专题05 指指对幂函数的图像与性质（高效培优期末专项训练）高一数学上学期北师大版

专题05 指对幂函数的图像与性质 考点01 指数运算 1 考点02 对数运算 5 考点03 指数对数运算模型应用 7 考点04 幂函数的图像与性质 9 考点05 幂函数综合题型 12 考点06 指数对数函数的定义域问题 17 考点07 指数对数函数的值域问题 20 考点08 指数对数函数的奇偶性问题 21 考点09 指数对数函数的最值问题 25 考点10 指数对数函数的奇偶性单调性解不等式问题 27 考点11 指数对数函数的模型应用 33 考点12 指数对数函数的不等式综合问题 35 考点13 指数对数函数的图像综合问题 37 考点14 指对幂比较大小 39 考点01 指数运算 1．（2025高一上·湖南常德·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据根式和指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解. 【详解】 . 故答案为：8 3．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （3）将有理数指数幂化为根式或分式形式求值即可. 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）由得. 4．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若，且，则的最小值等于 . 【答案】8 【分析】利用指数运算并由基本不等式中“1”的妙用计算可得结果. 【详解】由可得，因此； 又，所以； 当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值等于8. 故答案为：8 5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 考点02 对数运算 6．（25-26高一上·新疆喀什·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】利用指数、对数的运算性质及换底公式化简计算即可． 【详解】原式 故答案为：3． 7．（25-26高一上·陕西·期末）的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用对数运算性质求解即可. 【详解】由. 故选：D. 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） （2） 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，若用表示，则 . 【答案】 【分析】直接利用对数的运算性质可得出结果. 【详解】因为，则. 故答案为：. 10．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；. （2）利用对数的运算法则和性质，即可求解. 【详解】（1） （2） 考点03 指数对数运算模型应用 11．（24-25高一上·山东临沂·期末）2025年山东省春节晚会准备在某市召开，该市筹备组将提前对其使用场所进行消毒，在药物喷洒过程中，该场所空气中的含药量毫克/每立方米与时间小时成正比，药物喷洒完毕后此时含药量，y与x满足关系为常数，据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，该场所才能进入使用，则筹备组进行消毒工作至少应该提前 分钟. 【答案】 【分析】根据函数过，代入可得，代入可得，再根据题意解不等式即可. 【详解】 设， 由题意，，，可得，即有 当时，的图象经过， 可得，解得， 则， 由，y随着x的增大而增大，当，y随着x的增大而减小， 则，即，解得，小时即为分钟， 所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作. 故答案为：. 12．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月. （参考数据：） A．80 B．90 C．100 D．120 【答案】A 【分析】根据已知条件可得出关于 的方程组，解之即得的表达式，再由，利用取对数求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 两边取对数，可得：，则. 故选：A. 13．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到1200万台（参考数据:） （    ） A．2028 年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】B 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆． 由题意可得， ． 经过6年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆， 即到2029年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆． 故选：B． 14．（2024·北京房山·一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： B 15．（23-24高三上·江苏宿迁·月考）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．74 C．76 D．78 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故选：B 考点04 幂函数的图像与性质 16．【多选题】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【答案】BC 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 17．【多选题】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（   ） A．为非奇非偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】由函数是幂函数，设，又的图像经过点， 所以，∴，即． 对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以 ，所以，故C正确； 对于D，， 由函数单调性的性质可知，函数是上的减函数，故D正确， 故选：ACD 18．【多选题】（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递减 【答案】AB 【分析】利用幂函数图象性质判断A；求出函数解析式判断BCD. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，当 时， ，则，B正确； 对于C，当 时， ，为奇函数，C错误； 对于D，若函数的图象经过点，则，函数在其定义域上单调递增 ，D错误. 故选：AB 19．【多选题】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 20．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 考点05 幂函数综合题型 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的性质求解即可； （2）①利用单调性的定义按照步骤证明即可； ②利用的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 又因为，所以为奇函数，故. （2）①证明：由（1）知，则， 设， 则， 因为，所以，所以， 故. 所以在上为减函数. ②因为在上为减函数.，其定义域为， 所以等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质确定的值，进而确定函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明. （2）先根据函数的单调性，确定集合，再分情况讨论二次函数在给定区间上的最值，根据条件列出不等式求参数的取值范围. 【详解】（1）由 ，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则 . 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由 . 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由 ，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由 ，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数n，使得的最小值为，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由幂函数的定义求出m的值，再由确定函数解析式. （2）假设存在，求出的解析式，利用换元法将问题转化为二次函数在闭区间上的最值求解. 【详解】（1）由函数是幂函数，得，解得或， 当时，函数在上单调递减，不满足，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，满足，符合题意， 所以. （2）假设存在实数n使得的最小值为， 由（1）得，由，得， 令，则化为， 于是的最小值为， 当，即时，在上单调递增，， 解得，矛盾； 当，即时，，则； 当，即时，在上单调递减，， 解得，矛盾， 所以存在，使得的最小值为， 5．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，求出函数在区间上的值域即可； （3）令，可得，不等式转化为，由参变量分离法可得，其中，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 故. （2）当时，可得， 令，因为，所以，即可得， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以， 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 考点06 指数对数函数的定义域问题 21．（23-24高二上·北京·期末）函数的定义域是 ． 【答案】. 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果. 【详解】由题意得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 22．（25-26高一上·广东·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用对数的性质列不等式求函数的定义域. 【详解】依题意，则， 故所求定义域为. 故答案为： 23．（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出使函数解析式有意义的的取值范围即可. 【详解】因为函数， 所以，解得且， 所以函数的定义域为：且. 故选：B. 24．（24-25高二下·天津滨海新·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】计算即可. 【详解】由题可知：，且. 所以定义域为. 故答案为： 25．（24-25高二下·江西萍乡·期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 故答案为：. 考点07 指数对数函数的值域问题 26．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 27．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 28．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 29．【多选题】（24-25高一上·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，运用复合函数得性质，结合二次函数图象性质列方程，求出即可；对于B，运用复合函数单调性判定，结合分类讨论，即可解题；对于C，因为的定义域为，分类讨论，得；对于D，因为的值域为R，和分类讨论，结合二次函数性质计算. 【详解】对于A，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数在区间上为增函数， 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，由复合函数单调性可知在单调递增， 则，且， 又在上恒成立， 联立，解得，故B错误. 对于C，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，由有意义，可得，显然不满足题意； 当时，则，解得，故C正确； 对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意； 当时，则解得， ∴．故 D错误. 故选：AC. 30．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 考点08 指数对数函数的奇偶性问题 31．（24-25高三下·山西大同·期末）若是奇函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义域区间对称性求参数，再由求参数，进而验证即可得. 【详解】若，则的定义域为，不关于原点对称，所以． 若奇函数有意义，则且，所以且． 因为奇函数的定义域关于原点对称，由，解得． 由，得，所以． 所以，经验证满足题设. 故选：B 32．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知函数，其中且． (1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，奇函数，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数定义判断证明即可； （2）分和结合对数函数单调性及定义域计算求解. 【详解】（1）因为，解得，所以的定义域为． 又， 所以为奇函数． （2）， 当时，，解得，因为，所以； 当时，，解得，因为，所以． 综上所述：当时，；当时，． 33．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意可知函数的定义域为，根据奇函数定义取特值可得，并结合奇函数定义检验即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得，即，则， 可得， 即，可知函数为奇函数， 所以. 故选：B. 34．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出参数值. 【详解】函数定义域为R，由为奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. 故选：A 35．（2024·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 考点09 指数对数函数的最值问题 36．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值. 【详解】（1）当时，，. 令，因为，则， 所以，其中，根据二次函数性质可知： 当时，；时，，即， 所以的值域为. （2）令，因为，则， 则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时，解得； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得，不合题意舍去； 当时，在上递减，所以， 可得，不合题意； 综上，. 37．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 38．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数k的值； (2)求的最小值； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，再代入检验即可； （2）利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值； （3）依题意可得不等式对任意恒成立，令，即可得到不等式对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，结合对勾函数的性质求出，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为为偶函数，所以， 即，解得， 此时函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； （2）由（1）可得， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立； 所以， 即的最小值为，当时取得最小值； （3）由（1）可得， 则， 由不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 令，则， 所以不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，即实数的取值范围为. 39．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，然后利用换元法将其化成二次函数，求其值域即可. 【详解】因，，对于函数， 由，解得，即函数的定义域为， ， 设，则由可得， 而在区间上单调递减， 故当时，取得最小值为. 故选：A. 40．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的最大值； (3)若，比较与的大小. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）代入，求出，并得到不等式，求出定义域； （2）化简得到，根据，配方得到，，得到答案； （3）变形得到，，，所以，变形得到，，在上是增函数，又在时是减函数，故在上是减函数，. 【详解】（1）由已知，， ，定义域为； （2）， ， 当时，，则， 所以， 故最大值为，时取等号； （3），，， 其中，， 因为，所以，所以， 因为，则，， 因为，所以，，即， ，， 结合，可得，， 在上是增函数，又在时是减函数， 在上是减函数， . 【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 考点10 指数对数函数的奇偶性单调性解不等式问题 41．（25-26高一上·山西·月考）已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用奇函数的性质得到、，结合奇函数在对称区间单调性一致，确定在上单调递减；再将不等式转化为，结合函数定义域与单调性列出关于的不等式组，求解得到的范围. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，且的图象关于原点对称， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 则在上单调递减，因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 故选：C 42．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 43．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】变形得到，得到是偶函数，且由定义法和复合函数单调性满足同增异减，得到在上单调递增，从而得到，求出解集. 【详解】， 的定义域为，，所以函数是偶函数． 令，取， 则， 因为，在R上单调递增， 所以，故， 所以，故在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增， 所以不等式， 等价于，两边平方得，， 解得． 故答案为： 44．（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题为在上的奇函数和单调递增函数，根据，得，设得，再利用基本不等式可得结果. 【分析】由得， 因为为上的奇函数，所以， 故， 又因在上单调递增， 所以即， 设，则恒成立， 则， 因，当且仅当即，时等号成立, 故. 故答案为： 45．（23-24高一上·湖南张家界·期末）设函数，若对，不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】分析出函数为偶函数且在上单调递减，由可得出，利用二次函数的基本性质可得出关于的不等式，由此可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， ，所以，函数为偶函数， 当时，， 由于函数为减函数，在上为减函数， 所以，函数在上单调递减， 由可得，可得， 所以，对任意的恒成立， 设，则对任意的恒成立， 由于二次函数的对称轴为直线，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 考点11 指数对数函数的模型应用 46．（24-25高一上·安徽·月考）某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. (1)正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ (2)某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 【答案】(1) (2)不正常 【分析】（1）根据题意得到，代入，整理结果并取自然对数得，再代入值求解即可. （2）求出两个阶段后的污染物含量的正常值，再跟污染物含量为对比即可. 【详解】（1）令并代入，得，等式两边同取自然对数得，整理得 ∵， ∴， 所以污染物含量降低到初始值的一半大约需要. （2）由题知，先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，正常情况下，此时污染物含量应该为， ∵， ∴，所以； 因为，故当天废气处理系统的运行不正常. 47．（25-26高一上·广东中山·月考）物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量.声强级D（）与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟，已知当声强时，声强级；当声强时，声强级； (1)求上述模型的函数解析式； (2)声强级，对应的声强为；声强级，对应的声强为，求 (3)当声强级D大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声强分别是和，且.已知点的声强等于声强与之和.请根据（1）中的函数模型，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（） 【答案】(1) (2)100 (3)点会受到噪声污染的干扰，理由见解析 【分析】（1）因为当声强时，声强级；当声强时，声强级.将两组数据代入，可得模型的函数解析式； （2）将代入，利用对数的运算性质可求得； （3）由基本不等式求得的最小值为，代入，得点处的声强级的最小值约为，由此可知点受到噪声污染的干扰. 【详解】（1）由已知得，，所以. 解得. ； （2）由得，. 将，代入上式，得， 两式相减，得， 所以. （3） 当且仅当即时取等号. 所以点处的声强级， 所以点会受到噪声污染的干扰. 48．（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为，可得，利用对数的运算求解即可. 【详解】（1）由题可得：， 所以 （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为， 所以，， 所以，即， 解得：， 所以地震每增加1级，则能量约是原来的倍 49．（25-26高一上·全国·单元测试）日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点．冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态．经验表明，绿茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从开始，经过后的温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：① ；②；③． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到．（参考数据：） 【答案】(1)选择②， (2) 【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式. （2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】（1）选择②作为函数模型． 将题表中前三组的数据代入，得，解得， 所以函数模型的解析式为． （2）由（1）中函数模型，得，即， 所以． 所以刚泡好的绿茶大约放置能达到最佳饮用口感． 50．（24-25高一上·云南玉溪·月考）新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动的学生人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动学生人数（人） 43 55 71 (1)现有三个模型：①，②且，③且.请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的学生人数（人），并求出你选择模型的解析式； (2)已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中.（参考数据：） 【答案】(1)③， (2)10周后，全校将有超过一半的学生参与其中 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型； （2）根据（1）中结论可得不等式，结合题中数据分析求解即可. 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 且函数增长的速度越来越快，所以选择③且 代入表格中的三个点可得：，解得：， 所以. （2）由（1）可知：， 令， 整理得，不等式两边取常用对数得，即. 因为，所以， 且，则， 所以10周后，全校将有超过一半的学生参与其中. 考点12 指数对数函数的不等式综合问题 51．（24-25高一下·云南·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：； (3)若的最小值为求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为，所以为奇函数. （2）由，则， ， 所以得证. （3）由，得， 令，所以， ①当时在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 52．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 53．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 54．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，都，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)单调递增，不等式解集为； (3). 【分析】（1）根据奇偶性得到，应用方程组求函数解析式即可； （2）由对应指数函数的单调性判断，再由奇函数、单调性解不等式即可； （3）利用指数函数、分式型函数、二次函数性质分别求出在R上的值域、在上的值域，结合已知得，即可得结果. 【详解】（1）由题设，，且， ， 两式相减可得； （2）由在R上均单调递增，故在R上单调递增， 由，则， 所以，即，可得或， 所以解集为； （3）时，，又，故， 时， ， 令，则， 则， 由，都，使得，只需，即. 55．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，对称中心为 (3) 【分析】（1）由，可列出关于、的方程组，解出即可得、，即可得的解析式； （2）借助指数运算法则计算即可得的值，进而得到的对称中心； （3）结合函数对称性与单调性可得在上恒成立，借助换元法令，可得在上恒成立，结合二次函数性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故. （2）， 故关于中心对称. （3）由，则， 则， 因在上单调递增且恒为正，则在上单调递减， 故在上恒成立， 令，由，则， 则有在上恒成立， 即在上恒成立， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 故实数的取值范围为. 考点13 指数对数函数的图像综合问题 56．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求得即可. 【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得， 又因函数的图象过原点，则，故. 故选：C. 57．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项C. 故选：A. 58．（24-25高二下·北京·期中）若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数复合函数的图象得到，结合指数函数的性质确定大致图象，即可得. 【详解】由解析式知，结合图知，故， 对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合. 故选：A 59．（24-25高一上·河北张家口·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.如图是函数且的大致图象，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数型函数图象得到、的取值范围，再根据函数平移及指数函数的性质判断即可. 【详解】由函数且的图象可知，， 所以函数在定义域上单调递增， 而函数的图象是由的图象向下平移个单位得到的，结合选项可知只有C选项符合题意. 故选：C 60．（23-24高二下·河北沧州·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在，使得为等腰直角三角形，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平行于轴的直线，根据题意，求得和，且，取的中点为，由为等腰直角三角形，得到，根据在函数的图象上，求得，进而得到的值. 【详解】设平行于轴的直线，其中， 由，可得，所以，同理可得，且， 取的中点为，连接，如图所示， 因为为等腰直角三角形，所以，且，所以， 又因为点在函数的图象上，可得， 所以，解得，所以. 故选：A. 考点14 指对幂比较大小 61．（25-26高一上·云南红河·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，；， 所以. 故选：B 62．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 63．（25-26高一上·浙江湖州·月考）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性，对数函数的单调性及中间值法求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：C. 64．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的性质判断即可. 【详解】由于，所以, 故选：C 65．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，结合中间值法比较大小即可． 【详解】因为函数在上均为增函数，函数在上为减函数， 所以，，， 所以． 故选：D 66．（24-25高一上·安徽·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别判断与0和1的大小关系，再利用特殊值综合比较三者的大小. 【详解】由于，指数函数单调递减， 因此，即； 对数函数单调递增，且， 因此，同时，故，即； 对数函数单调递增，且，因此，即. 综上，. 故选. 67．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，判断，再结合中间值1即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 故选：A 68．（2025高二下·吉林·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的换底公式对进行化简，利用函数的单调性即可得答案． 【详解】由于，， 又函数在上是单调递增函数， 故， 所以，即， 故选：A 69．（25-26高一上·辽宁·月考）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性，结合中间值比较大小即可. 【详解】易知， 又，在上单调递减，所以. 又，所以. 故选：A. 70．（25-26高一上·北京朝阳·月考）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以的大小关系是. 故选：C 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指对幂函数的图像与性质 考点01 指数运算 1 考点02 对数运算 5 考点03 指数对数运算模型应用 7 考点04 幂函数的图像与性质 9 考点05 幂函数综合题型 12 考点06 指数对数函数的定义域问题 17 考点07 指数对数函数的值域问题 20 考点08 指数对数函数的奇偶性问题 21 考点09 指数对数函数的最值问题 25 考点10 指数对数函数的奇偶性单调性解不等式问题 27 考点11 指数对数函数的模型应用 33 考点12 指数对数函数的不等式综合问题 35 考点13 指数对数函数的图像综合问题 37 考点14 指对幂比较大小 39 考点01 指数运算 1．（2025高一上·湖南常德·专题练习）计算： ． 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 3．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 4．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若，且，则的最小值等于 . 5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 考点02 对数运算 6．（25-26高一上·新疆喀什·期末）计算： ． 7．（25-26高一上·陕西·期末）的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）（1）计算； （2）计算． 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，若用表示，则 . 10．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 考点03 指数对数运算模型应用 11．（24-25高一上·山东临沂·期末）2025年山东省春节晚会准备在某市召开，该市筹备组将提前对其使用场所进行消毒，在药物喷洒过程中，该场所空气中的含药量毫克/每立方米与时间小时成正比，药物喷洒完毕后此时含药量，y与x满足关系为常数，据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，该场所才能进入使用，则筹备组进行消毒工作至少应该提前 分钟. 12．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月. （参考数据：） A．80 B．90 C．100 D．120 13．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到1200万台（参考数据:） （    ） A．2028 年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 14．（2024·北京房山·一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 15．（23-24高三上·江苏宿迁·月考）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．74 C．76 D．78 考点04 幂函数的图像与性质 16．【多选题】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 17．【多选题】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（   ） A．为非奇非偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．在上单调递减 18．【多选题】（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递减 19．【多选题】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 20．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 考点05 幂函数综合题型 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 2．（24-25高一上·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数n，使得的最小值为，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 考点06 指数对数函数的定义域问题 21．（23-24高二上·北京·期末）函数的定义域是 ． 22．（25-26高一上·广东·期末）函数的定义域为 ． 23．（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·天津滨海新·期末）函数的定义域是 . 25．（24-25高二下·江西萍乡·期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 考点07 指数对数函数的值域问题 26．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 27．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 29．【多选题】（24-25高一上·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 30．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 考点08 指数对数函数的奇偶性问题 31．（24-25高三下·山西大同·期末）若是奇函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 32．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知函数，其中且． (1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 33．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 34．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 35．（2024·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点09 指数对数函数的最值问题 36．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为，求k的值. 37．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 38．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数k的值； (2)求的最小值； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 39．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的最大值； (3)若，比较与的大小. 考点10 指数对数函数的奇偶性单调性解不等式问题 41．（25-26高一上·山西·月考）已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 44．（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是 ． 45．（23-24高一上·湖南张家界·期末）设函数，若对，不等式成立，则实数的取值范围是 . 考点11 指数对数函数的模型应用 46．（24-25高一上·安徽·月考）某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. (1)正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ (2)某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 47．（25-26高一上·广东中山·月考）物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量.声强级D（）与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟，已知当声强时，声强级；当声强时，声强级； (1)求上述模型的函数解析式； (2)声强级，对应的声强为；声强级，对应的声强为，求 (3)当声强级D大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声强分别是和，且.已知点的声强等于声强与之和.请根据（1）中的函数模型，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（） 48．（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 49．（25-26高一上·全国·单元测试）日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点．冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态．经验表明，绿茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从开始，经过后的温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：① ；②；③． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到．（参考数据：） 50．（24-25高一上·云南玉溪·月考）新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动的学生人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动学生人数（人） 43 55 71 (1)现有三个模型：①，②且，③且.请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的学生人数（人），并求出你选择模型的解析式； (2)已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中.（参考数据：） 考点12 指数对数函数的不等式综合问题 51．（24-25高一下·云南·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：； (3)若的最小值为求实数的值. 52．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 53．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 54．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，都，使得，求实数的取值范围． 55．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 考点13 指数对数函数的图像综合问题 56．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二下·北京·期中）若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·河北张家口·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.如图是函数且的大致图象，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24高二下·河北沧州·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在，使得为等腰直角三角形，且，则（    ） A． B． C． D． 考点14 指对幂比较大小 61．（25-26高一上·云南红河·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 63．（25-26高一上·浙江湖州·月考）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 64．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 65．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 66．（24-25高一上·安徽·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 67．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 68．（2025高二下·吉林·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 69．（25-26高一上·辽宁·月考）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 70．（25-26高一上·北京朝阳·月考）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $