专题13 对数函数的性质应用题型归类（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题 对数函数的性质应用题型归类 目录： 类型一：对数不等式求解 类型二：对数函数的最值参数 类型三：对数中的大小比较 类型四：对数函数中的实际应用 类型五：对数中的恒成立问题 类型六：对数中的存在问题 类型七：对数中的双变量问题 类型八：对数中的零点问题 类型九：对数中的零点参数，范围问题 类型十：反函数的应用 类型十一：新定义问题 压轴专练 类型一：对数不等式求解 1. 对于形如的形式，利用转化;对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. 2.解对数不等式，利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可. 【例1-1】已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则不等式的解集为 【变式1-2】已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数，若不等式与的解集相同，则 . 【变式1-4】已知函数，其中且. (1)若，，求不等式的解集； (2)若，，求b的取值范围. 类型二：对数函数的最值参数 【例2】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【变式2-3】已知，函数. (1)若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围. 类型三：对数中的大小比较 1、比较大小的常用方法: （1）利用函数单调性， （2）利用中间量， （3）作差（商）法. （4）构造常见函数法 （5）放缩法 2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1 例1: 和 (倍数一致) =1+; =1+，由图像可知 例2: 和 (差一致) 1+号; 由图像可知 【例3-1】（1）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． （2）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． （3）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（多选）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 类型四：对数函数中的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义. 【例4】大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式4-1】声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（    ） A．闻阈的声强级为0dB B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 【变式4-2】我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（    ）（参考数据：） A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 【变式4-3】（多选）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（    ） A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 类型五：对数中的恒成立问题 1、 对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法 (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决: (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 （4）主参换位法解决恒成立问题：转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 3、公式： 1、∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min 2、∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max 【例5-1】定义域为R的函数满足.当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数为常数)，是函数图象上的点. （1）求实数的值； （2）将的图象向右平移3个单位得到函数的图象，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【变式5-2】已知，点是函数图象上的任意一点，点关于原点的对称点形成函数的图象. （1）求的解析式； （2）当时，解不等式； （3）当，且时，总有恒成立，求的取值范围. 【变式5-3】已知函数在上的最大值与最小值之差为2． (1)求实数的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 类型六：对数中的存在问题 1、 对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法 (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决: (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 3、公式 （1）、∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max （2）、∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min 【例6】已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【变式6-1】已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 【变式6-2】已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【变式6-3】设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 类型七：对数中的双变量问题 双变量不等式与等式 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d] （1）不等关系 (1)若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； (2)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； (3)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min； (4)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． （2） 相等关系 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅； 【例7】已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 . 【变式7-1】已知函数，，设函数，若对任意、都有成立，则实数的取值范围为 ． 【变式7-2】 已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的取值范围. 【变式7-3】已知定义在R上的奇函数，其中. (1)求的值，并用定义证明函数的单调性； (2)求不等式的解集； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 类型八：对数中的零点问题 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 【例8】已知是函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．是增函数 C．只有1个零点 D． 【变式8-3】（多选）函数，，，则下列说法正确的有（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．设方程的所有根的乘积为，则 C．当时，设方程的所有根的乘积为，则 D．当时，设方程的最大根为，方程的最小根为，则 【变式8-4】已知函数，其所有的零点依次记为，则 . 类型九：对数中的零点参数，范围问题 已知函数有零点(方根有根)求参数值 1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； 2.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 3.数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 4、若求多个零点之和问题：需注意函数本身所具有的性质，一般考察为对称性以及周期性。 【例9】（多选）若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【变式9-1】（多选）设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（   ） A．的最小值为4 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值是9 【变式9-3】已知，若存在互不相同的四个实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型十：反函数的应用 反函数 1、 概念：一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. 2、 图像：互为反函数的图像关于y=x对称 【例10-1】求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 【例10-2】（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知函数，，若，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知函数的零点为，的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】若实数、满足，，则（   ） A． B． C． D． 类型十一：新定义问题 【例11】若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”. (1)判断定义在上的函数是否是“闭区间同域函数”，并说明理由； (2)若是“闭区间同域函数”（，且）的“同域闭区间”，求a，b； (3)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求m，n. 【变式11-1】某小组为了加深奇函数的理解，讨论提出了“局部奇函数”和“广义奇函数”两个概念： ①若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”； ②函数的定义域为，如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则称为“广义奇函数”． (1)若，判断是否为“局部奇函数”，并说明理由； (2)判断函数是否为“广义奇函数”，如果是，求出对应的实数，如果不是，请说明理由； (3)已知实数，对于任意的实数，函数都是定义域为的“局部奇函数”，求实数的取值范围． 【变式11-2】对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的、，有恒成立，则称在上是“接近”的，否则就称在上是“不接近”的.现有函数 (1)当时，判断函数在上是否“接近”的，说明理由； (2)是否存在实数，使函数在区间上是“不接近”的，若存在，求实数的取值范围；不存在说明理由. 【变式11-3】现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. (1)当时，计算； (2)证明：，，，都有； (3)设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 1、 单选题 1．若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 2、《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 3、若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4、设函数，则使得 的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5、已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6、已知函数，实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 7、已知函数，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 8、函数，有且，则下列选项成立的是（    ） A． B． C． D． 9、设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10、已知函数，函数满足，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．若实数、满足，则 D．若函数与图象的交点为，，…，，则. 11、已知函数，则（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时， D．当时， 三、填空题 12、已知，试比较x，y，z的大小____________． 13、围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是 位数，它的个位数字是 .（参考数据：） 14、已知函数，则满足的x的取值范围是 ． 四、解答题 15、已知函数，. (1)求证：为奇函数； (2)解关于的不等式； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 16、若增函数对任意，，都有，且，恒成立． (1)求，，； (2)求方程的解集； (3)求不等式的解集. 17、已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 18、已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19、已知函数是偶函数，其中k为实数，函数. (1)求k的值； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 20、已知定义在上的函数为偶函数且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 21、已知函数 . (1)证明: 函数是奇函数; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 22、已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 对数函数的性质应用题型归类 目录： 类型一：对数不等式求解 类型二：对数函数的最值参数 类型三：对数中的大小比较 类型四：对数函数中的实际应用 类型五：对数中的恒成立问题 类型六：对数中的存在问题 类型七：对数中的双变量问题 类型八：对数中的零点问题 类型九：对数中的零点参数，范围问题 类型十：反函数的应用 类型十一：新定义问题 压轴专练 类型一：对数不等式求解 1. 对于形如的形式，利用转化;对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. 2.解对数不等式，利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可. 【例1-1】已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目条件可变形为，构造函数，分析可知在上为增函数，把不等式等价变形为，根据函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， 令，则任意的，有， ∴函数在上为增函数. ∵不等式可变形为，即， ∴， ∴，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把条件等价变形为，通过构造函数、分析函数的单调性可解不等式. 【例1-2】已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合复合函数的单调性，可知在上单调递减，由关于直线对称，可知为偶函数，从而可将题中不等式转化为，整理得对任意的恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出的取值范围. 【详解】当时，， 函数在上单调递减，且是R上的增函数， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且； 当时，，易知函数在上单调递减，且. ∴函数在上单调递减. ∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数， ∴不等式可化为， ∴恒成立， 即，整理得， 令， ∴对任意的，恒成立， ∴， 即，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于较难题. 【变式1-1】已知函数，则不等式的解集为 【答案】 【解析】函数的定义域为，且， 故为偶函数， 当时，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 不等式，等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式1-2】已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，证明函数在上单调递减，根据单调性列不等式即可求解. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，证明函数在上单调递减. 【变式1-3】已知函数，若不等式与的解集相同，则 . 【答案】 【分析】由求得，利用换元法，得到，由此列不等式来求得. 【详解】由，即，可得，解得. 令，由，可得， 即. 由题知解得t＝9. 故答案为： 【变式1-4】已知函数，其中且. (1)若，，求不等式的解集； (2)若，，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数单调性得到的单调性，再分类讨论即可； （2）首先得到，再转化为单调性问题，最后对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，. 由，解得或，所以的定义域为. 因为，所以为偶函数. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，此时函数单调递增，且，原不等式成立. 当，即时，， 因为，则，解得，所以. 而恒成立，即当时，不等式无解， 综上，原不等式的解集是. （2）因为，且，所以， 又因为，所以在上单调递增. 当时，是减函数，函数在上单调递增， 此时函数在其定义域的的右侧区间上单调递减，与在上单调递增不符. 当时，要使在上单调递增， 则在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是得到复合函数的单调性，再合理分类讨论；第二问的关键是等价转化为在上单调递增，再对进行分类讨论即可. 类型二：对数函数的最值参数 【例2】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增，此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 【变式2-1】已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求出真数部分的范围，再结合对数函数的性质可得结果. 【详解】由，a不等于0时，, 当得， 二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解. 当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，.故选：D. 【变式2-2】已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值； （2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； （2）由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. 【变式2-3】已知，函数. (1)若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1） ，， ，， ， 令，则， 或，（时，等号成立） 要使与在区间有两个交点， 结合二次函数的性质可知. （2） 因为函数在上递减， 所以函数在定义域内递减. 所以在区间上的最大值为，最小值为， ， 所以对恒成立， 令， 对恒成立， 在上递增， 所以， 解得， 由于，所以， 所以的取值范围是 类型三：对数中的大小比较 1、比较大小的常用方法: （1）利用函数单调性， （2）利用中间量， （3）作差（商）法. （4）构造常见函数法 （5）放缩法 2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1 例1: 和 (倍数一致) =1+; =1+，由图像可知 例2: 和 (差一致) 1+号; 由图像可知 【例3-1】（1）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性和中间量比较出，再由函数的单调性得出结果. 【详解】 ， 由于，， ，所以， ， 所以， 因为函数在上为增函数， 则， 所以. 故选：A 【点睛】比较大小的常用方法: （1）利用函数单调性， （2）利用中间量， （3）作差（商）法. （2）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对数运算性质和基本不等式可以判断；根据b的结构，构造函数，利用函数的单调性得到的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案． 【详解】因为，， 所以 ，构造函数：， 易知函数是上的减函数，且， 由，可知：，则， 又，则，故，又，则，所以，故选：D． （3）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的放缩得到；通过作差法比较和，构造，利用 ，即即可得到答案. 【详解】对于和，因为，所以，即． 对于和，，． 令函数，在上单调递增， 因为，所以， 即，所以，即， 故． 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查构造函数比较大小问题.比较大小的常见方法有： （1）利用作差法或者作商法与特殊值比较； （2）构造相关函数，利用导数研究其单调性进而比较函数值； （3）利用中间量进行放缩比较. 【变式3-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数运算性质化简，再用作商法比较大小. 【详解】因为，，， 由，所以，由，而， 则，所以，综上：.故选：B 【变式3-2】已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数和对数运算，先估算出的取值范围，再用对数运算来估算和，即可得到判断. 【详解】由换底公式等价变形得：， 因为，两边取以7为底的对数可得：， 又因为，两边取以7为底的对数可得：， 可知， 由，可得， 由，可得， 从而可得， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是借助已知数据和指数对数运算，可以估算出，从而可以让与有理数进行大小比较. 【变式3-3】已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 【变式3-4】已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用函数单调性与奇偶性的定义判断得的单调性和奇偶性，再利用对数的运算与换底公式将，，化为的函数值，从而求解. 【详解】因为对任意的，都有恒成立， 即， 令，所以当时，有，即， 所以函数在上单调递减， 又函数为奇函数，所以， 即函数为偶函数， 又，，， 所以，， ， 又， 函数在上单调递减，所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题通过构造新函数，利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小，一定要注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较. 【变式3-5】（多选）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于AB，由已知条件得，构造函数，利用其单调性进行判断，对于C，由幂函数的单调性结合进行判断，对于D，由已知可得，再结合的单调性分析判断. 【详解】对于AB，由得，， 所以， 设，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以，所以A正确，B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确； 对于D，因为，所以，因为， 所以， 由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确. 故选：ACD. 类型四：对数函数中的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义. 【例4】大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解题思路】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【解答过程】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 【变式4-1】声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（    ） A．闻阈的声强级为0dB B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 【答案】C 【分析】根据题设可得，令求声强级判断A；将、代入求声强范围判断B；对对应声强级作商、对应声强作商判断C、D. 【详解】由题意，则，故， 当时，dB，A正确； 若，即，则；若，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），B正确； 将对应的声强级作商为，C错误； 将对应声强作商为，D正确. 故选：C 【变式4-2】我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（    ）（参考数据：） A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 【答案】C 【解析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可． 【详解】由题意得：， 则，， 故选：C 【变式4-3】（多选）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（    ） A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 【答案】ABD 【分析】根据各选项条件，由对数关系式，进行对数不等式或方程的运算求解即可. 【详解】对选项A，若，则， 即，，， ， 所以星等值越小，星星就越亮， 故A正确； 对选项B，当，时，，则，B正确； 对选项C，若，则，即，C错误； 对选项D，若，则，即，D正确. 故选：ABD. 类型五：对数中的恒成立问题 1、 对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法 (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决: (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 （4）主参换位法解决恒成立问题：转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 3、公式： 1、∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min 2、∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max 【例5-1】定义域为R的函数满足.当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出时，的解析式，得到的最小值，解不等式求出实数的取值范围. 【详解】, 当时， 当时， 当时，单调递减，当时，单调递增，所以最小； 当时，单调递增，所以最小； 所以. 故. 当时，解得： 当时，解得： 故实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】在解答恒成立问题时需要取其最值，然后分离参量，运用单调性求得范围． 【变式5-1】已知函数为常数)，是函数图象上的点. （1）求实数的值； （2）将的图象向右平移3个单位得到函数的图象，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，建立方程求得的值，即可求解； （2）求出得图象，结合不等式恒成立，利用参数分离法转化为一元二次函数进行求解，即可求解. 【详解】（1）由是函数图象上的点，则， 可得，得. （2）由函数， 将函数的图象向右平移3个单位得到函数的图象， 即， 若关于的不等式在区间上恒成立， 即，即， 即在区间上恒成立， 即，得， 设，则，即， 则， 因为，所以当时，函数求得最大值，即，所以， 即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，以及恒成立问题的求解，其中解答中利用分离参数转化为一元二次函数，结合一元二次函数的最值进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【变式5-2】已知，点是函数图象上的任意一点，点关于原点的对称点形成函数的图象. （1）求的解析式； （2）当时，解不等式； （3）当，且时，总有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），（2）；（3）. 【分析】（1）根据已知可得与关于原点对称，设，则在图象上，即可求解； （2）根据对数函数的单调性，将不等式转化为真数关系，得到整式不等式，即可求出结论； （3）由（1）令，只需，令，利用换元法求出单调性，进而求出. 【详解】（1）设，点关于原点对称，， 由点在图象上， ， （2）， 不等式等价于 ，解得， 不等式的解集为； （3）， 令， 令，设， 设， 在上单调递减，的最小值为， 即 时，总有恒成立， ， 的取值范围是. 【点睛】本题考查函数的中心对称问题、对数不等式的解法、不等式恒成立问题、函数单调性、最值，考查等价转化思想，意在考查直观想象、逻辑推理、计算求解能力，属于较难题. 【变式5-3】已知函数在上的最大值与最小值之差为2． (1)求实数的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用函数单调性确定最大值与最小值，列式求解即可； （2）令，将问题转化成对任意的恒成立，通过参变分离，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）时，函数在区间上单调递减， 所以， 解得． （2）由（1）知． 由，得． 令，当时，， 所以对任意的恒成立， 所以， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以， 所以，即的取值范围为． 类型六：对数中的存在问题 1、 对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法 (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决: (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 3、公式 （1）、∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max （2）、∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min 【例6】已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． （2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 【变式6-1】已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到在上是增函数，且，即可求解； （2）由，的得到，把不等式，转化为，结合题意，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，设， 由且，可得函数在上是增函数，所以， 又由函数定义域可得，解得， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，可得， 又由，可得， 所以，即， 因为存在，使得成立，可得， 所以实数的最小整数值是． 【变式6-2】已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围. 【详解】（1），， （2）证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. （3）， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ， 【点睛】思路点睛： 小问 1：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数值. 小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正负，得出函数单调性结论. 小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围. 【变式6-3】设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 类型七：对数中的双变量问题 双变量不等式与等式 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d] （1）不等关系 (1)若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； (2)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； (3)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min； (4)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． （2） 相等关系 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅； 【例7】已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得只需即可，再由分类讨论即可. 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或， 当时，此时在各自定义域内都有意义， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以， 即，无解， 所以不符合题意； 当时， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-1】已知函数，，设函数，若对任意、都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【详解】因为， 若对任意、都有成立，则， ， 当时，设，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间上的最大值为， ， 当时，在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增， 的最小值为，      当时，的图象如下图，    当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，， 即，解得：或，即； 综上可知，或. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求函数的最小值，需讨论，结合函数的图象，判断单调性，求函数的最值. 【变式7-2】已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组求解即可； （2）根据题意可知，结合二次函数性质利用指数函数单调性求解，分类讨论求解函数的最大值，列不等式求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为； （2）因为，所以， ，因为，所以， 所以当时，， 对于函数，， 若，则函数在定义域上单调递减，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，则， 因为，所以，无解； 若，则函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以， 则，又，所解得； 综上，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； 【变式7-3】已知定义在R上的奇函数，其中. (1)求的值，并用定义证明函数的单调性； (2)求不等式的解集； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据求出，验证其满足为奇函数，故，定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （2）变形得到，令，解得，故，解得，不等式解集为； （3）在上的值域包含在上的值域，在（2）基础上，得到，并求出，不合要求，当时，由的单调性得到，从而根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）为定义在R上的奇函数， 故，解得， 故， 由于，满足为奇函数， 综上，， 单调递增，理由如下： 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 故，， 所以为R上的单调递增； （2）， 化简得， 令，故， 即，解得， 故，解得， 不等式解集为； （3）对任意的，总存在，使得成立， 故在上的值域包含在上的值域， 由（2）知，在上单调递增， 故， ，若，则， 此时， 不能满足在上的值域包含在上的值域，舍去； 当时，在上单调递增， 故， 由得， 解得， 故实数的取值范围为. 类型八：对数中的零点问题 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 【例8】已知是函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数与的图象的交点问题，设两函数图象的交点，然后设法得出的表达式去分析. 【详解】，在同一直角坐标系中作出与的图象， 设两函数图象的交点， 则，即， 又， 所以，，即， 所以①； 又，故，即②， 由①②得：， 故选：A. 【变式8-1】（多选）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由得到，由与的图象，可以直接判断，；再由得到，结合进一步得到. 【详解】令，则，分别作函数与的图象，如图所示.    不妨设，则由图可得，所以成立，故D正确. 因为，所以，故C错误. 又因为，所以，即，所以，故A错误，B正确. 故选：BD. 【变式8-2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．是增函数 C．只有1个零点 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由对数函数单调性、幂函数单调性以及复合函数单调性即可判断；对于C，由零点存在定理以及函数单调性即可判断；对于D，由A选项结论即可判断. 【详解】对于A，， 且，即函数定义域为全体实数， 所以的图象关于原点对称，故A错误； 对于B，当时，由复合函数单调性可知均单调递增， 所以也单调递增， 又单调递增， 所以由复合函数单调性可知此时单调递增； 当时，由复合函数单调性可知均单调递减， 所以由复合函数单调性也单调递增， 又单调递增， 所以由复合函数单调性可知此时单调递增， 又， 综上所述，是增函数，故B正确； 对于C，，从而此时， 又，且单调递增， 所以只有1个零点，故C正确； 对于D，由A可知的图象关于中心对称，即， 又， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用A选项结论，由此即可顺利得解. 【变式8-3】（多选）函数，，，则下列说法正确的有（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．设方程的所有根的乘积为，则 C．当时，设方程的所有根的乘积为，则 D．当时，设方程的最大根为，方程的最小根为，则 【答案】BCD 【分析】A选项，求出恒过定点，当时，无交点；B选项，画出，的图象，由图象可得，且，即，故；C选项，当时，，求出，，故，C正确；D选项，由题意得，，结合反函数的性质得到答案. 【详解】A选项，令，则， 其中恒过定点， 当时，， 画出，的图象，如下： 可以看出两函数无交点，没有零点，A错误； B选项，画出，的图象， 可以看出两函数有2个交点，设交点横坐标分别为，， 其中，， 由图象可得，且， 故，即， 故，则，B正确； C选项，当时，，方程，即， 时，，时，， 故，C正确； D选项，当时，，画出的图象， 可以看出， 再画出的图象， 的最小根为，则， 由于与互为反函数，关于对称， 而也关于对称， 故与相加得， ，解得，D正确. 故选：BCD 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 【变式8-4】已知函数，其所有的零点依次记为，则 . 【答案】16 【解析】由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积. 【详解】函数的零点 即 所以 去绝对值可得或 即或 去绝对值可得或,或 当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得 当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得 当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得 当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得 综上可得所有零点的乘积为 故答案为: 【点睛】本题考查了函数零点的定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题. 类型九：对数中的零点参数，范围问题 已知函数有零点(方根有根)求参数值 1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； 2.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 3.数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 4、若求多个零点之和问题：需注意函数本身所具有的性质，一般考察为对称性以及周期性。 【例9】（多选）若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】画出函数图像，方程问题转化为函数图像交点的问题即可求解. 【详解】有四个零点， 所以有四个根， 所以和函数图像有四个交点，且交点横坐标为， 所以 因为为正数， 而，所以选项A错误； 根据题意可得，， ， 根据对称性有 所以， 故选项B正确；， ， 故选项C正确； ，当且仅当时成立，所以等号取不到，故选项D错误， 故选：BC. 【变式9-1】（多选）设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，函数与有四个交点，横坐标分别为且，进而数形结合，结合对数运算，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为有四个零点， 所以函数与有四个交点，横坐标分别为且， 作出函数的图象，如图所示， 由图可得，故A正确； ，故B错误； ，所以 由，得， 所以，所以，故C正确； 由，得，由，得， 所以， ， 由双勾函数的单调性可得函数在上递减， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式9-2】（多选）已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（   ） A．的最小值为4 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】作图，结合图象分析可得，，，，，结合基本不等式逐项分析判断. 【详解】作出的大致图象，如图所示．    由题意可得， 可得，即， 其中，，，， 对于选项A：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 但，所以的最小值不为4，A错误； 对于选项BC：因为， 所以，，故BC正确； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是9，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 【变式9-3】已知，若存在互不相同的四个实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算及二次函数的对称性可得，，再结合分段函数各段各部分值域可得的范围，进而得解. 【详解】 如图所示； 函数， 可知，且， 又，则， 由在上有，，有，即，，化简得， 又函数在上有，，且， 由二次函数的性质知对称轴为， ，且， ， 故选：D. 类型十：反函数的应用 反函数 1、 概念：一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. 2、 图像：互为反函数的图像关于y=x对称 【例10-1】求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （2）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （3）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数. 【详解】（1）的值域为， 所以，所以，所以. （2）, 由可得：，即， ∴． （3）当可得：， 由，可得：， ∴. 【例10-2】（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 【变式10-1】已知函数，，若，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】由题可得，即， 在同一坐标系中分别绘出函数，，的图象，    由，可知，由，可得， 联立，解得， 因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称， 则，，且，， 对于A，，故A错误； 对于B，由，， 则，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 【变式10-2】已知函数的零点为，的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可. 【详解】分别为直线与和的交点的横坐标， 因为函数与函数互为反函数， 所们这两个函数的图象关于直线， 而直线、的交点是坐标原点， 故，，，， ， ，故 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键. 【变式10-3】若实数、满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设函数，利用其为增函数，有一个零点得到，即可判断A；由已知可得，可得，即可判断B；由及，可得，即可判断C；由B可得，进而得到，即可判断D. 【详解】设函数，显然为增函数， ，， 由已知，故，故A错误； 由，有，故， 则，故，故B正确； 由，得，故，故C正确； 由，得，则， 由于，得，故D错误. 故选：BC. 类型十一：新定义问题 【例11】若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”. (1)判断定义在上的函数是否是“闭区间同域函数”，并说明理由； (2)若是“闭区间同域函数”（，且）的“同域闭区间”，求a，b； (3)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求m，n. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由“闭区间同域函数”的定义判断可得结果. （2）分和，利用的单调性列方程组可得结果. （3）讨论参数的取值范围，结合二次函数的性质分析函数值域可得结果. 【详解】（1）∵函数在上为增函数，，， ∴在上的值域为，故函数在上不是“闭区间同域函数”. （2）当时，函数在上为增函数， ∴，方程组无解. 当时，函数在上为减函数， ∴，解得， ∴. （3）由题意得，函数对称轴为直线，且， ∴. 当时，在上为增函数，则， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，不符合题意. 当时，在上为增函数，在上为减函数，， ①当时，，不符合题意， ②当时，，解得. 当时，在上为减函数，则， 两式相减得，，由得， ∴，即，代入得或， 当时，，符合题意；当时，，不合题意. 综上得，，或，. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）的关键是分、和三种情况求函数的值域，结合“闭区间同域函数”的定义求参数值. 【变式11-1】某小组为了加深奇函数的理解，讨论提出了“局部奇函数”和“广义奇函数”两个概念： ①若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”； ②函数的定义域为，如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则称为“广义奇函数”． (1)若，判断是否为“局部奇函数”，并说明理由； (2)判断函数是否为“广义奇函数”，如果是，求出对应的实数，如果不是，请说明理由； (3)已知实数，对于任意的实数，函数都是定义域为的“局部奇函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)为局部奇函数，理由见解析 (2)是“广义奇函数”， (3) 【分析】（1）利用局部奇函数的定义列式求解并判断. （2）利用广义奇函数的定义计算，进而确定值即可. （3）利用局部奇函数的定义列式，整理得在上有解，再确定函数的值域，借助集合的包含关系求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 由局部奇函数定义，得，即， 解得，而，所以为局部奇函数. （2）假设函数是“广义奇函数”， ，令，解得， 此时，， 所以是“广义奇函数”，且． （3）由，得在上恒成立， 由对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”， 得对于任意的在上有解， 即在上有解， 整理得：在上有解， 因此的值域是的值域的子集， 由，得的值域是，令，则， 在上单调递减， 则当时，，当时，， 因此，解得：， 所以实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【变式11-2】对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的、，有恒成立，则称在上是“接近”的，否则就称在上是“不接近”的.现有函数 (1)当时，判断函数在上是否“接近”的，说明理由； (2)是否存在实数，使函数在区间上是“不接近”的，若存在，求实数的取值范围；不存在说明理由. 【答案】(1)是“接近”的，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，求出函数在区间上的最大值和最小值，结合题中的定义验证即可； （2）假设函数在区间上是“不接近”的，分析可知，当时，，分析函数在区间上的单调性，由结合参变量分离法可得出，再结合恒成立，可求出的取值范围，即可得出结论. 【详解】（1）当时，在是“接近”的，理由如下： 当时，， 因为在上单调递减，为增函数， 故在上单调递减. 则，， 所以， 即、，有， 所以当时，在上是“接近”的. （2）因为， 当时，因为内层函数在上为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 假设函数在区间上是“不接近”的， 则、，使成立. 即恒成立，即， 又因为，， 所以，， 即. 又，可得恒成立， 即， 由，令，则， 则， 令，，令，， 任取、，不妨设， 则 ， 因为，则，，所以即， 所以函数在单调递增， 所以，，， 则，即， 当时，即当时，取最大值，此时取最大值， 当时，即当时，取最小值，此时取最小值，故. 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以， 所以，且，这样的实数的不存在， 故不存在实数，使函数在区间上是“不接近”的. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【变式11-3】现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. (1)当时，计算； (2)证明：，，，都有； (3)设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义及对数的运算性质证明； （3）根据新定义化简函数解析式，再由对数型复合函数的性质求值域即可得解. 【详解】（1）解：当时，. （2）证明：因为， ， 所以. （3）解：由新运算可知， . 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 整理得，，所以， 将代入，得， 同理得，. 所以，是函数在上的两个不同的零点， 则，解得, 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 1、 单选题 1．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 2、《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 【答案】B 【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案. 【详解】由题可知，． 因为，所以， 所以的整数部分为2567． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力． 3、若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 4、设函数，则使得 的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且 所以函数为偶函数， 又因为当时，函数，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为偶函数有， 所以由可得， 所以，即，整理得：， 解得：， 所以的取值范围为. 故选：C. 5、已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用函数单调性与奇偶性的定义判断得的单调性和奇偶性，再利用对数的运算与换底公式将，，化为的函数值，从而求解. 【详解】因为对任意的，都有恒成立， 即， 令，所以当时，有，即， 所以函数在上单调递减， 又函数为奇函数，所以， 即函数为偶函数， 又，，， 所以，， ， 又， 函数在上单调递减，所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题通过构造新函数，利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小，一定要注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较. 二、多选题 6、已知函数，实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 根据题目给出的等式，代入函数解析式得到、的关系，从而判断出的符号，再把，转化为含有一个字母的式子即可求解． 【详解】∵，∴， ∴或， 又∵，∴，∴，故A不正确，B正确； 又由有意义知，从而， 于是. 所以. 从而. 又，所以， 故. 解得或（舍去）. 把代入解得. 所以，，故C正确，D不正确. 故选：BC. 7、已知函数，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数，与的图象关于直线对称建立的关系，从而逐项分析判断即可得解. 【详解】因为，， 令，，得，， 因为与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 因为， 所以由的图象向右向上各平移一个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，即可知点关于直线对称， 作出，与的大致图象，如图， 由图象可知的横坐标为，的横坐标为， 对于A，由上述分析得，则， 所以，故A错误； 对于B，由上述分析得，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立， 显然，则，故等号不成立， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，而的图象也关于对称，从而得解. 8、函数，有且，则下列选项成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对数性质判断选项A；再利用零点存在定理判断得，从而判断选项B、C、D. 【详解】因为有且 所以，即，得 所以，且 所以A正确 （因为）， 故即 ， 令 当时， 当时，， 而 故在之间必有解，所以存在，使得所以C正确 ，所以B不正确 ，所以D正确    故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 9、设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】画出函数图象，如图，    因为，且，. 所以.且即. 对A，因为，所以，故A正确； 对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；     对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，, 因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确； 对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则. 因为函数在上单调递减，所以，故D正确. 故选：ABD 10、已知函数，函数满足，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．若实数、满足，则 D．若函数与图象的交点为，，…，，则. 【答案】BD 【分析】考虑的值，判断A的真假；设，研究的值，判断B的真假；举反例说明C是错误的；根据函数图象的对称性，判断D的真假. 【详解】对A：因为， 且， 所以，故A错误； 对B：设，由A可知：， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：因为，，但，故C错误； 对D：由以上可知，函数与的图象都关于点对称. 若函数在处无定义，则函数与的图象的交点个数为偶数， 若，则与，与，都关于点对称， 所以，， 所以. 若数在处有意义，则，则函数与的图象的交点个数为奇数， 若，则与，与，都关于点对称，且，， 所以，，， 所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则或； ②函数的图象关于直线对称，则或. 11、已知函数，则（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用指对同构构造函数结合函数单调性判断各选项. 【详解】因为，所以等价于，构造函数， 则，因为是增函数，所以． 因为函数为增函数，且，所以， 所以“”是“”的充要条件． 当时，，理由如下： （解法一） 可变为， 则．因为是增函数，所以，即． （解法二）设，则，，即， 代入，得，即． 假设，则等式左右异号，矛盾．所以，即． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性，关键是将函数变形指对同构构造函数. 三、填空题 12、已知，试比较x，y，z的大小____________． 【答案】． 【分析】对于形如的方程，由外向内逐层求解，即逐步脱去对数符号，从而建立关于的方程，求出的值，即可得到、、，再根据幂函数的性质判断可得； 【详解】解：由， 得，，即； 同理，． ∵，， ∴． 又，， ∴，∴． 13、围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是 位数，它的个位数字是 .（参考数据：） 【答案】 173 3 【分析】通过对数运算得到，即可解决第一空，根据的个位数以4为周期循环往复，即可完成第二空. 【详解】因为， 所以， 因为，则， 所以为位数， 由，其个位数分别为以为周期循环往复， 因为， 故的个位数与的个位数相同，即的个位数为. 故答案为：； 14、已知函数，则满足的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，并判断奇偶性，根据平移得到图象的对称中心为，转化原不等式为，根据单调性得，求解即可 【详解】由题意得， 设，则，的定义域为R， 且，所以为奇函数， 都是增函数，所以是增函数， 的图象是由的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以． 易知在R上单调递增，因为， 所以，所以，解得， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键有三点： （1）得到函数图象的对称中心，从而得到； （2）得到函数的单调性； （3）利用函数的单调性去掉“f”，将原不等式转化为关于x的不等式． 四、解答题 15、已知函数，. (1)求证：为奇函数； (2)解关于的不等式； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案； （2）设，根据在上的单调性可得答案； （3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）函数，即， 可得，解得或， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，则为奇函数. （2）不等式，即为式， 设，即，可得在上单调递减， 所以由，所以，解得， 所以原不等式的解集为. （3）由题意，则，解得， 所以恒成立，即恒成立， 化为，即对恒成立 由， 当且仅当，即时，取得等号， 所以，即的取值范围是. 16、若增函数对任意，，都有，且，恒成立． (1)求，，； (2)求方程的解集； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）利用赋值法，令，可求出，再令，可求出，再令，可求出； （2）由题意可得，则，再由函数的单调性可得，从而可求出方程的解； （3）由已知可求得，所以原不等式可化为，再由其单调性得，然后解一元二次不等式可得答案. 【解析】（1）令，则，得， 令，则，所以， 因为，所以， 令，则，所以，得， （2）由题意可知，得， 因为，所以， 所以，所以， 因为为上的增函数，所以， 所以，， 所以或， 所以或， 所以方程的解集为 （3）因为，所以， 所以， 所以由，得， 因为为上的增函数，所以， 所以，， 解得，所以不等式的解集为. 17、已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可证明； （2）（ⅰ）首先求的取值范围，再讨论的取值，求函数的最小值；（ⅱ）不等式转化为，结合（ⅰ）的结论，求函数的最小值，即可求解不等式. 【详解】（1）时，，定义域为，且， 所以函数是偶函数； （2）（ⅰ）当时，， 当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以， 的对称轴是， 当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是 当时，即，函数的最小值是，的最小值是， 综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是 （ⅱ）由题意可知，， ，，设，则， 函数的最小值是， 由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立， 当时，的最小值是，则 则，，则， 综上可知， 18、已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19、已知函数是偶函数，其中k为实数，函数. (1)求k的值； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数定义求出参数值； （2）含有量词的问题转化为最值问题即可. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以， 即， 所以， 所以. （2）由（1）知， 设函数，设任意， 则， 因为，所以， 那么恒成立，所以在上单调递增， 那么在上是单调递增函数， 又因为是偶函数，在上是单调递减函数， 所以时，， 所以，若，使得等价于在上有解， 即在上有解，即有解， 而在上的值域为， 则，即a的取值范围是. 20、已知定义在上的函数为偶函数且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用偶函数的性质求参数，即可得解析式； （2）根据对数函数性质直接判断的单调性，利用单调性及换元法有在上恒成立，即求参数范围； （3）问题化为，上，应用分类讨论求参数范围. 【详解】（1）由题意，则， 所以恒成立，故， 所以； （2）由（1）得， 又在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，即恒成立， 所以，令，即在上恒成立， 所以，可得. （3）上，， 又对任意的，存在，使得， 只需， 对于，函数图象开口向上且对称轴， 当时，上，得，则； 当时，上恒成立，则； 当时，上，得，则； 综上. 21、已知函数 . (1)证明: 函数是奇函数; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1） 先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义证明即可； （2）结合函数的单调性，利用作差法，即可证明； ( 2 )问题等价于，再转化为二次函数恒小于等于 0 ，解之即可. 【详解】（1）证明: 由，得 ，即的定义域为， 所以的定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. （2）因为和在 上分别是增函数和减函数，所以 在 哦上为增函数， 证明：设， ， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在单调递增； （3）由（2）可知在单调递增； 所以在上的最小值为， 由题知对恒成立， 所以，解得：， 所以实数得到取值范围是 22、已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）当时，可得，分为，两种情况解不等式即可； （2）根据“类线性函数”的概念可得，利用对数和指数幂的运算性质求解； （3）根据题中条件及的单调性可得是方程的两个不同的实数根，设，则方程有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． （2）由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． （3）存在． 易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程的两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 1 学科网（北京）股份有限公司 $