10 D.若2=3=k且+1-2，则k=6 nl n 11.己知狄利克雷函数D(x)={0,xECQ' 1,x∈Q 则下列选项正确的有() A.D(W2025=0 B.D(D(x)=1 C.D(x)是偶函数 D.对任意a∈Q,都有D(x+a)=D(x) 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12。一个扇形的弧长和面积郑是受，则这个扇形的圆心角的弧度数为一 13.函数f(x)=3a-2+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P又在幂函数g(x)的图象上，则 g(-2)的值为 b 14,已知函数f()(x++a(e-c),当x>0时f)20恒成立，则a的最小值为— 数学试题 第1页共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （3 -+x 15.己知函数f(x)= sin(π-x)cos(2π-x) (1)求f (②诺f)=-2,求i血x(6inr+cosv的值 1+sinx 16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0，+∞)时， V f(x)=(x+1)2. (1)求函数f(x)的解析式： (2)画出函数f(x)的图像： (3)若关于x的不等式f(x)-t>0在[-1,2]上有解，求实数t的取值范围， 17.某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用 该设备前n年(n∈N)的材料费、维修费、人工工资等共20m2+40m万元，该台设备可使该企业每年的 销售收入为360万元，设使用该设备前n年的总盈利额为f()万元. (I)写出f(n)关于n的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利： (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第m年 的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若n≥3， 求这两台设备的年平均盈利额g(n)最大时n的值. 2025一2026学年度上学期第二次月考高 18.己知函数f(x)=lgV2+1-x,x∈R (1)判断函数∫(x)的奇偶性，并证明： ②已知正实数a,b满足/(2a-3)+/合)-0. ①求2a+方的值， ②若存在满足条件的a,b,使得二+2b≤t成立，求实数t的取值范围. l9.设函数f(x)的定义域为D,若存在x∈D,使得f(x)=-x成立，则称x为f(x)的一个“准 不动点”.已知函数()=log(4-a2+2): (1)若a=1,求f(x)的准不动点”： (2)若x。为f(x)的一个“准不动点”，且x。∈[1,2]，求实数a的取值范围： (3)设函数g(x)=2,若x∈[0，，3x2∈[0,1]使得f(x)+g(x2)s1成立，求实数a的取值范围. 数学试题 第2页共2页