专题04 分式（知识必备+10大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学分式专题复习讲义通过表格梳理核心考点、复习目标与考情规律，按分式的认识、基本性质、运算、方程及应用分块构建知识体系，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向的题型创新，通过分式方程实际应用（如工程问题）培养模型意识，新定义“互为关联分式”题提升推理能力，基础通关、重难突破、综合拓展练满足不同学生需求，助力教师实施精准分层教学。

专题04 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念类 理解分式的本质定义，熟练掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，并能解决相关参数求值问题。掌握分式的基本性质，能灵活运用性质进行分式的约分与通分，明确最简分式、最简公分母的定义，熟练完成不同分式间的通分转化。 基础必考点，考查分式的识别、有意义/无意义/值为零的条件判断，此类题目难度较低，侧重基础掌握情况，是得分关键。 分式运算类 熟记分式运算的全套法则，理解负整数指数幂的意义，能将负指数幂转化为正整数指数幂表达。 高频核心考点，考查重点是运算法则的熟练运用、符号处理及因式分解的辅助简化作用。 分式方程类 明晰分式方程的定义，掌握分式方程的求解步骤，理解增根产生的原因，能准确判断并处理增根问题。 重难点，核心考查求解步骤的规范性、增根问题分析、无解情况判断。部分题目会结合参数设置，提升考查难度。 实际应用类 能从工程问题、行程问题、价格问题等实际情境中抽象出数学模型，建立分式方程解决实际问题，同时能对解的合理性进行检验与解释。 难点，考查学生的建模能力，需准确梳理题干中的数量关系，建立分式方程并检验解的合理性。 知识点01 分式的认识 1.分式的定义：一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。本章主要讨论分母中含有字母的分式. 2.分式有、无意义和分式的值为零的条件 （1）分式有意义的条件：分母不等于零，即； （2）分式无意义的条件：分母等于零，即 （3）分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即且。 3.分式值为正和为负的条件 （1）分式的值为正数的条件：分式的分子与分母同号，即或 （2）分式的值为负数的条件：分式的分子与分母异号号，即或 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变。 用式子表示是： （为整式且） 2.约分 （1）约分的定义： 把一个分式的分子和分母中的公因式约去的过程，叫作约分。 （2） 最简分式的定义：这样的分式叫作最 简式. 约分可以化简分式．如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为最简分式. （3）约分的方法： 当分式的分子和分母都是单项式时，先找出分子与分母的最大公因式，然后将分子和分母的最大公因式约去。 当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式分解因式，然后约去分子和分母的公因式。 3.分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 即： 知识点03 分式的运算 1.分式的乘法法则 （1）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 即：。 （2）分式乘法运算的技巧： 两个分式相乘，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 2.分式的除法法则 （1）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 即：。 （2）分式除法运算的技巧： 两个分式相除，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 3.同分母分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即； 特别提醒： （1）分子相加减时，如果分子是单项式且符号为“”或分子是多项式，一定要给分式的分子加上括号。 （2）分式加减运算的结果，必须化成最简分式或整式 4.通分 Ⅰ通分的定义：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 Ⅱ确定最简公分母的步骤： （1）把多项式的分母能分解因式的要先分解因式； （2）取各分母系数的最小公倍数； （3）凡出现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取； （4）相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的。 按上述步骤取的因式的积，即为最简公分母。 Ⅲ通分的步骤： （1）确定最简公分母； （2）在确定公分母后，还要确定各分式的分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商。 5.异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后按同分母分式的加减法法则进行计算。 6.分式的四则混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，要先算乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的。 知识点04 整数指数幂 1、 零指数：； 2、负整数指数幂：； 知识点05 分式方程 一.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 二．解分式方程的步骤： （1）去分母，即在方程两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于的根是原方程的根，否则，便是增根，必须舍去。 三．增根和无解问题 1. 把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母等于的根是原方程的增根。 2. 方程无解问题：一是方程解出来，不存在，二是解出来的是增根。 四．列方程解应用题的一般步骤： 1、审题：就是弄清题意，弄明白哪些量是已知的，哪些量是未知的，要求的量是什么。 2、设未知数：在题目中一般设欲求的量为x，这种设法叫直接设未知数；有时为了列方程简便，也常常设其他的量为x，这种设法叫间接设未知数法。 3、列方程：根据题目的实际意义找出等量关系，并把这个等量关系用已知数与未知数表示出来，这就是列方程。 4、解方程并求出未知数的值，分式方程一定验根。 检验：这里的检验有两重含义，一是检验解方程是否正确，二是检验所解出的根是否符合题意。 题型二 分式及其性质 【典例1-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例1-4】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）当x 时，分式有意义． 【典例1-5】（24-25七年级上·上海闵行·期末）化简： ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【变式1-3】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果（都不为零，且），那么可以是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）当x 时，分式有意义． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海·期末）化简： ． 【变式1-6】（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【变式1-7】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 题型二 分式的加减 【典例2-1】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【典例2-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【典例2-3】（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【变式2-1】（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【变式2-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 题型三 分式加减乘除混合运算 【典例3】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【变式3-1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）化简：． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 题型四 含负整数指数幂的运算 【典例4-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）将表示成只含正整数指数幂的形式是 ． 【典例4-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）将分式表示成不含分母的形式为 ． 【典例4-3】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【变式4-1】（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 【变式4-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 题型五 分式的化简求值 【典例5-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 ． 【典例5-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）先化简，在求值：，其中． 【典例5-3】（24-25七年级上·上海·期末）先化简代数式，然后在、0、1、2、3中选取一个使原式有意义的x的值代入求值． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期末）已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果） 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期末）我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中． 题型六 解分式方程 【典例6-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【典例6-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【变式6-1】（23-24七年级上·上海·期末）解方程： 【变式6-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 题型七 分式方程的实际应用 【典例7-1】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【典例7-2】（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【典例7-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【典例7-4】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【典例7-5】（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【典例7-6】（22-23七年级上·上海·期末）某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 【变式7-1】（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【变式7-2】（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 【变式7-3】（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 【变式7-4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 题型八 根据分式方程解的情况求值 【典例8-1】（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【典例8-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【典例8-3】（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【不等8-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 【变式8-2】（22-23七年级上·上海青浦·期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是 ． 【变式8-3】（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 题型九 分式中规律探索 【典例9】（23-24七年级上·上海宝山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 【变式9-1】（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【变式9-2】（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 题型十 分式中的新定义问题 【典例10-1】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【典例10-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【典例10-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【变式10-2】（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【变式10-3】（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 ． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）将分式表示成不含有分母的形式： ． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，那么 ． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 8．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 9．（22-23七年级上·上海·期末）解方程：． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 2．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 5．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购 买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 6．（24-25七年级上·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 7．（23-24七年级上·上海闵行·期末）2023年第十九届亚运会在杭州圆满落幕，参加女子1500米自由泳的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平，在经过指导后，甲运动员的速度是原来的倍，时间缩短了50秒，那么经过指导后，甲运动员现在的速度是多少？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为． 化简：的结果为________ (1)求代数式A； (2)该题化简的结果能等于吗？为什么？ 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 5．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念类 理解分式的本质定义，熟练掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，并能解决相关参数求值问题。掌握分式的基本性质，能灵活运用性质进行分式的约分与通分，明确最简分式、最简公分母的定义，熟练完成不同分式间的通分转化。 基础必考点，考查分式的识别、有意义/无意义/值为零的条件判断，此类题目难度较低，侧重基础掌握情况，是得分关键。 分式运算类 熟记分式运算的全套法则，理解负整数指数幂的意义，能将负指数幂转化为正整数指数幂表达。 高频核心考点，考查重点是运算法则的熟练运用、符号处理及因式分解的辅助简化作用。 分式方程类 明晰分式方程的定义，掌握分式方程的求解步骤，理解增根产生的原因，能准确判断并处理增根问题。 重难点，核心考查求解步骤的规范性、增根问题分析、无解情况判断。部分题目会结合参数设置，提升考查难度。 实际应用类 能从工程问题、行程问题、价格问题等实际情境中抽象出数学模型，建立分式方程解决实际问题，同时能对解的合理性进行检验与解释。 难点，考查学生的建模能力，需准确梳理题干中的数量关系，建立分式方程并检验解的合理性。 知识点01 分式的认识 1.分式的定义：一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。本章主要讨论分母中含有字母的分式. 2.分式有、无意义和分式的值为零的条件 （1）分式有意义的条件：分母不等于零，即； （2）分式无意义的条件：分母等于零，即 （3）分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即且。 3.分式值为正和为负的条件 （1）分式的值为正数的条件：分式的分子与分母同号，即或 （2）分式的值为负数的条件：分式的分子与分母异号号，即或 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变。 用式子表示是： （为整式且） 2.约分 （1）约分的定义： 把一个分式的分子和分母中的公因式约去的过程，叫作约分。 （2） 最简分式的定义：这样的分式叫作最 简式. 约分可以化简分式．如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为最简分式. （3）约分的方法： 当分式的分子和分母都是单项式时，先找出分子与分母的最大公因式，然后将分子和分母的最大公因式约去。 当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式分解因式，然后约去分子和分母的公因式。 3.分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 即： 知识点03 分式的运算 1.分式的乘法法则 （1）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 即：。 （2）分式乘法运算的技巧： 两个分式相乘，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 2.分式的除法法则 （1）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 即：。 （2）分式除法运算的技巧： 两个分式相除，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 3.同分母分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即； 特别提醒： （1）分子相加减时，如果分子是单项式且符号为“”或分子是多项式，一定要给分式的分子加上括号。 （2）分式加减运算的结果，必须化成最简分式或整式 4.通分 Ⅰ通分的定义：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 Ⅱ确定最简公分母的步骤： （1）把多项式的分母能分解因式的要先分解因式； （2）取各分母系数的最小公倍数； （3）凡出现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取； （4）相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的。 按上述步骤取的因式的积，即为最简公分母。 Ⅲ通分的步骤： （1）确定最简公分母； （2）在确定公分母后，还要确定各分式的分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商。 5.异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后按同分母分式的加减法法则进行计算。 6.分式的四则混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，要先算乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的。 知识点04 整数指数幂 1、 零指数：； 2、负整数指数幂：； 知识点05 分式方程 一.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 二．解分式方程的步骤： （1）去分母，即在方程两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于的根是原方程的根，否则，便是增根，必须舍去。 三．增根和无解问题 1. 把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母等于的根是原方程的增根。 2. 方程无解问题：一是方程解出来，不存在，二是解出来的是增根。 四．列方程解应用题的一般步骤： 1、审题：就是弄清题意，弄明白哪些量是已知的，哪些量是未知的，要求的量是什么。 2、设未知数：在题目中一般设欲求的量为x，这种设法叫直接设未知数；有时为了列方程简便，也常常设其他的量为x，这种设法叫间接设未知数法。 3、列方程：根据题目的实际意义找出等量关系，并把这个等量关系用已知数与未知数表示出来，这就是列方程。 4、解方程并求出未知数的值，分式方程一定验根。 检验：这里的检验有两重含义，一是检验解方程是否正确，二是检验所解出的根是否符合题意。 题型二 分式及其性质 【典例1-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【典例1-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的8倍，故D不符合题意； 故选：C． 【典例1-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意． B、，不符合题意． C、，符合题意． D、，不符合题意． 故选：C． 【典例1-4】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）当x 时，分式有意义． 【答案】 【详解】解：由题可知， ， 解得 故答案为： 【典例1-5】（24-25七年级上·上海闵行·期末）化简： ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式的定义，利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、分子、分母不含有公因式，所以是最简分式，符合题意； B、分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； C、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； D、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：将和都扩大为原来的2倍，得， 故分式的值缩小为原来的， 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果（都不为零，且），那么可以是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【详解】解：由分式的基本性质可得，， ∴可以是，C符合要求； 故选：C． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）当x 时，分式有意义． 【答案】 【详解】解：根据题意，当分式有意义时，， 解得x， 故答案为：， 【变式1-5】（24-25七年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-6】（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-7】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴所有满足的整数x的值的和为， 故答案为：． 题型二 分式的加减 【典例2-1】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为： 【典例2-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 【典例2-3】（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解∶ 故答案为： 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】2 【详解】解： ． 【变式2-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 【答案】1 【详解】解： ， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 题型三 分式加减乘除混合运算 【典例3】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）化简：． 【答案】 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， ， ； 【变式3-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式• • • ． 题型四 含负整数指数幂的运算 【典例4-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）将表示成只含正整数指数幂的形式是 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【典例4-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）将分式表示成不含分母的形式为 ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【典例4-3】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ； 【变式4-1】（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 【变式4-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【详解】解； ． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】． 【详解】解：原式 ． 题型五 分式的化简求值 【典例5-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵ ， ∴， 故答案为：． 【典例5-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）先化简，在求值：，其中． 【答案】，9 【详解】解∶ ， 当时，原式． 【典例5-3】（24-25七年级上·上海·期末）先化简代数式，然后在、0、1、2、3中选取一个使原式有意义的x的值代入求值． 【答案】；4 【详解】解： ， 由题意得，， 代入，原式． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期末）已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期末）我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 题型六 解分式方程 【典例6-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：． 经检验是原方程的解． 所以原方程的解是． 【典例6-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【答案】无解 【详解】解： 解得， 当时，， ∴原方程无解． 【变式6-1】（23-24七年级上·上海·期末）解方程： 【答案】 【详解】解：， 整理方程为：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 【详解】（1）第②步最后的式子应为：， ∴从第②步开始出现错误； （2）整理得： 去分母，得： 整理，得： 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 题型七 分式方程的实际应用 【典例7-1】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【答案】调整后每度电的价格是元． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是元． 【典例7-2】（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】15千米/时 【详解】解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时； 【典例7-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】原计划每天铺设管道9米． 【详解】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得， 经检验 是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 【典例7-4】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【详解】（1）解：设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具3x套， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴（套）， 答：该经销商两次共购进这种玩具400套； （2）解：由（1）可知，第一批每套玩具的进价为（元）， 又∵总利润率为， ∴售价为（元）， 第二批玩具的进价为170元，售价也为200元， ∴这二批玩具经销商共可获利： （元）． 答：这二批玩具经销商共可获利13000元． 【典例7-5】（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 【典例7-6】（22-23七年级上·上海·期末）某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 【详解】（1）解：设书店月份该图书的售价为x元， 依题意得 解得 经检验是方程的解， 答：书店月份该图书的售价为元； （2）由（1）可知， 月销量为（本） 月销量为（本） 由月份书店销售该图书获利元， 则每本的进价为：元， 月份书店销售该图书获利为： （元） 答：月份销售该图书获利元． 【变式7-1】（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【答案】这种牛奶原价每瓶是12元 【详解】解：设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元， 则 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 【变式7-2】（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 【答案】汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟 【详解】解：设自行车的速度为米/分钟， 汽车与自行车的平均车速之比为3：1， 汽车的速度为()米/分钟， ， 解得： ， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， (米/分钟)， 【变式7-3】（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 【答案】改进技术后每小时加工生产的产品数件． 【详解】解：设原来每小时加工生产的产品数为件 解得： 经检验，是原方程的解，并符合题意 所以， 答：改进技术后每小时加工生产的产品数件 【变式7-4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 【答案】(1)玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元 (2)商家总共盈利元 【详解】（1）解：设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元； （2）解：由（1）可知，购进玫瑰味腊八粥的数量原味腊八粥的数量：(罐)， ∴商家总共盈利： (元) 答：商家总共盈利元． 题型八 根据分式方程解的情况求值 【典例8-1】（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解∶分式方程去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 【典例8-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 关于的方程无解， 或， ，， 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 【典例8-3】（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【不等8-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 【答案】3 【详解】解：， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【变式8-2】（22-23七年级上·上海青浦·期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是 ． 【答案】或者 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得：， ∵该分式方程无解， ∴或者， ∴或者， 故答案为：或者． 【变式8-3】（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解， 当时，满足题意， ， 解得：； （2）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 该方程的解为负数， ， 解得：， 由（1）可得，要使原分式方程有解，则， 的取值范围为：且． 题型九 分式中规律探索 【典例9】（23-24七年级上·上海宝山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 根据分式的分母不能为0，可得，， 因此的取值范围为且． （2）解：由（1）中结论可得从开始，每3个数为一个循环，分别为， ， ， 当时，． 【变式9-1】（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； （2）解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； （3）解： ． 【变式9-2】（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 题型十 分式中的新定义问题 【典例10-1】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为：不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 【典例10-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【知识点】分式化简求值、异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 【典例10-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 【变式10-2】（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【详解】（1）解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 【变式10-3】（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 把代入得：， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）将分式表示成不含有分母的形式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，那么 ． 【答案】 【详解】∵， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：2和可构造分式，答案不唯一，以或为分母均可． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：小明平均每分钟打字为个， 则可列方程是， 故答案为：． 9．（22-23七年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】无解 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程无解． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定整数x的值，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式； 当时，原式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【详解】原式 = 故答案为： 2．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由已知，可得， ∴， 则， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购 买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元． 6．（24-25七年级上·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 【答案】实际每天修建144米 【详解】设原计划一天修建x米，实际一天修建为 解得： 经检验为原方程的根 实际每天修建：米 答：实际每天修建144米 7．（23-24七年级上·上海闵行·期末）2023年第十九届亚运会在杭州圆满落幕，参加女子1500米自由泳的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平，在经过指导后，甲运动员的速度是原来的倍，时间缩短了50秒，那么经过指导后，甲运动员现在的速度是多少？ 【答案】米/秒 【详解】解：设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是米/秒， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：经过指导后，甲运动员现在的速度是米/秒． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为． 化简：的结果为________ (1)求代数式A； (2)该题化简的结果能等于吗？为什么？ 【详解】（1）解： ， ∵该题化简的结果为， ∴， ∴； （2）解：该题的化简结果不能等于，理由如下： 当时，则，解得， 经检验是方程的解， ∵当时，，即分式，此时没有意义， ∴该题的化简结果不能等于． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：能， 由（1）知，原代数式为， 令， 解得， 经检验，符合题意． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 【详解】（1）解：设第一次所购苹果的进货价是每千克x元， 第二次所购苹果的进货价是每千克元， 根据题意，列方程得： 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际． 答：第一次所购苹果的进货价是每千克5元． （2）解：第一次数量：千克；第二次数量：300千克 总获利：元 答：该水果店售完这些苹果共可获利1050元． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $