专题04 函数的单调性奇偶性对称性周期性（高效培优期末专项训练）高一数学上学期北师大版

专题04 函数的单调性奇偶性对称性周期性 考点01 判断具体函数的单调性 1 考点02 由单调性求参数 5 考点03 求复合函数的单调性 7 考点04 分段函数的单调性求参数 9 考点05 函数的单调性与最值求参数 12 考点06 判断函数的奇偶性 17 考点07 由函数的奇偶性求参数 20 考点08 由函数的奇偶性求解析式 21 考点09 单调性奇偶性解抽象不等式 25 考点10 抽象函数的单调性奇偶性 27 考点11 奇偶性对称性周期性综合求值 33 考点12 奇偶性对称性单调性周期性综合问题 35 考点01 判断具体函数的单调性 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 3．（24-25高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 4．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 5．（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 考点02 由单调性求参数 6．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 考点03 求复合函数的单调性 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 13．（23-24高一下·河北保定·期中）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·河北·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 考点04 分段函数的单调性求参数 16．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·广东·期中）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围 . 18．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 19．（25-26高一上·福建泉州·月考）已知且，函数，若存在实数，使得函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为 . 考点05 函数的单调性与最值求参数 21．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·广东中山·月考）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为 ；若最大值为，则的取值范围 . 23．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，是否存在实数，使得在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点06 判断函数的奇偶性 26．（25-26高一上·广东江门·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 27．（25-26高一上·河南南阳·月考）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·河南·期中）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 30．【多选题】（25-26高三上·安徽·期中）下列命题中正确的是（    ） A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 考点07 由函数的奇偶性求参数 31．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数是偶函数，则（　　） A．-1 B．0 C．1 D．1或-1 32．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数是偶函数，且定义域是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知且，若函数为偶函数，则 ． 34．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点08 由函数的奇偶性求解析式 36．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·云南昭通·期末）函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为（   ） A． B．4 C．8 D． 38．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 39．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 40．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 考点09 单调性奇偶性解抽象不等式 41．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 44．（24-25高二下·福建福州·期末）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为 . 45．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点10 抽象函数的单调性奇偶性 46．【多选题】（25-26高一上·江西·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 47．【多选题】（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 48．【多选题】（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 49．【多选题】（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 50．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 考点11 奇偶性对称性周期性综合求值 51．（重庆市部分学校2025-2026学年高一上学期12月份联考数学试卷）已知的定义域为，满足，若，则 . 52．（25-26高三上·山东·月考）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 54．【多选题】（24-25高一上·山东烟台·月考）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（   ） A．为偶函数 B． C． D． 55．【多选题】（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B． C．为偶函数 D．为奇函数 考点12 奇偶性对称性单调性周期性综合问题 56．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，记，则（   ） A． B． C． D． 57．【多选题】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（    ） A． B．的周期 C．在上单调递增 D．满足 58．【多选题】（25-26高三上·山东菏泽·期中）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B．在上单调递减 C．为奇函数 D．方程仅有10个不同实数解 59．【多选题】（25-26高一上·山东临沂·期中）已知，均为上的函数，，，且为偶函数，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．图象的一个对称中心为点 D．若，的图象连续不断，且在区间上单调，则的值域为 60．【多选题】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的单调性奇偶性对称性周期性 考点01 判断具体函数的单调性 1 考点02 由单调性求参数 5 考点03 求复合函数的单调性 7 考点04 分段函数的单调性求参数 9 考点05 函数的单调性与最值求参数 12 考点06 判断函数的奇偶性 17 考点07 由函数的奇偶性求参数 20 考点08 由函数的奇偶性求解析式 21 考点09 单调性奇偶性解抽象不等式 25 考点10 抽象函数的单调性奇偶性 27 考点11 奇偶性对称性周期性综合求值 33 考点12 奇偶性对称性单调性周期性综合问题 35 考点01 判断具体函数的单调性 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 2．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 3．（24-25高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质判断即可. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 4．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性求解即可． 【详解】当时，单调递减； 当时，，在上单调递增，在单调递减； 故答案为： 5．（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解. 【详解】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 考点02 由单调性求参数 6．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 7．（24-25高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 9．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数性质确定单调减区间即可. 【详解】根据二次函数性质，在上递增，在上递减. 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出在指定区间上单调递增的的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】二次函数在区间上单调递增，则，解得， 显然选项ABD中条件都不能推出，而真包含于， 所以所求的一个充分不必要条件为. 故选：C 考点03 求复合函数的单调性 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 12．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由解得或， 则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为. 故答案为： 13．（23-24高一下·河北保定·期中）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将命题等价转化为研究在上的性质，然后分类讨论即知使得命题成立的充要条件是，最后比较选项即可得出答案. 【详解】由于是定义在上的递减函数，故命题等价于在上单调递增且取值恒为正. 若，则，从而在上取值不恒为正，不满足条件； 若，则对任意都有， 且由知对任意都有. 故在上单调递增且取值恒为正，满足条件. 所以使得原命题成立的充分必要条件是，从而观察选项可知A是充分不必要条件，B是充要条件，C，D是既不充分也不必要条件. 故选：A. 14．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 则有，解得． 所以a的取值范围是. 故选：C 15．（25-26高三上·河北·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 考点04 分段函数的单调性求参数 16．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 17．（25-26高一上·广东·期中）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】根据一次函数、二次函数的性质确定的单调区间，再结合已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】由在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，在上单调递增， 且， 综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，则，可得. 故答案为： 18．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 19．（25-26高一上·福建泉州·月考）已知且，函数，若存在实数，使得函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调递减的特点列出相应的不等式，利用的取值范围，由不等式的性质求解可得实数的取值范围即可. 【详解】因为在上单调递减，则，解得， 因为，所以，要存在满足，故． 所以实数的取值范围是. 故选：C 20．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数单调性的定义推出在上单调递增，再由分段函数单调性建立关于的不等式，求解即可. 【详解】不妨设，由，可得：，即， 则函数在上单调递增， 则，解得，即， 故实数a的取值范围为． 故答案为： 考点05 函数的单调性与最值求参数 21．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 22．（25-26高一上·广东中山·月考）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为 ；若最大值为，则的取值范围 . 【答案】 【分析】应用对勾函数的单调性得出函数的值域，再应用绝对值不等式得出，最后应用对勾函数的最小值计算求解. 【详解】若，函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即得，则函数， 当时，当或时， 则函数值域为； ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即. 故答案为：，； 23．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用单调性求出时的最小值，再根据题意讨论求解的取值范围,得到时符合题意；因此当时，只要研究的情况就可以了.当时，恒成立，当时，求出，根据题意得到的不等式，进行求解. 【详解】当时，，在上单调递减，所以， 则当，存在，使，符合题意. 当时，不存在，使. 所以只要即符合题意. 当时，只要研究的情况. 当时，恒成立，不符合题意； 当时，， 所以，则，解得. 故的取值范围为. 故选：D. 24．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 25．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，是否存在实数，使得在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在实数或 【分析】根据分段函数的特点以及对称轴与给定区间的位置关系进行分类，结合二次函数知识分别计算不同情况下函数的最小值，再令最小值等于，求解的值并判断是否符合该情况的取值范围即可. 【详解】由题意得 ①当，即时，在上是减函数，故． 令，得 ，满足题意． ②当即时，在上是减函数，在上是增函数，故 ．令，得，不合题意． ③当时，在上是增函数，故． ④当即时，在上是增函数，在上是减函数，的最小值是与中的较小者．． 令，得；令，得．均不合题意． ⑤当时，在[1,2]上是减函数，故． 令，得 ，不合题意． ⑥当时，在[1,2]上是减函数，故．令，得 ，满足题意． 综上，存在实数或，使得在区间上的最小值为． 考点06 判断函数的奇偶性 26．（25-26高一上·广东江门·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性定义和对称性进行判断即可. 【详解】，所以的图像关于直线对称， 设，则是将的图像向左平移1个单位长度得到的， 因为的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称， 所以为偶函数． 因为，记， 因，而 即且，故为非奇非偶函数，即C、D错误. 故选：B. 27．（25-26高一上·河南南阳·月考）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，，即为偶函数，故B错误； 对于C：的定义域为，关于原点对称，，则不为奇函数，故C错误； 对于D：的定义域为，关于原点对称.对任意的,有; 对任意的，有，则； 对任意的,有，则; 所以，又因为，因此有，即函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 28．（25-26高一上·河南·期中）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，且，故A选项正确； 对于B选项，函数的定义域为，不是奇函数，故B选项错误； 对于C选项，函数的定义域为，且，故C选项正确； 对于D选项，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故D选项错误. 故选：AC 29．（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的奇偶性及单调性进行判断． 【详解】对于A项，函数为奇函数，故A项错误； 对于B项，函数为非奇非偶函数，故B项错误； 对于C项，函数是偶函数，但在上单调递增，故C项错误； 对于D项，函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为，所以函数为偶函数，且在上单调递减，故D选项符合题意． 故选：D 30．【多选题】（25-26高三上·安徽·期中）下列命题中正确的是（    ） A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 【答案】BD 【分析】根据奇偶性的定义和性质判断. 【详解】如果奇函数的定义域里没有0，那么奇函数不经过坐标原点，故A错； 函数的定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故B正确； 函数的定义域为，不关于原点对称，故C错； 函数的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故D正确. 故选：BD. 考点07 由函数的奇偶性求参数 31．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数是偶函数，则（　　） A．-1 B．0 C．1 D．1或-1 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】由偶函数性质可得，移项得， 所以，即，所以解得. 检验：当时，，此时定义域是， 显然关于原点对称,所以满足题意； 当时，，此时定义域是， 显然不关于原点对称，所以不满足题意； 故选:C      32．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数是偶函数，且定义域是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称得到，则；又因为二次函数为偶函数，故一次项系数为0，所以，所以,所以. 【详解】因为偶函数 的定义域是，所以，得到； 因为是偶函数，所以，所以， 所以. 故选：C 33．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知且，若函数为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】由函数奇偶性的定义即可得出答案. 【详解】定义域为 因为为偶函数， 所以， 化简得， 因为，所以，得， 因为，所以 故答案为： 34．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】命题为奇函数，奇函数满足， 即，整理得，解得 故成立的充要条件是. 命题为偶函数，偶函数满足 即，整理得，解得或 故成立的充要条件是或 则是成立的充分不必要条件. 故选：A. 35．（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由奇函数的定义，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】易知的定义域为，且是奇函数， 则对任意均成立， ， 即 解得． 故选：D. 考点08 由函数的奇偶性求解析式 36．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 37．（24-25高二下·云南昭通·期末）函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】由函数奇偶性，构造方程可解得，，原方程有解可转化为在内有解，利用换元把方程化为求的最小值即可. 【详解】，是定义在上的奇、偶函数，，， 又，即， 得：，， 代入得，，， 令，，， 当且仅当，即时等号成立 故选：A.. 38．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用函数的奇偶性列出方程组，求得，再由题设条件推得，设，可知其在区间上为减函数，最后根据含参数的二次函数在给定区间上的单调性即可求得参数范围. 【详解】因是奇函数，是偶函数，则有， 对于①，用替换，整理得②， 联立①和②，解得：， 由时，等价于， 则，记，则， 即在区间上为减函数， 显然，的对称轴为直线. ①当时，，显然不符合题意； ②当时，需使，解得. 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求得函数的解析式后，根据题设不等式，等价转化后，需构造函数，利用其单调性数形结合即可求得参数范围. 39．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由偶函数对称性求出时的解，综上即可得出不等式解集. 【详解】当时，，解得， 因为是上的偶函数，故图象关于轴对称， 所以当时，， 令，解得， 综上，的解集为. 故答案为： 40．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】解：因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 考点09 单调性奇偶性解抽象不等式 41．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于. 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 42．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解. 【详解】定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ，， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 43．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 44．（24-25高二下·福建福州·期末）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得3为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以，则， 由， 得， 又因为函数在上单调递减，且， 则函数在上单调递增， 则时，，当时，， 则当时，， 当时，， 所以的解集为，的解集为， 由于不等式的解集为， 当时，不等式为， 此时解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 要使不等式的解集为， 则，即； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 此时不等式的解集不为； 综上所述，， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 45．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，设，可判断函数的单调性及奇偶性，再利用单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】， ， 又，且，则，， 设，则， 所以在单调递增， 又函数是定义域为的偶函数，所以也是上的偶函数， 又，所以，即， 则，解得. 故选：C. 考点10 抽象函数的单调性奇偶性 46．【多选题】（25-26高一上·江西·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【分析】令，求出的值，可判断A正确；令，求得的值，再令，求得的值，可判断B错误；根据题意，得到时，，结合函数单调性的定义，可判断C正确；令，由，令，结合函数奇偶性的定义，可判断D选项. 【详解】对于A，对任意的实数满足， 令可得，解得，所以A正确； 对于B，令可得， 即，解得， 再令，可得，所以B错误； 对于C，由题意知：当时，， 当时，则时，， 故当时，， 任取且， 则， 所以函数在上为增函数，所以C正确； 对于D，令，因为， 可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：ACD. 47．【多选题】（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】BCD 【分析】对于A，通过即可求解，对于B，先令，得到，再令即可求解；对于C，先确定当时，，再通过函数单调性定义即可判断，对于D，令，先确定，再令，即可判断. 【详解】对于A选项，对任意的实数、满足， 令可得，解得，A错； 对于B选项，令，可得， 即， 解得， 再令可得，B对； 对于C选项，由题意可知，当时，， 时，， 故当时，， 任取且， 则， 即函数在上为增函数，C对. 对于D选项，令， 由， 可得， 即， 且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：BCD 48．【多选题】（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过赋值法结合偶函数定义判断各选项即可. 【详解】对于A，令，由得： ，故或者故A错误； 对于B，令则由得： 又时， 令，则可得，则，故B正确； 对于C，当时，令，则， 则，故，所以函数是偶函数， 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数， 综上可知，函数是偶函数，故C正确； 对于D，若，令，得， 令，则， ，则， ，则， ，则， ，则，      ，则， ，则， 故，故D正确. 故选：BCD. 49．【多选题】（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】通过赋值，，及可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD； 【详解】， 令，可得：， 所以， 令，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 50．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【分析】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据所给函数性质，灵活赋值，恰当变形是解决问题的关键. 考点11 奇偶性对称性周期性综合求值 51．（重庆市部分学校2025-2026学年高一上学期12月份联考数学试卷）已知的定义域为，满足，若，则 . 【答案】2028 【分析】推导函数的奇偶性、对称性与周期性，利用进行转换求解即可. 【详解】由，得是奇函数，即，且， 由，令，则， 所以的图象关于直线对称， ， ，因此的周期为8， 因为，所以， ， ， ， 综上 故答案为：2028 52．（25-26高三上·山东·月考）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性的定义推断函数的性质，进而逐项判断即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以其图像经过原点，即，C错误； 因为为偶函数，所以，可知函数的对称轴为， 所以，而由为奇函数可得，， 即，所以关于点对称，所以， 所以，D正确； 令，则为奇函数， 而为偶函数，满足题意， 但是，所以A,B错误. 故选：D. 53．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 【答案】D 【分析】先根据题设条件推得4为函数的一个周期，结合取值代入，利用奇函数的定义，函数周期性等性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因函数是定义在上的函数，其图象关于点对称， 且，可得， 由可得， 则有，则， 故，即4为函数的一个周期， 又由可得， 由可得， 这些条件均无法确定，可以是任意满足的值， 故没有依据，故A错误； 对于B，由A已得， 假设，则恒成立，而题设没有这个条件，故B错误； 对于C，由可得，故为偶函数， 假设为奇函数，则恒成立，而题设没有这个条件，故C错误； 对于D，由函数的图象关于点对称可知， 令得，即， 又由A项，，可得：，， 且4为函数的一个周期， 故，故D正确. 故选：D. 54．【多选题】（24-25高一上·山东烟台·月考）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（   ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用已知条件分析即可得出C选项， 根据的图象关于直线对称，以及已知条件以及奇偶性即可判断A选项，根据已知条件取可以推出B选项，在取根据推理的表达式以及函数奇偶性即可得出选项D. 【详解】由， 则， 又， 所以， 所以， 故C选项不正确； 因为的图象关于直线对称， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，即， 由， 所以， 所以函数为偶函数， 由， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以函数为偶函数， 故A选项正确； 因为， 令，则， 所以， 由， 所以， 所以， 取时， 所以， 所以不成立， 故B选项不正确； 由， 令，则， 又， 所以， 即，所以， 故D选项正确. 故选：AD. 55．【多选题】（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性和对称性逐一推理判断各选项即可. 【详解】对于A，由可得，故的图象关于中心对称，即A正确； 对于B，在中，取，，解得， 因是上的偶函数，故，故B正确； 对于C，因是上的偶函数，则， 由可得，故有， 假设是偶函数，则，故有， 即，也即恒成立，而由题意此式并不一定恒成立，故假设不成立，即C错误； 对于D，由，故为奇函数，D正确. 故选：ABD. 考点12 奇偶性对称性单调性周期性综合问题 56．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数周期，函数在区间上单调递增，且，又，，，进而可得结果. 【详解】因为函数为奇函数，所以，即， 所以，且函数的图象关于点对称. 因为函数为偶函数，所以， 则函数的图象关于直线对称，且， 所以，则，所以，所以的周期为8. 因为函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增， 又函数关于点对称，所以函数在区间上单调递增. 因为， 即，，， 所以，所以. 故选：D. 57．【多选题】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（    ） A． B．的周期 C．在上单调递增 D．满足 【答案】AC 【分析】根据条件，研究函数的性质，逐项判断即可. 【详解】在中，令，可得， 又，所以函数的图象关于直线成轴对称，所以. 由函数的图象关于点对称，所以. 所以. 用代替，可得， 再用代替，可得， 所以，所以函数是以为周期的周期函数， 因为，所以不是函数的周期.故B错误； 因为，且，所以，故A正确； 设，则， 因为在上单调递减，所以， 又，，所以，所以函数在上单调递增.故C正确； 又，，. 在中，令得： ， 因为函数周期为，所以，由A选项可得，. 在中，令，可得 . 又，但根据题意，函数在上单调递减，而非在上单调递减， 所以的符号无法确定，故与的大小无法确定.故D错误. 故选：AC 58．【多选题】（25-26高三上·山东菏泽·期中）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B．在上单调递减 C．为奇函数 D．方程仅有10个不同实数解 【答案】ACD 【分析】由为奇函数和为偶函数得，即是周期为8的周期函数即可判断AC，作出函数在和的函数图象，利用数形结合即可判断BD. 【详解】由为奇函数，可得，即（*）， 又为偶函数，则，即， 由（*），，即， 则，故， 所以是以8为一个周期的周期函数， 对于A，，故A正确； 对于C，， 又为奇函数，所以为奇函数，故C正确； 对于B，因方程的根的个数，即与的交点个数， 作出函数在和的函数图象： 由图可知在上单调递增，故B错误； 由图可知，与有10个交点，即方程仅有10个不同实数解，故D正确. 故选：ACD. 59．【多选题】（25-26高一上·山东临沂·期中）已知，均为上的函数，，，且为偶函数，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．图象的一个对称中心为点 D．若，的图象连续不断，且在区间上单调，则的值域为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，由为偶函数，得到，进而求得，求得，可判定A正确；令，得到，再令，求得，可判定B错误；求得，得到函数关于点中心对称，结合，可判定C正确；求得 ，求得在上的值域为，结合，得到在上的值域，可判定D正确. 【详解】对于A，由，可得， 又由，可得， 所以，可得， 令，则，可得，即， 因为函数为偶函数，所以，所以， 即，所以， 所以是周期为的函数，所以，所以A正确； 对于B，由，令，可得，所以， 又由，令，可得，所以，所以B错误； 对于C，，可得， 由A项知，函数是周期为的函数，可得， 又因为为偶函数，可得，即， 由选项A的推导可得，又为偶函数， 所以，又的周期为， 所以，所以函数关于点中心对称， 因为，所以函数关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由题干条件可得，若在上单调递减， 则，与矛盾，故在上单调递增， 所以，当时，的值域为， 又，函数为偶函数， 所以，故函数关于点中心对称， 当时，的值域为， 所以函数在上的值域为，即函数在上的值域为， 又因为，所以函数在上的值域为，所以D正确. 故选：ACD. 60．【多选题】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】由为奇函数可得，取即可判断A，由为偶函数可得即可判断B；利用周期性判断C，利用周期性和对称性并结合题意求解单调性判断D即可. 【详解】对于A，因为为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； 对于B，因为为偶函数，所以， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，而，得到， 则，而，即， 可得，故， 得到是周期为4的周期函数， 由周期性可得，故C错误， 对于D，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，由中心对称性可得在上单调递增， 由轴对称性可得在上单调递减， 由中心对称性可得在上单调递减， 由周期性可得在上单调递减， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD． 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $