专题12 对数与对数函数的性质题型归类（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题 对数与对数函数的性质题型归类 目录： 类型一：对数运算 类型二：对数的概念 类型三：对数函数定义域 类型四：对数函数定义域求参数 类型五：对数函数求值 类型六：对数函数的解析式求解 类型七：对数函数的图像 类型八：对数函数过定点 类型九：对数函数的单调性 类型十：对数函数单调性求参数 类型十一：对数函数的值域 类型十二：对数函数值域求参数 类型十三：对数函数最值 类型十四：对数函数有关的奇偶性 压轴专练 类型一：对数运算 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） （4） 2、对数恒等式 3、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 4、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； 5、对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并 (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算 (3)指对互化: ,(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【例1-1】计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)（5）3 【解析】（1）解法一： 原式. 解法二：原式. （2）原式 . （3）原式 （4）原式 （5） 原式． 【例1-2】设，，，当取最小值时的的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则结合换底公式得到，估算其大小得到答案. 【详解】 ， ，故， ，，故当取最小值时的的值为. 故选：C. 【变式1-1】计算下列各式的值． (1)． (2)． (3) . (4)； (5) (6)； (7) (8), 【答案】(1)(2)(3)2(4)(5)(6)(7)(8) 【解析】 （1）原式可化为： （2）. （3） =2 （4）； （5） ． （6） ； （7）. （8） 【变式1-2】(1).已知，，求.（用表示） (2).已知，，求.（用表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由指数式与对数式的关系可得，结合对数运算公式化简即可； （2）由指数与对数关系可得，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 所以. （3）已知，（且）． (1)求的值； (2)若，解关于x的不等式：（其中）． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解； （2）利用对数的运算可得，再分类讨论，，，和，解不等式即可得解. (1) 由，，得， (2) ， ， 不等式 （1）当时，不等式为：，解得，不等式的解集为； （2）当时，方程的两个根为和 ①当时，，二次函数开口向下，不等式的解集为； ②当时，，二次函数开口向上，不等式的解集为； ③当时，二次函数开口向上，不等式的解集为； ④当时，二次函数开口向上，不等式的解集为； 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （4）设，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由已知可解得，根据换底公式可得，根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 因为，根据基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 则， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式1-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）（2）（3）利用对数运算性质可得结果； （4）分和两种情况解方程，综合可得原方程的解． 【详解】（1）由得解得． （2），等价于，即， 即，解得或，所以或． （3）由得，所以， 令，则，解得或，所以或． （4）当，即时，原方程即为，即，可得， 又，所以此时方程无解； 当，即时，原方程即为，可得，解得． 综上，原方程的解为． 【变式1-4】已知，则（    ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先根据对数运算公式化简为同底数的对数，再化简为真数相等的等式，求的值，以及的值. 【详解】由已知化简为， 所以 ，即 ，整理为， 因为，所以，解得：或（舍）， 当时，，.故选：B 【变式1-5】若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 .故选A. 【变式1-6】已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，，因为，，故，， ， 当且仅当时，即时等号成立．所以的最小值为． 故选：C 类型二：对数的概念 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.概念理解 (1)对数函数的底数a>0，且a≠1. (2)形式上的严格性：logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.　　　 【例2】在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式2-1】．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 【变式2-2】．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 【答案】B 【分析】结合对数性质可逐一判断各选项. 【详解】对A，若，则均无意义，故A错； 对B，若，说明，则B项正确； 对C，若，则，不一定能推出，故C错； 对D，若，则无意义，故D错. 故选：B 【变式2-3】．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】解方程、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由可得，解得；由可得. 因为，因此，“”是“”的必要非充分条件    . 故选：B. 类型三：对数函数定义域 函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ⑤对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； 【例3-1】设全集U＝R，若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数型复合函数的值域以及对数型函数的定义域即可求解,利用集合的交兵补运算即可求解. 【详解】由集合的意义，可得M为函数的值域，令 ， 由二次函数的性质可得 ，易得 ，进而可得0≤≤2； 在中，有1≤y≤4；即M＝{y|1≤y≤4}，则或y＞4}； 集合N为函数的定义域，则，解可得 ，即 ； 则 ；故选：D． 【变式3-1】.（21·22下·河南·模拟预测）已知函数，的定义域为M，的定义域为N，则（    ） A． B． C．MN D．NM 【答案】B 【分析】分别求出的定义域为M和的定义域为N即可求解. 【详解】，则， ，则，所以，故选：B． 【变式3-2】.（21·22上·南阳·期末）已知函数，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式求出的定义域，再根据函数的解析式， 列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使有意义，则即，解得， 所以函数的定义域为.要使有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为.故选：B. 【变式3-3】已知函数，则函数的定义域为（  ） A． B．(0,10) C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数真数大于零有，解得函数定义域. 【详解】由题意的定义域为， 所以中. 故选：D 类型四：对数函数定义域求参数 对于对数定义域为R问题求解方法 对于定义域是R ，则。 恒成立，则可以转化为 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 【例4】已知函数定义域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为恒成立，讨论二次项系数即可求解. 【详解】由题意知 恒成立， 当时，满足条件， 当时，应有，且二次函数的判别式小于0， 即且，解得，的取值范围是，故选：C． 【变式4-1】函数的定义域为，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求函数的定义域转化为不等式恒成立的问题求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 得，恒成立．当时，，成立； 当时，需满足于是． 综上所述，m的取值范围是．故答案为：. 【变式4-2】已知函数与函数的图像关于对称，且，有如下五个命题，正确的个数为（    ） ①函数的定义域为； ②函数是偶函数 ③若，则的取值范围是 ④对于任意的，都有 ⑤对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】①首先求，根据求函数的定义域，②利用偶函数的定义判断函数是否是偶函数，③利用，去绝对值，求得，再利用基本不等式求的取值范围；④利用函数的解析式，代入证明等式；⑤利用复合函数的单调性，判断函数是否是增函数. 【详解】由条件可知，， ①，所以函数的定义域为，故①正确； ②，函数是奇函数，故②不正确； ③，则，， ，当时等号成立，，等号不能取得，的取值范围是，故③不正确； ④， ，所以，故④正确； ⑤，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，而表示函数单调递增，故⑤不正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是正确求出函数，这样为后面的性质判断提供基础，后面再判断函数性质时，对于③，根据的性质，正确去掉绝对值是关键. 【变式4-3】设函数的定义域为，若，，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，由此可得关于的表示，再根据得到关于的表示，两式联立可求的值. 【详解】对任意，设，则，整理可得①， 由得，可得②， 由①②可知：，化简可得， 显然不恒为，所以，所以， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是，通过反解以及代入求解出之间的关系式，然后构建方程求解出结果. 类型五：对数函数求值 求函数值 1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 【例5-1】已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】将代入函数求出的值，再用换元法，利用对数运算化简即可得出结论. 【详解】因为函数，则, 令，则，又因为， 所以，所以，故选：B. 【例5-2】（多选）设表示不超过的最大整数，如，，给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则可由解得的范围为 D．定义在上的奇函数的值域为则函数的值域为 【答案】BCD 【解析】A. 取判断；B. 利用对数值和的含义求解判断；C.由，得到，再根据的含义求解判判断； D.分， ， ，再根据的含义求解判判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，，所以，故正确； C.当时，，，则，所以，解得，所以的范围为，故正确； D.因为定义在上的奇函数的值域为，所以的值域为，当时，，则，所以，当时，，则，所以，当时，，则，所以，所以的值域为，故正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是对的含义的理解，要分讨论求解应用. 【变式5-1】定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 【答案】4107 【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案. 【详解】 根据已知可得： ， ， ， ，共4个， ，共8个（由之间含多少个奇数决定）， ，共16个， ，共32个， ，共64个， ，共128个， ，共256个， ， 则， 故答案为：4107. 【变式5-2】．设表示不超过的最大整数，如，，则 ． 【答案】92 【详解】,故原式. 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解,考查对数运算等式知识.表示不超过的最大整数，这是一个很常见的新定义的条件,结合本题中的对数运算的性质可以得到,第一项到第九项是零,第到第项都是,最后一项是,由此可求得最后的值. 【变式5-3】已知为单调函数且对任意实数x都有，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由题意可得为常数，且，求出，进而求出，即可求解. 【详解】为单调函数且对任意实数x都有， 所以存在唯一实数，使得，所以任意实数x都有 ， ， . 故选:C. 类型六：对数函数的解析式求解 1、 对于抽象函数求解解析式：应注意常见函数的运算法则，如对数的加法，减法运算，指数的乘法，除运算，幂函数的加减乘除运算等等； 2、在已知解析式中求解参数，可以尝试将特殊值，已知值代入。 【例6-1】（多选）对定义在上并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：①对恒有；②当，，时，总有成立，则下列函数是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数的定义对四个函数分别进行验证两个条件 【详解】解：对于A选项：显然满足①， ，满足②， ∴是函数， 对于B选项：根据指数函数的单调性得满足①； ，，， ，满足②， ∴是函数， 对于C选项：根据对数函数性质，满足①； ， ， ∵，，，∴， ∴，满足②， ∴是函数， 对于D选项：根据二次函数性质得函数满足①； 当，时，，， ∴不满足②， ∴不是函数， 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，应用新定义，通过新定义转化为证明相应的不等式成立． 【例6-2】已知，且，， ； 对于任意正整数n．且，记，求 ． 【答案】 2 4050 【分析】先由，得到，从而得到，进而得到，然后得到进而求解. 【详解】因为，且，， 所以，则， 所以，， 所以； 所以 ， 所以. 故答案为：2；4050. 【变式6-1】（多选）定义域为的函数对任意的非零实数，都满足.当时，.下列结论正确的是（   ） A． B．满足 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】A根据充分必要性说明；B利用题设条件证，即可判断；C令、即可判断；D先说明奇偶性，再利用单调性定义及题设条件证明的单调性，即说明上单调性. 【详解】由，易知定义域为，满足且时，必要性成立， 但满足题设要求的函数不一定是，A错； 由，则，B对； 令，则， 令，则，C对， 令，则，定义域为，即为偶函数， 令，则， 由，则，即在上递增，故上递减，D错； 故选：BC 【变式6-2】已知函数，，若，. (1)求，的解析式； (2)若，试比较的大小. 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）列方程组求出，由对数的运算即可求解； （2）对分类讨论，由对数的运算及性质比较大小即可. 【详解】（1）由，解得：， 即 ，； （2）由，得； 当时，有，所以，此时； 当时，因为， 所以，所以，此时； 当时，因为， 所以，所以，此时. 【变式6-3】已知，，当时，恒有. （1）求的解析式； （2）若方程的解集是空集，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由时的方程可整理得到，可知，结合可求得，进而得到函数解析式； （2）由（1）可得方程等价于，根据解集为空集可分为方程无解和两根均在内两种情况，结合二次函数图象和性质可得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）由时，恒有得： ，即     又             （2）由（1）知：方程可化为 令，即 由得：或 方程解集为空集    有以下两种情况： ①方程无解     解得： ②方程有解，且根均在内 ，解集为 综上所述：实数的取值范围为 【点睛】本题考查函数解析式的求解、根据方程解的情况求解参数范围的问题；关键是能够将所求方程转化为对一元二次方程根的分布的讨论，从而结合二次函数的图象和性质确定不等式，解不等式求得结果. 类型七：对数函数的图像 方法技巧: 1、对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当a>1时，对数函数的图像呈上升趋势;当0<a<1时，对数函数的图像呈下降趋势. 2、可以通过赋值法排除选项 【例7】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】由已知得函数的定义域为， ∵    ， ∴为奇函数， 令，则， 其中   ， 故，排除, 【变式7-1】在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 【变式7-2】（多选）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   【答案】BC 【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 故选：BC. 【变式7-3】函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得. 【详解】当时，在区间上单调递增， 此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减， 此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足. 故选：C. 类型八：对数函数过定点 1.对数函数过定点（1,0），即时，y 2.函数 【例8】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】C 【分析】求出曲线所过定点，即可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】对于，令，即，则， 即曲线（且）过定点，即， 故，又，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故选：C 【变式8-1】已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 【变式8-2】已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 【答案】 【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可. 【详解】因为函数(，且 )的图像过定点A， 所以. 因为点A在函数的图像上， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式8-3】函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是 故答案为： 类型九：对数函数的单调性 1、单调性的运算关系： ①一般情况下，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 2、单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； 3、对数型复合函数的单调问题 （1）、模板解决思路:判断复合函数单调性的原则是“同增异减” （2）、模板解决步骤 第一步:求函数的定义域 第二步:将函数分解成内层函数和外层函数 第三步:判断内层函数和外层函数的单调性，第四步:根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性 【例9】设函数，则的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍. 【详解】记， 因为为减函数，所以当单调递增时，单调递减， 由得或， 又当时，单调递减.故．故答案为：. 【变式9-1】已知函数，则的单调增区间为______. 【答案】##（-1，1） 【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得. 【详解】因为，解得：，所以的定义域为. 令，则. 要求的单调增区间，只需. 所以，所以的单调增区间为.故答案为：. 【变式9-2】求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】分别判断函数和的单调性，结合“同增异减”原则判断复合函数单调性． 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则，当时，由，得，可得其减区间， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【变式9-3】已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的单调区间； 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【解题思路】（1）依题意恒成立，则，从而求出的取值范围； （2）首先求出的值，即可求出函数的定义域，在根据复合函数的单调性求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）因为的定义域为，所以恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）因为，即，解得， 所以， 令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 令，，函数在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 类型十：对数函数单调性求参数 1、 二次函数单调性注意对此轴左右侧范围 2、 考察分段函数单调性，应注意分段函数中的每一段函数以及分段函数中的分段端点的大小关系（易错点）。 【例10-1】若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的定义域可得，再根据二次函数的单调性可知或，从而解出的范围． 【详解】由题意可得，，解得或. 所以函数的定义域为. 令，函数的对称轴为，且开口向上， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由外层函数是其定义域内单调递增， 所以要使函数在上单调， 则或， 解得或，则实数的取值范围是. 故选：D． 【例10-2】已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围. 【详解】因为且，所以当时，函数只能单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式10-1】若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围. 【详解】由题设，令，而为增函数， ∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零， ，可得， ∴的取值范围是. 故答案为： 【变式10-2】已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求． 【详解】若函数在上是单调减函数， 则，解得， 即， 故答案为：． 【变式10-3】已知函数（，且）在上为单调函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性结合二次函数的单调性、复合函数的单调性列式求出的范围，结合对数运算即可求解. 【详解】因为的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，必单调递增，有，可得， 又在上为单调函数，所以在时单调递增， 因为函数在时单调递减， 所以在单调递减； 所以，解得， 又由， 又由，有，有． 故选：. 【变式10-4】命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的 条件 【答案】充分不必要 【分析】分别根据二次函数，对数函数以及反比例函数的单调性化简命题和命题满足的的取值，即可根据集合间的关系求解. 【详解】解：若 要在上单调递减， 则，解得， 在上为增函数， 则，解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 类型十一：对数函数的值域 对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论; 二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 另外三是，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【例11-1】若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 【变式11-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 【变式11-2】（多选题）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（    ） A．当时，的定义域为 B．一定有最小值 C．当时，的值域为 D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对A，当时，求出函数的定义域，可判选项A；当时，函数的值域为，可判选项B，C；根据复合函数单调性可知，内函数递增且可求出的取值范围，可判断选项D. 【详解】对A，当时，解有，故A正确； 对B，当时，，此时，， 此时值域为，故B错误； 对C，同B，故C正确； 对D， 若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，    且，解得且，故D正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性 方法点睛： 对于复合函数的单调性问题，可先将函数分解成和，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解. 【变式11-3】已知，设函数，则 ． 【答案】5 【分析】先求出函数的定义域，再求出，再通过换元，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】解：由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]， ，设，， 则，在[0，1]上为增函数， ∴当即时，，当即时，，∴．故答案为：5． 类型十二：对数函数值域求参数 分段函数中求解值域范围问题，注意分段函数分段端点的取值范围以及每一段函数的单调性。 【例12-1】函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【详解】由题意知，， 令，则， 令， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 【例12-2】已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得. 【详解】当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，所以，即； 若函数的值域是，则需当时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得，又，所以． 综上所述，实数的取值范围是．故选：B 【变式12-1】已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域以及函数的值域，再利用集合的包含关系求解a的取值范围即可. 【详解】根据题意得：， ，则，， 由，可得，故选：B. 【变式12-2】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，要使已知函数的值域为， 需值域包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解. 【详解】解：∵函数的值域为， 令， 当时，，不合题意； 当时，，此时，满足题意； 当时，要使函数的值域为， 则函数的值域 包含， ，解得， 综上，实数的取值范围是.故选：B 【变式12-3】已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对任意的，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的值域为，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式12-4】若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若时， 当时，单调递增，此时； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时， 若函数值域为，则需，解得； 若时， 当时，单调递减，此时； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时， 所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去， 若时， 当时，； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时， 所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去， 综上的取值范围为， 故选：B. 类型十三：对数函数最值 对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论; 二是底数与1的大小关系; 三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【例13】已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果. 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故. 故答案为： 【变式13-1】已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 2 【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可. 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 【变式13-2】设函数，则 ；若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】借助分段函数性质计算即可得空一；分及计算可得的范围，结合函数的单调性即可得解. 【详解】； 若，则，即，即； 若，，即； 故或，则， 由在定义域内单调递减， 故的最大值为. 故答案为：；. 【变式13-3】已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 【变式13-4】．已知函数．当点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的“伴随”函数． (1)解关于x的不等式； (2)对任意的的图像总在其“伴随”函数图像的下方，求a的取值范围： (3)设函数．当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由求解，即可得到结果； （2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解； （3）根据题意，易得，设，再利用复合函数的单调性求解. 【详解】（1）依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为． （2）由题意得，所以，所以的“伴随”函数为．依题意，对任意的，的图像总在其“伴随”函数图像的下方，即当时，恒成①． 由，对任意的总成立，结合题设条件有， 在此条件下，①等价于当时，恒成立， 即，即． 设，要使当时，恒成立， 只需，即成立，解得，即，且， 即a的取值范围是． （3）由（2）可得当时，在区间上，， 即． 设，则． 令，则， 所以， 因为（当且仅当时，等号成立）， 可得，当时，等号成立， 满足，则的最大值为， 所以的最大值是． 类型十四：对数函数有关的奇偶性 1、常见指对型函数奇偶模型 （1）. （2）. ；；; 奇 （3）. 或奇 （4）. 奇 （5）. ; 2、函数奇偶性质 （1）前提：函数定义域关于原点对称； （2）图像：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称（关于x=0对称） （3）特殊值：奇函数中，若x能取0值，则f(0)=0; （4）公式：奇函数f(-x)=-f(x)；偶函数f(-x)=f(x) 【例14】已知是偶函数，则 ，若存在，使得，则的最大值为 . 【答案】 / 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质可得，分离参数，将问题转化为，根据对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】由于是偶函数， 故， 根据可得， ，解得， 由可得， 故， 因此， 由于，故，令， 则在单调递减，在单调递增，且当和时，，， 故， 因此， 故的最大值为， 故答案为：；. 【变式14-1】函数是R上的奇函数，则实数a的值为 ，函数，若对恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质列方程，解方程求得的值，并检验；根据在区间上的单调性求得其最大值，根据分段函数的性质，求得在区间上的最小值，由此求得关于m的不等式，进而求得m的取值范围. 【详解】因为是R上的奇函数，所以， 即，解得，此时， 此时， 为奇函数，符合题意； 又奇函数，所以在上是减函数， 则在上的最大值为， 又，所以在上是增函数，在上是减函数， 则的最小值为和中的较小的一个. 因为，， 所以. 因为对恒成立，所以. 解得. 故的取值范围为. 【变式14-2】已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是定义域为的奇函数，可得时，分和两种情况分别求解不等式，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 所以，则， 所以， 当时，即，， 所以，即， 因为二次函数的判别式为， 所以恒成立，所以， 当时，即，，所以， 解得，所以， 综上. 故选：. 【变式14-3】已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围. 【详解】设，由， 得， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数，所以， 所以对任意的， ， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，解得， 故选：D 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 【变式14-4】已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵是定义域为上的偶函数，且在区间上单调递减 ∴函数在区间上是单调递增函数， ∴不等式， 可化为，即， 则，又函数在区间上是单调递增函数， ∴，即， 解得. 故选：D 【变式14-5】已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）． （1）求实数m的值，并写出区间D； （2）若底数a满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由； （3）当（，a是底数）时，函数值组成的集合为，求实数a、b的值． 【答案】（1），；（2）单调递增，理由见解析；（3）． 【分析】（1）由奇函数的性质，可得，代入函数的解析式，转化为方程在区间上恒成立，进而求解； （2）令，先求出该函数在定义域内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出的单调性． （3）首先由，求出、的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出，排除的情况，最终确定的值． 【详解】解（1）是奇函数， 对任意，有，即． 化简此式，得．又此方程有无穷多解是区间）， 必有，解得． 令解得 所以． （2）当时，函数上是单调增函数． 理由：令． 易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小， 故在上是随增大而减小 于是，当时，函数上是单调增函数． （3）， ，． 依据（2）可知，当时，函数在上是增函数， 即，解得，（舍去）． 若，则在上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是，的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出 必有． 因此，所求实数、的值是． 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思． 1、 单选题 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知在分别单调递增，再结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】当时，单调递增， 则由题意可得 化简得,即得, 解得，故a的取值范围是. 故选：A. 2、已知，，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数运算可得，，借助作差法结合对数运算可得A；由对数运算可得B；借助基本不等式与对数运算可得C；借助基本不等式“1”的活用可得D. 【详解】由，则，由，则，即； 对A：，故，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：由，，则， 即，则，故C正确； 对D：由，则， 由，，则，故， 则，故D正确. 故选：A 3．（23-24高三上·四川内江·阶段练习），则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，，且， 所以，即， 所以， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以当时，， 即的范围是. 故选：C. 4、已知函数，若定义在上的奇函数满足，且，则= A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用是奇函数求出，由奇函数性质得，再由奇函数及对称性得函数是周期函数，从而可求． 【详解】设， 则，∴是奇函数， ， 又是奇函数，∴． ∵是奇函数，且即的图象关于直线对称， ， ∴函数是周期函数，且周期为4． ∴． 故选A． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，考查对数的运算法则，解题关键是确定函数的周期．函数的图象关于点对称，又关于直线对称，则它是周期函数，且是它的一个周期． 5、设正数，满足，，则错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运算法则可得即可判断选项B；对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得.由完全平方公式结合选项A可得，即可判断选项C；由可得，根据对数运算法则可得即可判断选项D. 【详解】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：.C 二、多选题 6、已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 7、已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 【解析】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误； 对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确： 对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误； 对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确． 故选：BD 8、设函数，若，则的值可能为（   ） A． B． C． D．1 【答案】CD 【分析】由题意可知，的定义域为，分类讨论与，的大小，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令解得，令，解得， 若，当时，可知，， 此时，不合题意： 若，当，可知，， 此时，不合题意： 若，当时，可知，，此时； 当时，可知，，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知，， 此时，不符合题意； 综上所述：即， 则，当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为，则CD符合题意， 故选：CD. 9、已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．有解 C．不存在最大值 D． 【答案】ACD 【分析】根据对数性质求定义域判断A；由有判断有无实根判断B；利用作差，结合基本不等式、对数性质判断的大小判断C、D. 【详解】由解析式知，故定义域为，A对； 由，则，显然方程无解，B错； 由， 当，， 所以，显然函数在定义域上不存在最大值，C、D对. 故选：ACD 三、填空题 10、设正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 11、已知函数，的最小值是 . 【答案】2 【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答. 【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是． 由于函数. 化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值． 所以，则的最小值是2． 故答案为：2 12、函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分两种情况结合对数函数值域讨论函数值域为求参数. 【详解】当时，符合题意； 当时，需，解得． 综上可得． 故答案为：. 13、已知，则= 【答案】1 【分析】根据指数式和对数式的互化可得，结合对数运算性质可得的值，化简为，即可得答案. 【详解】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 14、已知函数，设，则函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由得：，即的定义域为， ， 令，则，令， 则，， ，即的值域为. 故答案为：. 15、定义：区间的长度，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】3 【分析】解出不等式，画出函数图象，结合图象可知定义域的最大区间为，最小区间为，即可求出. 【详解】的值域为， ，则，解得， 画出函数的图象， 定义域为时值域为， 由图象可知，定义域区间长度的最大值为，最小值为， 则区间的长度的最大值与最小值的差为. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了对数函数的定义域即函数值域的求解，画出函数图象，利用数形结合是解题的关键. 16、设且，若函数的值域是，则的取值范围是 【答案】 【解析】由于函数且的值域是， 故当时，满足. 若在它的定义域上单调递增， 当时，由，. 若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是.综上可得，. 4、 解答题 17、已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 18、已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，函数为偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义可得结论； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可； （3）由题意可得，求出函数的最大值，即可得出实数的最大值. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 故函数为偶函数. （2）当时，， 由得，解得， 由可得，解得， 所以，实数的取值范围是. （3）因为，则， 因为存在使得不等式成立， 则，解得， 因此，实数的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 对数与对数函数的性质题型归类 目录： 类型一：对数运算 类型二：对数的概念 类型三：对数函数定义域 类型四：对数函数定义域求参数 类型五：对数函数求值 类型六：对数函数的解析式求解 类型七：对数函数的图像 类型八：对数函数过定点 类型九：对数函数的单调性 类型十：对数函数单调性求参数 类型十一：对数函数的值域 类型十二：对数函数值域求参数 类型十三：对数函数最值 类型十四：对数函数有关的奇偶性 压轴专练 类型一：对数运算 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） （4） 2、对数恒等式 3、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 4、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； 5、对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并 (2) 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算 (3)指对互化: ,(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【例1-1】计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【例1-2】设，，，当取最小值时的的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式1-1】计算下列各式的值． (1)． (2)． (3) . (4)； (5) (6)； (7) (8), 【变式1-2】1.已知，，求.（用表示） 2.已知，，求.（用表示） 3.已知，（且）． (1)s求的值； (2)若，解关于x的不等式：（其中）． 4.设，若，则的最大值为. 【变式1-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-4】已知，则（    ） A．-2 B．2 C． D． 【变式1-5】若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【变式1-6】已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 类型二：对数的概念 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.概念理解 (1)对数函数的底数a>0，且a≠1. (2)形式上的严格性：logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.　　　 【例2】在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 【变式2-3】．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 类型三：对数函数定义域 函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ⑤对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； 【例3-1】设全集U＝R，若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.已知函数，的定义域为M，的定义域为N，则（    ） A． B． C．MN D．NM 【变式3-2】.（21·22上·南阳·期末）已知函数，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，则函数的定义域为（  ） A． B．(0,10) C． D． 类型四：对数函数定义域求参数 对于对数定义域为R问题求解方法 对于定义域是R ，则。 恒成立，则可以转化为 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 【例4】已知函数定义域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的定义域为，则实数m的取值范围是 ． 【变式4-2】已知函数与函数的图像关于对称，且，有如下五个命题，正确的个数为（    ） ①函数的定义域为； ②函数是偶函数 ③若，则的取值范围是 ④对于任意的，都有 ⑤对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-3】设函数的定义域为，若，，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 类型五：对数函数求值 求函数值 1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 【例5-1】已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【例5-2】（多选）设表示不超过的最大整数，如，，给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则可由解得的范围为 D．定义在上的奇函数的值域为则函数的值域为 【变式5-1】定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 【变式5-2】．设表示不超过的最大整数，如，，则 ． 【变式5-3】已知为单调函数且对任意实数x都有，则（    ） A． B． C． D．0 类型六：对数函数的解析式求解 1、 对于抽象函数求解解析式：应注意常见函数的运算法则，如对数的加法，减法运算，指数的乘法，除运算，幂函数的加减乘除运算等等； 2、在已知解析式中求解参数，可以尝试将特殊值，已知值代入。 【例6-1】（多选）对定义在上并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：①对恒有；②当，，时，总有成立，则下列函数是函数的是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】已知，且，， ； 对于任意正整数n．且，记，求 ． 【变式6-1】（多选）定义域为的函数对任意的非零实数，都满足.当时，.下列结论正确的是（   ） A． B．满足 C． D．在上单调递增 【变式6-2】已知函数，，若，. (1)求，的解析式； (2)若，试比较的大小. 【变式6-3】已知，，当时，恒有. （1）求的解析式； （2）若方程的解集是空集，求实数的取值范围. 类型七：对数函数的图像 方法技巧: 1、对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当a>1时，对数函数的图像呈上升趋势;当0<a<1时，对数函数的图像呈下降趋势. 2、可以通过赋值法排除选项 【例7】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式7-1】在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   【变式7-3】函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 类型八：对数函数过定点 1.对数函数过定点（1,0），即时，y 2.函数 【例8】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 【变式8-1】已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-2】已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 【变式8-3】函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 类型九：对数函数的单调性 1、单调性的运算关系： ①一般情况下，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 2、单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； 3、对数型复合函数的单调问题 （1）、模板解决思路:判断复合函数单调性的原则是“同增异减” （2）、模板解决步骤 第一步:求函数的定义域 第二步:将函数分解成内层函数和外层函数 第三步:判断内层函数和外层函数的单调性，第四步:根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性 【例9】设函数，则的单调递增区间为_________． 【变式9-1】已知函数，则的单调增区间为______. 【变式9-2】求函数的单调区间______________. 【变式9-3】已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的单调区间； 类型十：对数函数单调性求参数 1、 二次函数单调性注意对此轴左右侧范围 2、 考察分段函数单调性，应注意分段函数中的每一段函数以及分段函数中的分段端点的大小关系（易错点）。 【例10-1】若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10-2】已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 【变式10-1】若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式10-2】已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【变式10-3】已知函数（，且）在上为单调函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的 条件 类型十一：对数函数的值域 对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论; 二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 另外三是，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【例11-1】若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（多选题）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（    ） A．当时，的定义域为 B．一定有最小值 C．当时，的值域为 D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【变式11-3】已知，设函数，则 ． 类型十二：对数函数值域求参数 分段函数中求解值域范围问题，注意分段函数分段端点的取值范围以及每一段函数的单调性。 【例12-1】函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【例12-2】已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 【变式12-4】若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型十三：对数函数最值 对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论; 二是底数与1的大小关系; 三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【例13】已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【变式13-1】已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【变式13-2】设函数，则 ；若，则的最大值为 . 【变式13-3】已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【变式13-4】．已知函数．当点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的“伴随”函数． (1)解关于x的不等式； (2)对任意的的图像总在其“伴随”函数图像的下方，求a的取值范围： (3)设函数．当时，求的最大值． 类型十四：对数函数有关的奇偶性 1、常见指对型函数奇偶模型 （1）. （2）. ；；; 奇 （3）. 或奇 （4）. 奇 （5）. ; 2、函数奇偶性质 （1）前提：函数定义域关于原点对称； （2）图像：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称（关于x=0对称） （3）特殊值：奇函数中，若x能取0值，则f(0)=0; （4）公式：奇函数f(-x)=-f(x)；偶函数f(-x)=f(x) 【例14】已知是偶函数，则 ，若存在，使得，则的最大值为 . 【变式14-1】函数是R上的奇函数，则实数a的值为 ，函数，若对恒成立，则m的取值范围为 . 【变式14-2】已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式14-4】已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-5】已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）． （1）求实数m的值，并写出区间D； （2）若底数a满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由； （3）当（，a是底数）时，函数值组成的集合为，求实数a、b的值． 1、 单选题 1．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、已知，，则错误的是（    ） A． B． C． D． 3．，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4、已知函数，若定义在上的奇函数满足，且，则= A． B． C． D． 5、设正数，满足，，则错误的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 6、已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 7、已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 8、设函数，若，则的值可能为（   ） A． B． C． D．1 9、已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．有解 C．不存在最大值 D． 三、填空题 10、设正实数满足，则 ． 11、已知函数，的最小值是 . 12、函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 13、已知，则= 14、 已知函数，设，则函数的值域为 ． 15、 定义：区间的长度，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 ． 16设且，若函数的值域是，则的取值范围是 4、 解答题 17、已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 18、已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $