第三章 勾股定理（A层）单元练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级上册数学期末复习

第三章 勾股定理（A层） 2025-2026鲁教版新教材七年级上册期末复习 一．选择题（共10小题） 1．下面四组数中不是勾股数的一组是（　　） A．6，10，8 B．5，7，8 C．10，24，26 D．9，40，41 2．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　） A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5 3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 6．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　） A．2.7米 B．2.5米 C．2米 D．1.8米 二．填空题（共5小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的边长为　 　 ． 12．一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形的周长为　 　 ． 13．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为　 　 尺． 14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　 ． 15．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面EB与地面垂直，工人师傅握住长杆AF的C处，此时长杆恰好能够到墙面EB上的维修点M（即M与A重合），若点C到地面的垂直高度CD为1.5米，点C到墙面EB的距离为0.8米，根据手中余杆CF的长度，计算出AC的长度为1.7米． （1）求M处离地面的垂直高度MB； （2）在余杆CF仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变，杆可任意倾斜），握住F处，且F离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点M正上方0.5米处的维修点E，请问能否成功？说明理由． 17．如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行，墙面与地面垂直），点A到地面的距离为40cm．在图 ①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm． （1）求小凳子顶点A与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝100cm，木杆BC比凳宽AB长50cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度． 18．小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； （2）看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当△A1B1C≌△BAC时，请帮助小毅把完整解题过程写下来． 19．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 21．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：1.41，1.73） 22．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 第三章 勾股定理（A层） 2025-2026鲁教版新教材七年级上册期末复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C D D B C A 一．选择题（共10小题） 1．下面四组数中不是勾股数的一组是（　　） A．6，10，8 B．5，7，8 C．10，24，26 D．9，40，41 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、62+82＝102，是勾股数，故此选项错误； B、52+72≠82，不是勾股数，故此选项正确．C、102+242＝262，是勾股数，故此选项错误； D、92+402＝412，是勾股数，故此选项错误； 故选：B． 2．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　） A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5 【分析】过A点作AF⊥BC于F，连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可． 【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP， ∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8， ∴BF＝4， ∴△ABF中，AF3， ∴8×35×PD5×PE， 125×（PD+PE） PD+PE＝4.8． 故选：A． 3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2， ∴32+AE2＝（9﹣AE）2， 解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）． 故选：C． 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解． 【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D， 可证明Rt△ADF≌Rt△BCA，Rt△DFK≌Rt△CAT， 所以S2＝SRt△ABC． 由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK， ∴S3＝S△FPT， 又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB， ∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC． 易证Rt△ABC≌Rt△EBN， ∴S4＝SRt△ABC， ∴S1+S2+S3+S4 ＝（S1+S3）+S2+S4 ＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC ＝SRt△ABC×3 ＝4×3÷2×3 ＝18． 故选：C． 6．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【解答】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：D． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【解答】解：A、∵c2ab（a+b）（a+b）， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵4c2＝（a+b）2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵4（b﹣a）2＝c2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 8．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S2， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3， 由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE， 又∵CE＝3， ∴CD＝3， 故选：C． 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　） A．2.7米 B．2.5米 C．2米 D．1.8米 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度． 【解答】解：由题意可得：AD2＝0.72+2.42＝6.25， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC2+AB2＝AC2， ∴AB2+1.52＝6.25， ∴AB＝±2， ∵AB＞0， ∴AB＝2米， ∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的边长为　　 ． 【分析】将面积关系转化为边长的平方关系，再用勾股定理计算即可． 【解答】解：∵以AC、BC为边的正方形面积分别为132和108， ∴AC2＝132，BC2＝108， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AC2﹣BC2＝132﹣108＝24， ∴小正方形M的边长． 故答案为：． 12．一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形的周长为　12　 ． 【分析】已知直角三角形的两条边，应分两种情况进行讨论，（1）已知两条边均为直角边，求斜边长；（2）已知一条为斜边，一条为直角边，求另一直角边，再分别求出其周长即可． 【解答】解：3和4为两直角边，则斜边为5， 所以周长为：3+4+5＝12； 故答案为：12． 13．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为　4.55　 尺． 【分析】设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【解答】解：设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 故答案为：4.55． 14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　4　 ． 【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答． 【解答】 解：观察发现， ∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠BAC＝∠EBD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC＝ED， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2， 即S1+S2＝1， 同理S3+S4＝3． 则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4． 故答案为：4． 15．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　5或　 ． 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：5； 综上，第三边的长为：5或． 故答案为：5或． 三．解答题（共8小题） 16．工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面EB与地面垂直，工人师傅握住长杆AF的C处，此时长杆恰好能够到墙面EB上的维修点M（即M与A重合），若点C到地面的垂直高度CD为1.5米，点C到墙面EB的距离为0.8米，根据手中余杆CF的长度，计算出AC的长度为1.7米． （1）求M处离地面的垂直高度MB； （2）在余杆CF仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变，杆可任意倾斜），握住F处，且F离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点M正上方0.5米处的维修点E，请问能否成功？说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理得出，图中MH的长，求出MB的值； （2）利用勾股定理求EH的长，与EB的长比较． 【解答】解：（1）过点C作CH⊥EB，H为垂足， 在Rt△CHM中根据勾股定理得HM， ∴MB＝1.5+1.5＝3（米）； （2）无法成功， 理由： ∵FM＝1.7+0.4＝2.1，HE＝1.5+0.5＝2， CH＝0.8，在Rt△CHM中根据勾股定理得HM2， ∴无法成功． 17．如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行，墙面与地面垂直），点A到地面的距离为40cm．在图 ①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm． （1）求小凳子顶点A与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝100cm，木杆BC比凳宽AB长50cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度． 【分析】（1）过A作AM垂直于墙面，垂足为点M，由勾股定理求出AM的长即可； （2）延长BA交墙面于点N，则∠BNC＝90°，设AB＝xcm，则CB＝（x+50）cm，BN＝（x+30）cm，CN＝60cm，在Rt△BCN中，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图①，过A作AM垂直于墙面，垂足为点M，则∠AMO＝90°， 由题意可知，OM＝40cm， 由勾股定理得：AM30（cm）， 答：小凳子顶点A与墙面的距离为30cm； （2）如图②，延长BA交墙面于点N，则∠BNC＝90°， 设AB＝xcm，则CB＝（x+50）cm，BN＝（x+30）cm，CN＝100﹣40＝60（cm）， 在Rt△BCN中，由勾股定理得：BN2+CN2＝BC2， 即（x+30）2+602＝（x+50）2， 解得：x＝50， ∴BC＝50+50＝100（cm）， 答：小凳子宽AB的长度为50cm，木杆BC的长度为100cm． 18．小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； （2）看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当△A1B1C≌△BAC时，请帮助小毅把完整解题过程写下来． 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据已知条件运用勾股定理可将AC的长求出，又知AA1的长可得AC的长，在Rt△A1B1C中再次运用勾股定理可将B1C求出，B1C的长减去BC的长即为底部B外移的距离． （2）根据全等三角形的性质得到AA1＝BB1，设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2＝2.52，再解即可． 【解答】解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1＝x， 则B1C＝x+0.7，A1C＝AC﹣AA10.4＝2（米）， 而A1B1＝2.5米，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2＝A1得方程（x+0.7）2+22＝2.52， 解方程得x1＝0.8，x2＝﹣2.2（舍去）， ∴点B将向外移动0.8米． （2）有可能相等， ∵△A1B1C≌△BAC， ∴A1C＝BC，B1C＝AC， ∴AA1＝BB1， 设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米， 则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2＝2.52， 解得：x1＝1.7或x2＝0（舍）． 所以当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 19．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可； （2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米， AB24（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； （2）由题意得：BA′＝20米， BC′15（米）， 则：CC′＝15﹣7＝8（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9 BC2＝9 ∴CH2+BH2＝BC2 ∴CH⊥AB， 所以CH是从村庄C到河边的最近路 （2）设AC＝x 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2 解这个方程，得x＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5千米． 21．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：1.41，1.73） 【分析】首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度． 【解答】解：由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°， 在直角三角形BPO中， ∵∠BPO＝45°， ∴BO＝PO＝100m， 在直角三角形APO中， ∵∠APO＝60°， ∴∠PAO＝30°， ∴AP＝2OP＝200m， ∴AO100m， ∴AB＝AO﹣BO＝（100100）≈73米， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/时＞80千米/时， ∴此车超过每小时80千米的限制速度． 22．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 【分析】设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设OA＝OB＝x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺， 在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102， 整理得：8x＝116，即2x＝29， 解得：x＝14.5． 则秋千绳索的长度为14.5尺． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD12， Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH 在△CHB和△AEF中， ∵， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/23 15:12:00；用户：周梦颉；邮箱：13153758901；学号：38846415 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $