专题01 函数零点与方程的解的八大热点题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题01 函数的零点与方程的解的八大热点题型 题型一：求函数零点（方程根）的个数 2 题型二：判断函数零点（方程根）所在区间 3 题型三：根据零点（根）所在区间求参数取值范围 3 题型四：已知零点（根）的个数求参数取值范围 4 题型五：比较零点（根）的大小 5 题型六 求零点（根）的和 6 题型七 二次函数的零点（二次方程的根）的分布 6 题型八 嵌套函数零点问题 8 【方法指导】 1.已学基本初等函数的零点 (1)一次函数只有一个零点； (2)反比例函数没有零点； (3)指数函数（且）没有零点； (4)对数函数（且）只有一个零点1； (5)幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 2、求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 3.判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 4．确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 5.根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对详解式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 题型一：求函数零点（方程根）的个数 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025高二·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一上·湖南长沙·月考），下列说法不正确的是（　　） A．是偶函数 B．有最小值，没有最大值 C．有4个零点 D．在和单调递减 6．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点个数是 ． 题型二：判断函数零点（方程根）所在区间 7．（25-26高三·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数（，且）的图象经过定点，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·河北保定·开学考试）下列区间中，函数存在零点的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·湖北·期中）方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 题型三：根据零点（根）所在区间求参数取值范围 12．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（25-26高一·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 16．（2025高一·全国·专题练习）若函数的零点，则整数的取值为 ． 题型四：已知零点（根）的个数求参数取值范围 17．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 18．（2025高一·浙江杭州·期中）若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若曲线与恰有三个交点，则（    ） A． B．或1 C．1 D．2 20．（2025高三·全国·专题练习）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（2025高一·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（2025高三·全国·专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是 . 23．（2025高三·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 24．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 题型五：比较零点（根）的大小 25．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 29．（多选）（2025高一·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 题型六 求零点（根）的和 30．（2025高一·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 31．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 32．（25-26高一上·山东·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（   ） A． B． C．0 D．4 33．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 34.（多选）（24-25高二下·广西崇左·期末）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 35．（25-26高一上·云南昭通·期中）设满足满足，则 . 题型七 二次函数的零点（二次方程的根）的分布 36．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·全国·专题练习）已知在上有两个零点，则的取值范围是 ． 38．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 39．（25-26高一上·天津河北·月考）已知关于的方程有两根、，若，则实数的取值范围是 ． 40．（25-26高一上·贵州遵义·月考）已知函数. (1)若关于的方程的一个实数根大于1，一个实数根小于1，求实数的取值范围； (2)若函数在有两个零点，求实数的取值范围. 41．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 42.（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程在上： (1)有实根，求的取值范围； (2)有两个不同的实根，求的取值范围； (3)有一个实根，求的取值范围； (4)无实根，求的取值范围． 题型八 嵌套函数零点问题 43．（25-26高三·辽宁·开学考试）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 44．（2025高一·山西·阶段练习）已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 45．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 47．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 48．（多选）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 49.(多选)（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 50．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的零点与方程的解的八大热点题型 题型一：求函数零点（方程根）的个数 2 题型二：判断函数零点（方程根）所在区间 5 题型三：根据零点（根）所在区间求参数取值范围 7 题型四：已知零点（根）的个数求参数取值范围 9 题型五：比较零点（根）的大小 15 题型六 求零点（根）的和 18 题型七 二次函数的零点（二次方程的根）的分布 21 题型八 嵌套函数零点问题 27 【方法指导】 1.已学基本初等函数的零点 (1)一次函数只有一个零点； (2)反比例函数没有零点； (3)指数函数（且）没有零点； (4)对数函数（且）只有一个零点1； (5)幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 2、求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 3.判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 4．确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 5.根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对详解式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 题型一：求函数零点（方程根）的个数 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域为，根据函数零点与方程的关系，令，解方程再配合函数的定义域即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 令，可化为，即， 解得或， 又，则， 所以函数的零点个数为. 故选：B. 2．（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分段函数的性质直接计算零点即可. 【详解】令，符合题意； 令或，，不符合题意，，符合题意. 所以函数的零点个数为2. 故选：B 3．（2025高二·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 4．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点. 【详解】解：由和 都在上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点． 因为,,所以函数有且只有一个零点. 故选：B. 5．（25-26高一上·湖南长沙·月考），下列说法不正确的是（　　） A．是偶函数 B．有最小值，没有最大值 C．有4个零点 D．在和单调递减 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义判断A，根据函数的单调性判断BD，令求出的值，判断C. 【详解】函数的定义域为， 对于A：，所以是偶函数，故A正确； 对于B、D：当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，无最大值； 又是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 在上有最小值，无最大值； 所以有最小值，没有最大值，故B、D正确； 对于C：令，所以，即，所以， 所以有2个零点，故C错误； 故选：C 6．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点个数是 ． 【答案】2 【分析】作出与的函数图象，根据图象交点个数得出答案. 【详解】令，， 则原函数的零点个数问题就转化为两个新函数图象的交点个数问题． 由图，可知原函数的零点个数为2． 故答案为：2. 题型二：判断函数零点（方程根）所在区间 7．（25-26高三·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在区间是. 故选：B 8．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 9．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数（，且）的图象经过定点，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指、对数函数的定点可得，再判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为函数（，且）的图象经过定点， 则，解得， 可得， 可知在定义域内单调递增，且，， 所以函数的唯一零点所在的区间为. 故选：A. 10．（25-26高三·河北保定·开学考试）下列区间中，函数存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段讨论，通过求函数值的范围和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，，不存在零点. 当时，，由，可得. 因为，所以的零点在区间内. 故选：A. 11．（2025高一·湖北·期中）方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 题型三：根据零点（根）所在区间求参数取值范围 12．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 13．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由函数单调性和即可由函数零点存在性定理求解. 【详解】和均为单调递增函数， 所以在上也为单调增函数， 因为， 所以函数的零点在区间上， 又函数的零点在区间上， 所以. 故选：C. 14．（25-26高一·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 15．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为在上单调递增，所以可由零点存在定理得，即，解关于的不等式可得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以在区间内单调递增，则由零点存在定理可得， 即，解得，故的取值范围是． 故答案为： 16．（2025高一·全国·专题练习）若函数的零点，则整数的取值为 ． 【答案】或2 【分析】先将零点问题化为交点问题，再结合图象确定其中一个零点范围，再利用零点存在性定理确定另一个零点范围，最后求解参数即可. 【详解】由题意得的定义域为， 令，则， 可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标， 如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．    而函数的零点，解得， 而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 因为该零点满足，且为整数，所以， 综上，或2. 故答案为：或2 题型四：已知零点（根）的个数求参数取值范围 17．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 18．（2025高一·浙江杭州·期中）若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，则，结合对勾函数的性质求区间值域，再由交点情况，即自变量个数确定参数范围，即可得. 【详解】由，令，则， 由在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为， 所以在上值域为，在上的值域为， 则时，有2个不同的对应值，此时有3或4个不同值， 时，有1个对应值，此时有2个不同值， 要使函数的图象与直线有两个交点，则，最小. 故选：B 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若曲线与恰有三个交点，则（    ） A． B．或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】依题意，均为偶函数，两函数恰有三个交点，可知轴左右两侧的交点必然成对出现，要使其有三个交点，，计算，解得.对分类讨论计算交点； 【详解】易知，均为偶函数，若曲线与恰有三个交点， 由，均为偶函数可知两函数在轴左右两侧的交点必然成对出现，要使其有三个交点， 则需在处也相交.所以，即，解得. 当时，，，此时只有一个交点，不符题意； 当时，，，此时有，，三个交点，故. 故选：C. 20．（2025高三·全国·专题练习）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，由和函数的单调性和值域可知，要使方程有4个不相等的实数根，则，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，显然不符合题意； 当时，函数和函数都是定义域内的单调函数， 且函数的值域为， 则由题意得函数的值域为，所以， 则函数，即的值域为， 的大致图像如图所示，由函数图像易得要使方程有4个不相等的实数根， 则，即，又因为， 解得. 故选：C． 21．（多选）（2025高一·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】将函数有两个不同的零点，转化为的图象与直线有两个不同的交点，数形结合求解参数范围. 【详解】依题意，等价于． 令，则的图象与直线有两个不同的交点． 其图象如图,    由图可知，可知BC符合题意． 故选：BC． 22．（2025高三·全国·专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数有两个不同的零点，分类讨论，解得或，继而根据充分不必要条件的含义得出答案. 【详解】，则是的一个零点， 则有两个不同的零点有两种情形： ①若是方程的一个根， 则方程有两个不相同的实数根， 则， 此时方程，解得，，符合， 故时，有，两个不同的零点； ②若不是方程的根，则方程有两个相同的实数根， 则，解得， 此时，解得， 故时，有，两个不同的零点； 综上，函数有两个不同的零点，则或， 所以是有两个不同的零点的一个充分不必要条件， 故答案为：（答案不唯一）. 23．（2025高三·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】或， 【分析】根据函数的单调性，作出函数图像，即可结合函数图像的交点个数求解. 【详解】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，， 作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或， 故答案为：或， 24．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合法：先对详解式分析函数单调性，求得端点值和最小值，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解即可 【详解】当时，在单调递减，在单调递增， 则，； 当时，在单调递增. 如图，作出的大致图象， 只需函数与的图象有三个交点，结合图象得的取值范围为. 故答案为：. 题型五：比较零点（根）的大小 25．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 26．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 27．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数图象的交点，画出图象数形结合即可. 【详解】分别作出函数，，，的图象如图所示， 其中是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标，由图可得．    故选：B 29．（多选）（2025高一·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. 题型六 求零点（根）的和 30．（2025高一·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 31．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】先求解方程的根，再求和即可求解. 【详解】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 32．（25-26高一上·山东·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数的性质并作出在内的图象，结合图象求解. 【详解】函数是上的奇函数，当时，， 当时，，则， 于是当时，，由，得是函数图象的对称轴， 由奇函数性质可得也是函数图象的对称轴，作出函数在上的图象，如图， 观察图象知，也是函数图象的对称轴，直线与函数在上的图象有4个交点， 因此方程在内有4个根，所有实数根的和为. 故选：A 33．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 34.（多选）（24-25高二下·广西崇左·期末）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 【答案】ABD 【分析】根据详解式及对数函数性质画出函数大致图象并确定函数的相关性质，进而得且，，进而判断各项的正误. 【详解】由详解式，在，上单调递减，在，上单调递增， ，，可得函数大致图象如下， 由，且，则， 所以，易知，且， 所以，， 综上，. 故选：ABD 35．（25-26高一上·云南昭通·期中）设满足满足，则 . 【答案】1 【分析】由题意转化为和是方程的根，即可求解. 【详解】， 所以是的根，也是方程的根， 函数是增函数，所以，则. 故答案为：1. 题型七 二次函数的零点（二次方程的根）的分布 36．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 37．（2025高一·全国·专题练习）已知在上有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设函数在上的两个零点分别为，结合韦达定理得，据此可求其取值范围即可. 【详解】设函数在上的两个零点分别为， 则， 由根与系数的关系可知， 所以， 因此． 又，且，则． 故答案为： 38．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的图象特征，列出不等式组求解即可． 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在点（2，0）的右侧， 如图． 根据图象可得，解得． 故答案为：． 39．（25-26高一上·天津河北·月考）已知关于的方程有两根、，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质列出不等式求解即可. 【详解】记， 由题意，得，解得． 故答案为：． 40．（25-26高一上·贵州遵义·月考）已知函数. (1)若关于的方程的一个实数根大于1，一个实数根小于1，求实数的取值范围； (2)若函数在有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由且判别式大于零可得； （2）利用判别式大于零，对称轴在内，端点值大于等于零三个条件列不等式组可得. 【详解】（1）由题意得：，即 所以，此时判别式，当时，，保证有两个不同的实根，故的取值范围为. （2）由题意得，解得. 41．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图象与轴交点的位置讨论方程根的情况． 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为． 两根都大于0，如图1所示，则，解得． （2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得． （3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得． 42.（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程在上： (1)有实根，求的取值范围； (2)有两个不同的实根，求的取值范围； (3)有一个实根，求的取值范围； (4)无实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 有交点，作图数形结合即可. （2）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 有2个不同的交点，作图数形结合即可. （3）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 只有一个交点，作图数形结合即可. （4）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 没有交点，作图数形结合即可. 【详解】（1）令 ，由于 ，有 ， 方程可化为：，可得， ， 令，， 作出的图象如图： 问题可转化为与在 有交点， 只需， 所以. （2）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 有两个不同交点，作出图象： 由图可知，得 . （3）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 上只有一个交点，作出图象： 由图可知：或， 故或. （4）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 没有交点，作出图象： 由图可知：或， . 题型八 嵌套函数零点问题 43．（25-26高三·辽宁·开学考试）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，设，首先得到与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，然后将方程解的个数问题转化为方程，，解的个数之和即可得出答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B 44．（2025高一·山西·阶段练习）已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据已知有或，数形结合确定零点个数及其数量关系，进而求零点的和，最后求函数值. 【详解】关于的方程，解得或， 由函数图象如下， 当时，原方程有三个实根，其中一个根为，另两个根关于直线对称，则； 当时，原方程有两个实根，设为，，这两个根关于直线对称，则． 所以原方程一共有5个不同的实根， 所以， 故选：B 45．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，时，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. 46．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 47．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据详解式，作出图象，根据有7个零点，可得与的图象有7个交点，分别讨论、、、和，5种不同的情况，根据图象交点个数，分析判断，可得a的范围，即可得答案. 【详解】当时，单调递减， 当时，单调递减，当时，单调递增， 作出图象，如图所示    因为函数有7个零点，所以有7个根， 即与的图象有7个交点， 令，则， 当时，与的图象只有一个交点，此时，    因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，且为-1和2， 则和与图象共有4个交点，不符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为，    则， 此时与共有7个交点，符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为， 则， 此时与共有6个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，设为， 则， 若时，此时与共有4个交点，不符合题意， 若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图， 综上，a的取值范围是，则可以为2. 故选：A 48．（多选）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 【答案】BC 【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项. 【详解】∵函数为偶函数，即 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图像如下图， 令，则，，，为方程的解,所以 ∴，即，∴，∴， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或 ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D选项错误. 故选：BC 49.(多选)（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 【答案】BC 【分析】作出的大致图象，对于A和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首先若，则有或，数形结合即可建立的不等式组并求解，即可判断. 【详解】如图，作出的大致图象， 由图可知， 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误； 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确. 令，得，解得或. 若有5个零点，则或解得，故C正确. 若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误. 故选：BC. 50．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，设在时直线与的图象有4个交点， ，令，只需方程有2个不同的解，根据一元二次方程根的分布，列不等式求解即可． 【详解】如图，作出函数的图象，易知， 当时，此时有4个不同的实数根， 当或时，此时有3个不同的实数根， 当时，此时有2个不同的实数根， 当时，此时有1个不同的实数根， 当时，此时没有实数根， 因此只有在时直线与的图象有4个交点， 所以要满足关于的函数有8个不同的零点， 令，则方程在上有两个不等实根， 则有解得． 故答案为：. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $