2.4.1 函数的奇偶性新授课2026-2027学年高一上学期北大师版必修一

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，涵盖概念、判断方法及图象特征，导入时结合单调性、函数图象等旧知，通过对比表格建立知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于以数学抽象（表格对比奇偶性条件与结论）、逻辑推理（分段函数奇偶性判断）和直观想象（奇函数图象应用）为核心，如利用奇偶性求解析式培养推理能力。学生能系统掌握方法，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 【素养目标】 1．理解奇函数、偶函数的概念．(数学抽象) 2．掌握判断某些函数奇偶性的方法．(逻辑推理) 3．掌握奇偶函数的图象特征．(直观想象) 4．会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性．(逻辑推理) 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系． 2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　函数的奇偶性 知识点 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A 结论 f(－x)＝__________ f(－x)＝____________ 图象特点 关于________对称 关于________对称 f(x)　 －f(x)　 y轴　 原点　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 思考：(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？ (2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？ 提示：(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立． (2)奇、偶函数的定义域关于原点对称． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (　　) B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD）   2．下列函数是偶函数的是 (　　) A．y＝2x2－3　 B．y＝x3 C．y＝x2，x∈[0，1]　 D．y＝x [解析]　对于A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性． A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是 (　　) A．奇函数　 B．偶函数 C．既奇又偶函数　 D．非奇非偶函数 [解析]　f(－x)＋f(x)＝F(x)． 又x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数． B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 函数奇偶性的判断  例 1 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？ (2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？ [解析]　(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数． (2)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． (4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 奇偶函数图象的应用  　　　　设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)＜0的解集． 例 2 [分析]　利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5，0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)＜0的解集． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．根据f(x)在[0，5]上的图象画出在[－5，0]上的图象，如图中虚线所示．由图象知不等式f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❷　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间． [分析]　∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y＝f(x)在x＞0时的图象． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 利用函数的奇偶性求解析式  　　　　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3．试求f(x)在R上的表达式． [分析]　(1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？ (2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式． 例 3 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式． [解析]　设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1． ∴当x∈(－∞，0)时， f(x)＝x2－x－1． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型四 单调性与奇偶性的综合应用  　　　　定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，求实数a的取值范围． [分析]　利用f(x)是奇函数，把f(1－a)＋f(1－3a)＜0变形为f(1－3a)＜f(a－1)，再根据单调性列出不等式(组)求解． 例 4 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 例 5 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [错因分析]　错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数． [正解]　(1)函数的定义域为(－2，2]，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　判断函数奇偶性的步骤如下： (1)确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称． (2)①当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是偶函数． ②当函数的定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)的关系：若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题 1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如： (1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)恒成立； 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (2)若f(x)是奇函数，定义域为M，则f(－x)＝－f(x)对任意x∈M恒成立；若f(x)是偶函数，定义域为M，则对任意x∈M, f(－x)＝f(x)恒成立； (3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任意x∈A，有m≤f(x)≤M． 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．遇到f(－x)与f(x)的关系问题时，应首先从函数f(x)的奇偶性入手考虑，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性来解答． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于 (　　) A．－26　 B．－18 C．－10　 D．10 [分析]　只有一个条件f(－2)＝10，两个待定系数a，b，不能通过列方程组方法求出a，b．由f(－2)求f(2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f(x)的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f(2)? A　 例 6 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8， ∴f(－2)＝g(－2)－8＝10， ∴g(－2)＝18， ∴g(2)＝－g(－2)＝－18． ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2．若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_______________． 例 7 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．函数f(x)＝|x|＋1是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 [解析]　f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)， ∴函数f(x)为偶函数． B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝_____． [解析]　f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0． 0　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 5．定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)比较f(1)与f(3)的大小． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．           (2)观察图象，知f(3)＜f(1)． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．(2022·南阳市高一期中测试)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b的值为 (　　) A．0　 B． C．1　 D．2 [解析]　由题意得 ∴∴a＋b＝． 5．已知函数f(x)＝x－的图象经过点(2，1)． (1)求a的值； (2)判断f(x)的奇偶性． [解析]　(1)∵点(2，1)在函数f(x)的图象上，∴1＝2－，∴a＝2． (2)由(1)知f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称． f(－x)＝－x－＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． 　　　　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (3)f(x)＝ (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)； ① 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)． ② 综上可知，函数f(x)＝是奇函数． [注意]　①由于这里的－x＜0，因此应将－x代入f(x)＝－x2－1；②由于这里的－x＞0，因此应将－x代入f(x)＝x2＋1． 【对点练习】❶　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝－3x2＋1； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝． [解析]　(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数． (2)函数f(x)＝－3x2＋1的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)， ∴f(x)＝－3x2＋1是偶函数． [解析]　∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0， ∵x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：f(x)＝ [解析]　原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)． 因为f(x)是奇函数，所以－f(1－a)＝f(a－1)． 所以原不等式化为f(1－3a)＜f(a－1)． 因为f(x)是减函数，且定义域为(－1，1)， 所以有解得0＜a＜． 所以实数a的取值范围是． 【对点练习】❹　已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围为 (　　) A．　　 B． C．　 D． [解析]　由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)＜f，即－＜2x－1＜，解得＜x＜． 判断函数奇偶性时忽视定义域 　　　　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3x2，x∈(－2，2]； (2)f(x)＝(x－1)． [错解]　(1)∵f(－x)＝3(－x)2＝3x2＝f(x)， ∴函数是偶函数． (2)∵f(x)＝－＝－＝－， ∴f(－x)＝－＝－ ＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． 解法二：由已知条件，得 ， ①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16． 又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26． [解析]　由题意知f(x)＝则2f(x)＝f(x)，因此，原不等式等价于f(x＋a)≥f(x)． [，＋∞)　 易知f(x)在R上是增函数，所以x＋a≥x， 即a≥(－1)x． 又x∈[a，a＋2]，所以当x＝a＋2时，(－1)x取得最大值(－1)(a＋2)，因此，a≥(－1)(a＋2)，解得a≥．故a的取值范围是[，＋∞)． 1．函数f(x)＝－x的图象关于 (　　) A．y轴对称　 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称　 D．直线y＝x对称 [解析]　因为x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，所以函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称． 3．函数f(x)＝(x－1)，x∈(－1，1) (　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 [解析]　∵x∈(－1，1)，∴x－1＜0， ∴f(x)＝(x－1)＝－， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，选B． $