第三章 指数运算与指数函数全章复习（13大题型精讲）（高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

第三章 指数运算与指数函数全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1．重点 指数运算、指数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 2．难点 与指数函数有关的函数值域和复合函数的单调性. 一、构建知识网络 二、 回顾重点知识 知识点01 根式 1.a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 4.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1). (4)＝a(n为大于1的奇数). (5).＝|a|＝(n为大于1的偶数). 知识点02 分数指数幂 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点03 指数幂的分类及运算 1.有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂； (2)零指数幂； (3)负整数指数幂，； (4)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 2.有理数指数幂的性质 (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 3.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【注意事项】 无理数指数幂的两注意 (1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果． 知识点04 指数函数及其性质 1.指数函数的概念 （1）概念：函数叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是，是底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 三、熟记重要结论 1．画指数函数图象的三个关键点 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 题型01 根式的化简求值 【典例1-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 【典例1-2】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 根式的化简求值策略 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式1-1】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 【变式1-2】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 题型02 分数指数幂与根式的互化 【典例2-1】下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 【典例2-2】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 分数指数幂与根式的互化技巧 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【变式2-1】化简(其中，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，，所以. 故选：C 【变式2-2】（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 题型03 指数幂的运算 【典例3-1】 . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】, 故选：C 【典例3-2】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【变式3-1】已知，则 ． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以原式 【变式3-2】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 题型04 与指数运算有关的条件求值问题 【典例4】（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. 整体代换法解决条件求值问题 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式4-1】设，且，求= . 【答案】 【详解】对左右同时平方得 同时由可判断，则， 【变式4-2】已知，求： (1) (2). 【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则 题型05 指数函数的详解式问题 【典例5-1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 【典例5-2】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数关于原点对称与函数图象平移变换求出函数的详解式，代入计算可得出的值. 【详解】函数的图象关于原点对称的函数的详解式为， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数， 故. 故选： 指数函数的详解式问题 (1)求指数函数的详解式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的详解式，然后利用已知条件，求出详解式中的参数，从而得到函数的详解式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2) 已知函数为指数函数求参问题求解策略：先由指数幂的系数为1，解出参数的值，而后通常利用且或函数的单调性等其他性质来舍去其中一个值. 【变式5-1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数为指数函数求参数，得，问题转化为在上恒成立，由函数的单调性有在上恒成立，判断左侧单调性，即可求参数范围. 【详解】由指数函数定义得，又且，所以，，则． “，不等式能成立”为假命题， 则“，不等式恒成立”为真命题． 注意到，所以不等式在上恒成立． 又在R上单调递增，所以，即在上恒成立． 设函数，， 由，得，所以单调递增，则， 即，解得， 所以． 【变式5-2】已知函数且的图象与轴交于点，且点在一次函数的图象上. (1)求的值； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）因为点在轴上，且在一次函数的图象上， 所以点的坐标为， 所以， 又，所以. （2）因为，所以. 因为函数在上单调递增，所以对恒成立 即对恒成立. 当时，， 所以，即的取值范围为. 题型06 指数函数的定义域与值域 【典例6-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【典例6-2】设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值. 【详解】由题意得，． ①当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． ②当时，，， ，，，， 故． ③当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． 综上所述，的值域为． 故选：B． 指数函数的定义域与值域问题求解策略 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【变式6-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是.故选：C 【变式6-3】（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 题型07 指数函数的图象 【典例7-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D. 【典例7-2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数图象可知，结合二次函数零点所处的区间可得结果. 【详解】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC. 故选：D. 指数函数的图象问题求解策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【变式7-1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数详解式来分析函数的图象特征，函数在的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称， 又因为， 所以函数为奇函数，排除C选项， 当时，，排除D选项， 当时，，所以A不正确，B正确. 故选：B. 【变式7-2】若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数详解式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. 【变式7-3】若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】把关于的方程有且仅有一个实数解，转化为函数与的函数图象有且仅有一个交点，作出两函数的图象，数形结合得答案. 【详解】关于的方程有且仅有一个实数解，即函数与的函数图象有且仅有一个交点，作出两函数的图象如图： 由图可知，要使函数与的函数图象有且仅有一个交点，则. 题型08 指数函数的单调性 【典例8-1】（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是，故选：D. 【典例8-2】已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 指数型复合函数问题的破解策略 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 【变式8-1】（24-25高一上·青海西宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为.故选：B. 【变式8-2】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：B. 【变式8-3】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 题型09 指数函数的最值 【典例9-1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 【典例9-2】（24-25高二下·陕西西安·期末）定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】记，利用函数单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数，进而化简函数的详解式，结合一次函数的单调性和指数函数的单调性可得出函数的最大值. 【详解】记， 由为定义域上的单调递增函数，为定义域上单调递减函数， 由单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数， 又，故由可得，解得； 由可得，解得. 所以. 当时，； 当时，则，. 综上所述，当时函数取到最大值为. 故选：A 指数（型）函数最值的求解策略 1.先看定义域，确定自变量取值范围； 2.若底数a>1,函数单调递增，定义域端点处得最值（左小右大），若0<a<1,函数单调递减，端点处最值相反（左大右小）； 3. 含复合函数（如 ，先求内层 f (x) 值域，再结合外层指数函数单调性求最值. 【变式9-1】已知是函数的图象上的相异两点，若点到直线的距离相等，则点的横坐标之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设，且， 根据题意，可得，可得， 由基本不等式，可得，可得，解得， 即点的横坐标之和的取值范围是. 故选：D. 【变式9-2】已知表示两数中的最大值，若，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】根据函数,画出图象如下图所示: 取最大值后函数图象为: 由图象可知,当时取得最小值,即 故选:A 【变式9-3】已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在不相等的实数a，b同时满足．，求m的取值范围． 【答案】(1)答案见详解； (2). 【详解】（1）函数中，， 设，函数的图象对称轴为， 当时，函数在处取得最小值； 当时，函数在处取得最小值， 所以当时，；当时，. （2）由，得，则， 化简得，解得，由不等，得； 由，得，则， 设，则，函数都是上的增函数， 因此函数在上单调递增，则， 所以m的取值范围是. 题型10 解指数不等式 【典例10-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【详解】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【典例10-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的详解式； (2)解不等式：. 【分析】（1）由偶函数的性质可得，可求得的值，然后利用偶函数的定义可求得函数在时的详解式，即可得答案； （2）分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，且当时，， 则，解得，即当时，， 当时，，则. 综上所述，. （2）当时，，则函数在上为增函数，且， 由可得，所以，，解得或. 因此，不等式的解集为. 解指数不等式 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 【变式10-1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，解不等式. 【详解】单调递减， 所以，解得：. 故选：A. 【变式10-2】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， ，所以的最小值为， 所以，． 故选：B． 【变式10-3】已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见详解 (2)是定值，关于x的不等式的解集为 【详解】（1） ， 是奇函数，证明如下： 的定义域是，， 所以是奇函数. （2）为定值. 所以， 即， 即①， 在上单调递增， ， ，即②， 由①②得，而， 所以关于x的不等式的解集为. 题型11 比较大小 【典例11-1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的性质来求得正确答案. 【详解】，函数在上单调递增，所以. 在上单调递增，所以. 所以. 故选：A. 【典例11-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）设，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个数的大小． 【详解】函数在上减函数；又，故，即， 函数在上为增函数；又，故，即， 故. 故选：B. 比较幂值大小的方法 【变式11-1】已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以， 因为，且是上的增函数，故， 又，即. 因为在上单调递增， 所以，所以，即. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）下列大小关系正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性比较大小逐个判断即可. 【详解】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误； 对②，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增，所以， 所以，②正确； 对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确； 对④，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递减，所以， 即，④错误； 故选：C. 题型12 指数函数的实际应用 【典例12-1】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（   ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，两式相除得， 则， 所以当时，小时. 故选：B. 指数型函数模型的实际应用 指数型函数的模型可分为以下几类： (1)指数增长模型． 设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1＋p)x表示． (2)指数减少模型． 设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1－p)x表示． (3)指数型函数． 把形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 应用指数型函数横型解决实际问题时需注意的事项： (1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时，要注意自变量x取值的确定要准确． (2)对于指数型函数y＝kax，不仅要注意a的取值，还要注意k的符号对函数性质的影响． (3)若原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，原有量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． 【变式12-1】放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该物质年衰减率为，原质量为1，分析易得，进而求解. 【详解】设该物质年衰减率为，原质量为1，则1年后剩余质量为； 2年后剩余质量为年后剩余质量为， 即， 则与的函数关系式是． 故选：B. 【变式12-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据给定的函数关系式及已知可得，再由求参数. 【解答过程】由题设，可得， 由，则，可得. 故选：D. 【变式13-3】（24-25高一上·全国·课后作业）种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可计算出的值，代入表达式即可计算结果. 【详解】由题意知，则， 故5年后该种群数量是起始数量的倍． 故选：A. 题型13 指数函数性质的综合应用 【典例13-1】已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 【分析】（1）由为奇函数，可得，从而可求解； （2）当时，可得是单调增函数，从而可得即是函数的两个解，参数分离可得，利用换元法设，可得，且，再结合对勾函数性质从而可求解. 【详解】（1）由，所以， 因为为定义域上的奇函数，所以， 即，化简得， 则，则得， 所以或. （2）当时，，所以是单调增函数， 由函数在上的值域为， 所以,， 即是函数的两个解，则得， 设，则，， 根据对勾函数性质可得在上单调递减，上单调递增， 其中在上的值域为，当时取最大值， 综上可得，所以的取值范围为. 【典例13-2】已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解. （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解. （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）减函数，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减，即为R上的减函数. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 解指数函数有关的综合问题的方法 1.性质法：利用指数函数的有关性质可以解决函数的定义域、值域、单调性等问题. 2.图象法：解与指数函数有关的综合问题时，应充分利用指数函数的图象，图象可降低数学的思维难度，简化解题过程. 3.构造法：解与指数函数有关的综合问题时，可构造函数，这需要观察、分析题目的结构特征. 【变式13-1】已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【变式13.2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 【分析】（1）根据，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，并由，变形解不等式，求出值域； （3）由函数奇偶性和单调性，得到，解不等式，求出解集. 【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，故， ，即， 故，解得； （2）由（1）知，，在R上单调递增， 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 又， 所以，即， 所以在R上单调递增， ，变形得到，解得， 故的值域为； （3）因为是定义域为R的奇函数， 故， 由（2）知，在R上单调递增， 所以，令， 则，解得， 故，解得， 不等式的解集为. 1、 单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及，且，可确定出的正负情况，再依据进行化简，最后化简绝对值即可. 【详解】解：有意义，，， 又，，，. 故选：A. 2．（24-25高二上·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（25-26高三上·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 4．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即.故. 故选：D. 5.（24-25高一上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，并判断函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，由，可得， 故函数的定义域为，排除BD选项； 因为， 故函数为奇函数，排除A选项， 故选：C. 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 7.已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】都使成立，等价于 单调递增，所以， 所以对于恒成立， 即，所以恒成立，所以， 单调递增，， 所以即 故选：D. 8．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的范围可求得；分别在、和的情况下求得，利用构造不等式求得结果. 【详解】当时， ①当，即时， ，满足题意 ②当，即时，令, 当时，单调递减；当时，单调递增 又， 若最大值不超过，则，即 ③当，即时， ，解得：（舍） 综上所述：. 故选：C. 2、 多选题 9（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 【答案】ABD 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 11．（24-25高一下·广东广州·期末）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（     ） A． B．的值域为 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【分析】直接验证A选项即可；求得，结合指数函数的基本性质可求得的值域，可判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ABD. 3、 填空题 12．（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 13.（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义及题目条件求得函数 的详解式，再利用“上加下减，左加右减”的图象平移原则进行计算，得到函数的详解式，即可得出结果. 【详解】由指数函数的图象经过点， 得，解得，所以． 将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象， 再向上平移4个单位长度，得到的图象． 令，得，此时，所以的图象过定点. 14．对，，记，则函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】在同一坐标系内作出函数的图象，进而得出函数的图象，再利用图象及函数单调性求出最小值. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图，    观察图象知，当时，，当时，， 当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 16.（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）； (3)已知不等式，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用奇函数的性质，由求出值并验证得答案. （2）借助指数函数单调性判断函数的单调性. （3）利用函数的单调性与奇偶性的解不等式即得t的范围. 【详解】（1）由函数是R上的奇函数，得，解得， 此时，其定义域为R，且， 则是奇函数，所以. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， 则函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递减. （3）由已知及（2），得函数是R上单调递减的奇函数， 不等式， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围是或. 17.已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数是上的奇函数， 证明：由，得，， 所以函数是上的奇函数. （2）由，得，即，而，解得， 函数，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，故当时，， ， 则当时，，当时，， 所以函数的值域是. （3）当时，函数在上都是增函数， 因此是上的增函数，而， 当时，；当时，， 因此，，故函数是上的偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，则依题意对任意，恒成立， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 18.已知函数的定义域为，且，． (1)借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和； (2)设函数． （i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明； （ii）求不等式的解集． 【详解】（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为， 由，，得，函数为偶函数， 由，，得，函数为奇函数， 又， 所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和. （2）（i）函数在区间上单调递增， ，且， ， 由，知，则，，， 因此，，所以在区间上单调递增. （ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增， 不等式等价于，即，解之得， 所以不等式的解集为. 19.（24-25高一下·广东汕头·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． (1)求函数的详解式； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由，可列出关于、的方程组，解出即可得、，即可得的详解式； （2）借助指数运算法则计算即可得的值，进而得到的对称中心； （3）结合函数对称性与单调性可得在上恒成立，借助换元法令，可得在上恒成立，结合二次函数性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故. （2）， 故关于中心对称. （3）由，则， 则， 因在上单调递增且恒为正，则在上单调递减， 故在上恒成立， 令，由，则， 则有在上恒成立， 即在上恒成立， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 故实数的取值范围为. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 指数运算与指数函数全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1．重点 指数运算、指数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 2．难点 与指数函数有关的函数值域和复合函数的单调性. 一、构建知识网络 二、 回顾重点知识 知识点01 根式 1.a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 4.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1). (4)＝a(n为大于1的奇数). (5).＝|a|＝(n为大于1的偶数). 知识点02 分数指数幂 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点03 指数幂的分类及运算 1.有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂； (2)零指数幂； (3)负整数指数幂，； (4)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 2.有理数指数幂的性质 (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 3.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【注意事项】 无理数指数幂的两注意 (1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果． 知识点04 指数函数及其性质 1.指数函数的概念 （1）概念：函数叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是，是底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 三、熟记重要结论 1．画指数函数图象的三个关键点 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 题型01 根式的化简求值 【典例1-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 根式的化简求值策略 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式1-1】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型02 分数指数幂与根式的互化 【典例2-1】下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 分数指数幂与根式的互化技巧 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【变式2-1】化简(其中，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 题型03 指数幂的运算 【典例3-1】 . 【典例3-2】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【变式3-1】已知，则 ． 【变式3-2】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 题型04 与指数运算有关的条件求值问题 【典例4】（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 整体代换法解决条件求值问题 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式4-1】设，且，求= . 【变式4-2】已知，求： (1) (2). 题型05 指数函数的解析式问题 【典例5-1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D． 指数函数的解析式问题 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2) 已知函数为指数函数求参问题求解策略：先由指数幂的系数为1，解出参数的值，而后通常利用且或函数的单调性等其他性质来舍去其中一个值. 【变式5-1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式5-2】已知函数且的图象与轴交于点，且点在一次函数的图象上. (1)求的值； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围. 题型06 指数函数的定义域与值域 【典例6-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 指数函数的定义域与值域问题求解策略 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【变式6-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型07 指数函数的图象 【典例7-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 指数函数的图象问题求解策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【变式7-1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征，函数在的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式7-3】若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是 . 题型08 指数函数的单调性 【典例8-1】（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 指数型复合函数问题的破解策略 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 【变式8-1】（24-25高一上·青海西宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09 指数函数的最值 【典例9-1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【典例9-2】（24-25高二下·陕西西安·期末）定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 指数（型）函数最值的求解策略 1.先看定义域，确定自变量取值范围； 2.若底数a>1,函数单调递增，定义域端点处得最值（左小右大），若0<a<1,函数单调递减，端点处最值相反（左大右小）； 3. 含复合函数（如 ，先求内层 f (x) 值域，再结合外层指数函数单调性求最值. 【变式9-1】已知是函数的图象上的相异两点，若点到直线的距离相等，则点的横坐标之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知表示两数中的最大值，若，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式9-3】已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在不相等的实数a，b同时满足．，求m的取值范围． 题型10 解指数不等式 【典例10-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例10-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)解不等式：. 解指数不等式 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 【变式10-1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 题型11 比较大小 【典例11-1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）设，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 比较幂值大小的方法 【变式11-1】已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）下列大小关系正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 题型12 指数函数的实际应用 【典例12-1】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（   ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 指数型函数模型的实际应用 指数型函数的模型可分为以下几类： (1)指数增长模型． 设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1＋p)x表示． (2)指数减少模型． 设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1－p)x表示． (3)指数型函数． 把形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 应用指数型函数横型解决实际问题时需注意的事项： (1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时，要注意自变量x取值的确定要准确． (2)对于指数型函数y＝kax，不仅要注意a的取值，还要注意k的符号对函数性质的影响． (3)若原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，原有量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． 【变式12-1】放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式13-3】（24-25高一上·全国·课后作业）种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（    ） A． B． C． D． 题型13 指数函数性质的综合应用 【典例13-1】已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 【典例13-2】已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 解指数函数有关的综合问题的方法 1.性质法：利用指数函数的有关性质可以解决函数的定义域、值域、单调性等问题. 2.图象法：解与指数函数有关的综合问题时，应充分利用指数函数的图象，图象可降低数学的思维难度，简化解题过程. 3.构造法：解与指数函数有关的综合问题时，可构造函数，这需要观察、分析题目的结构特征. 【变式13-1】已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【变式13.2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 1、 单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 7.已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 9（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·广东广州·期末）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（     ） A． B．的值域为 C．，则 D．，则 3、 填空题 12．（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 13.（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 14．对，，记，则函数的最小值为 . 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 16.（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）； (3)已知不等式，求实数的取值范围． 17.已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18.已知函数的定义域为，且，． (1)借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和； (2)设函数． （i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明； （ii）求不等式的解集． 19.（24-25高一下·广东汕头·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$