专题07 函数的应用（高效培优期末专项训练）高一数学上学期北师大版

专题07 函数的应用 考点01 二分法求方程的近似解 1 考点02 零点存在定理 5 考点03 二次函数零点分布问题 7 考点04 指数函数对数函数中零点个数/方程的解 9 考点05 由零点个数求参数范围 12 考点06 嵌套函数的零点问题 17 考点07 结合奇偶性对称性的零点/方程的根 20 考点08 比较零点的大小 21 考点09 求零点的和 25 考点10 指数函数与对数函数模型应用 27 考点01 二分法求方程的近似解 1．（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 考点02 零点存在定理 6．（25-26高一上·贵州·期末）方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·广西玉林·期末）对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 考点03 二次函数零点分布问题 11．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 13．（24-25高二下·安徽六安·期末）已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 15．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ． 考点04 指数函数对数函数中零点个数/方程的解 16．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·云南文山·月考）函数，若，且互不相等，则的取值范围是 ． 18．（24-25高一上·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 19．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．【多选题】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 考点05 由零点个数求参数范围 21．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 22．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 25．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ． 考点06 嵌套函数的零点问题 27．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 28．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，若关于的方程有唯一解，则 . 29．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 考点07 结合奇偶性对称性的零点/方程的根 30．【多选题】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则（    ） A． B． C．直线是函数的一条对称轴 D．若在区间上有8个零点，则所有零点的和为32 31．【多选题】（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（   ）． A． B．在上单调递增 C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 32．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数是定义在上的偶函数，对任意的，当时，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·广东·期末）已知函数.记，则（1） ；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为 . 35．（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点08 比较零点的大小 36．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 37．（24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点09 求零点的和 41．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 42．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 43．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 44．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，函数的所有零点之和为 . 45．（24-25高三上·山东·月考）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 考点10 指数函数与对数函数模型应用 46．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 47．（25-26高一上·上海松江·期中）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪， (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 48．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 49．（25-26高一上·上海·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 50．（24-25高一上·安徽·月考）某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. (1)正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ (2)某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的应用 考点01 二分法求方程的近似解 1 考点02 零点存在定理 5 考点03 二次函数零点分布问题 7 考点04 指数函数对数函数中零点个数/方程的解 9 考点05 由零点个数求参数范围 12 考点06 嵌套函数的零点问题 17 考点07 结合奇偶性对称性的零点/方程的根 20 考点08 比较零点的大小 21 考点09 求零点的和 25 考点10 指数函数与对数函数模型应用 27 考点01 二分法求方程的近似解 1．（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 5．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【分析】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 考点02 零点存在定理 6．（25-26高一上·贵州·期末）方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，，，，的函数值，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】和都是上的增函数． 故是上的增函数． ，， ，， 则，所以A错误． ，所以B错误． ，所以C正确． ，所以D错误． 故选：C． 7．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 8．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由零点存在定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 9．（24-25高一上·广西玉林·期末）对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各区间端点处函数值，根据零点存在定理即可判断出答案. 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ， 因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ， 结合选项知函数的零点所在的区间为， 故选：B． 10．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 考点03 二次函数零点分布问题 11．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得. 【详解】令，其图象对称轴为， 由方程 的两根都大于 1，等价于， 即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误. 故选：A. 12．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先换元对原函数进行化简，然后根据对勾函数的性质判断单调性和最值，进而求出结果. 【详解】令，因为，所以， 则有方程在内有2个根， 即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二下·安徽六安·期末）已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元法令，将方程的根问题转化为方程有2个不等实根，数形结合，根据一元二次方程根的分布列出不等式求解即可. 【详解】令，其函数图象如图： 方程可化为， 即，即， 则该方程有2个不等的实根， 设，则， 令， 则，或， 解得或无解， 所以实数k的取值范围是. 故选：. 14．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意， 综上所述有：. 故答案为：. 15．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ． 【答案】 . 【分析】第一空，即有2个大于1的根，由根的分布知识可得答案； 第二空，由韦达定理结合分解因式可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】的解集为， 则有2个大于1的根，则， 由韦达定理，可得，则. 注意到， 因，则，则， 故 . 当且仅当，即时取等号. 故答案为：；. 考点04 指数函数对数函数中零点个数/方程的解 16．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有 ，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以 ，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 17．（24-25高一下·云南文山·月考）函数，若，且互不相等，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可得到函数图象，不妨令，即可得到，，再由基本不等式求出的范围，即可得解. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以函数的图象如下图所示: 若，且互不相等，不妨设， 则， 则，即， 所以．又，，，所以， 又由，变形得，解得，所以． 所以的取值范围是. 故答案为： 18．（24-25高一上·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到，求出的取值范围，利用函数的单调性进而求解. 【详解】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解. 19．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出或，再就不同的情况分类求解即得参数的取值范围. 【详解】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，应该利用换元法转化内外两个方程的解的问题，先考虑外方程的解，再考虑内方程的解，结合总的解的个数，考虑内方程中参数的变化形式即可. 20．【多选题】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【分析】画出函数的图象后可判断A的正误，由图象的局部对称性可判断B的正误，利用换元法可判断CD的正误. 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数. 考点05 由零点个数求参数范围 21．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 22．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. 23．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知与有2个交点，作出函数的图象，结合图象即可得结果. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 24．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，可得函数为偶函数，结合已知可得，可求得的值. 【详解】因为，所以， 令，则， 又因为， 所以函数为偶函数，又函数有唯一零点， 则有唯一零点，所以，解得. 故选：D. 25．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 26．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，作出函数的简图，结合函数图象，分情况列出不等式求解即可. 【详解】  设，，则的图象如图所示： 当时，显然不成立； 当时，有一个解，设为，由图可知，当时，显然无四个解，不成立． 当时，有三解，设为，由图可知． 无解，有三解，有一解，故满足题意． 当或时，显然不满足题意． 综上所得，实数的取值范围为：. 故答案为：. 考点06 嵌套函数的零点问题 27．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得的值，进而计算可得的值，可得第一空答案；对于，设，则，求得的取值范围，结合函数的图象分析解的情况即可求解． 【详解】依题意，，； 令，，当且仅当时取等号， 则或，当或时，方程有两个相等的根， 当或时，方程有两个同号且不相等的实根， 方程化为，而， 当时，在上递减；当时，在上递减， 因此由方程有4个不等的实数根，得方程在上各有一个实根， 则函数在的图象与直线有两个交点，如图： 观察图象知，当时，直线与在的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：令并求出值域，把问题转化为方程在上各有一个根，数形结合求解. 28．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，若关于的方程有唯一解，则 . 【答案】1 【分析】根据判别式，结合零点为0即可求解. 【详解】由于关于的方程有唯一解， 且有唯一的实数根，故， 故又零点为，故， 因此， 故， 故答案为：1 29．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 考点07 结合奇偶性对称性的零点/方程的根 30．【多选题】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则（    ） A． B． C．直线是函数的一条对称轴 D．若在区间上有8个零点，则所有零点的和为32 【答案】ACD 【分析】通过函数图象的平移性质，由的对称轴推出的奇偶性，这是后续推理的基础,利用已知等式，通过赋值法求出与的值，思路合理,根据函数的周期性和奇偶性，结合给定区间上函数的单调性判断选项B.对于选项C，通过一系列等式变换，利用函数的奇偶性和周期性证明直线是的对称轴.对于选项D，将的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性求出所有零点之和. 【详解】因为的图象关于直线对称，根据函数图象平移规律， 将的图象向左平移个单位得到的图象， 所以的图象关于对称，即是偶函数，， 已知，令，则， 由于，所以，故A正确， 由，可得，进而， 所以函数是周期为的周期函数， 对任意，当时，， 移项得到， 这意味着当，即时，， 所以在上单调递增， 因为是偶函数，所以在上单调递减， ，， 由于在上单调递减，所以，即，故B错误， 函数的周期为，又因为的图象关于直线对称， 所以的图象关于轴对称，即， 因为的图象关于轴对称，所以， 又因为的周期为，则， 再根据，可得， 同样，，而， ， 所以，设，则， 因为是偶函数，所以， 那么， 所以直线是函数的一条对称轴，C选项正确， 令，即， 设，，关于对称， 是周期为的偶函数， 由在区间上有个零点，这个零点两两关于对称， 设这个零点为，则，，，， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 利用函数图象的平移规律来确定函数的奇偶性，这是一种常见的方法,对于给定的函数等式，通过合理赋值可以求出函数在特定点的值. 由函数等式推出函数的周期性，再结合奇偶性和给定区间的单调性来比较函数值大小,证明函数对称轴时，通过对函数表达式进行变形，利用函数的性质进行推导. 31．【多选题】（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（   ）． A． B．在上单调递增 C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据及区间解析式，求函数值判断A；由周期性求相关区间解析式画出草图判断B；数形结合判断与交点情况判断C、D. 【详解】A，因为，，所以， 当时，，则， 所以，对； B，由，则，故， 其开口向下且对称轴为，所以在上单调递增，对； C，因为，函数的零点从小到大依次记为， 若，则是与在对称轴为对应区间上的交点横坐标， 在上，则，则， 在上，如下图示， 根据与的交点情况，可得，对； D，同C分析，若在上有4个零点，由图知，错． 故选：ABC 32．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数是定义在上的偶函数，对任意的，当时，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数性质结合得出函数的周期，画出图像，再数形结合得出不等关系计算求解即可. 【详解】∵，∴是周期为的函数． 又∵时，并且函数是偶函数．∴函数在上图象如图所示： 当，则，， 当，则，， 直线过，直线与的图象有3个不同的公共点， 当时，直线与的图象有无数个交点， 当时，直线与的图象有3个不同的公共点，有2个根，有1个根， 满足，即得，所以． 当时，直线与的图象有3个不同的公共点，有2个根，有1个根， ，即得，所以． 综上，实数的取值范围为. 故选：B． 【点睛】方法点睛：根据零点个数求参数问题，通常转化为两个函数图象的交点个数问题，利用函数图象直观求解. 33．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的图象关于对称，可得出的奇偶性，然后利用奇偶性求出的解析式，根据函数定义，再结合的解析式即可画出的图象，最后将函数有零点问题转化为函数图象有交点问题，从而可得解. 【详解】因为的图象关于对称，所以函数的图象关于， 所以函数为偶函数，即， 又当时，当时，，， 即，所以， 由题意可得，函数的图象如下图所示： 若函数有零点，等价于方程有解，等价于函数与函数的图象有交点，由上图可知，当时，满足题意. 故选：A 34．（24-25高一上·广东·期末）已知函数.记，则（1） ；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用归纳法，根据函数的周期性思想，可得函数值的求解；根据题意，利用数形结合思想，结合函数的对称性，可得答案. 【详解】当时，；假设当时，； 当时，. 根据数学归纳法，可得，在上恒成立. ， 由题意可得（）， 则可得（）为函数的图象与直线在上交点的横坐标，如下图： 由图可得， 当时，显然当时，可得， ， 结合图象，函数的图象在上关于直线对称， 由题意同理可得，函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 不妨设， 则，，，， 所以. 故答案为：；. 35．（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 考点08 比较零点的大小 36．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 37．（24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. 38．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 39．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 40．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【详解】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 考点09 求零点的和 41．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 42．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 【答案】2 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：分析函数的对称性及单调性是求解问题的关键. 43．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解： （1）若函数与的图象关于点对称，则； （2）若函数与的图象关于直线对称，则. 44．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，函数的所有零点之和为 . 【答案】 1 【分析】结合奇函数的性质分段代入计算得解；按分段求出方程的解，进而求出所有根的和. 【详解】依题意，，因此； ，当时，，则，解得或； 当时，若，则，， 由，得，解得； 若，则，， 由，得，解得或， 所以函数的所有零点之和为. 故答案为：1； 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： ①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． ③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 45．（24-25高三上·山东·月考）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 考点10 指数函数与对数函数模型应用 46．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 47．（25-26高一上·上海松江·期中）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪， (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 【答案】(1)（分贝） (2)噪音的能量范围为 (3)能量增加了倍 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，根据对数函数的性质解出； （3）令，，解得即可得结论. 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 所以，则， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）令，解得， 令，解得， 所以， 当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了倍． 48．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【答案】(1)，； (2)模型（且）更合适，理由见解析； 【分析】（1）将表格中的数据代入两模型解方程组可求得函数解析式； （2）将自变量代入两模型计算求得，得出与更接近的模型即可. 【详解】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； （2）当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理. 49．（25-26高一上·上海·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 【答案】(1)选③，理由见解析，函数解析式为. (2)20分钟到40分钟 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①②,代入数据③中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【详解】（1）模型①:假设；， 当时，不是，故①不符合题意； 模型②:假设；时， 当时，不是，故②不符合题意； 模型③:假设；时符合， 当时，得， 当时，，故③符合题意； 最符合上述规律的是模型③，. （2）由题意，所以分钟， 因为单调递增，故，当且仅当. 设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为， 则且，故分钟，又 所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟. 50．（24-25高一上·安徽·月考）某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. (1)正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ (2)某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 【答案】(1) (2)不正常 【分析】（1）根据题意得到，代入，整理结果并取自然对数得，再代入值求解即可. （2）求出两个阶段后的污染物含量的正常值，再跟污染物含量为对比即可. 【详解】（1）令并代入，得，等式两边同取自然对数得，整理得 ∵， ∴， 所以污染物含量降低到初始值的一半大约需要. （2）由题知，先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，正常情况下，此时污染物含量应该为， ∵， ∴，所以； 因为，故当天废气处理系统的运行不正常. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $