精品解析：江苏省淮安市淮阴区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省淮安市淮阴区 九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A. B. 2a=3b C. D. 3a=2b 3. 下列线段是成比例线段的是（　　） A B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 1： 7. 如图，树AB在路灯O照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知：，，的度数为_____． 10. 若，则的值为_____． 11. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 12. 已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长是______． 13. 如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为____ 度． 14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB________． 15. 如图，在平行四边形中，E是上一点， ，与相交于F，则______． 16. 如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知a、b满足，且，求a、b的值． 18. 如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度． 19. 如图，在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求长． 20. 如图，是的直径，点B是延长线上一点，直线与相切于点D，． （1）求的度数； （2）连接，若，求长． 21. 如图，在矩形中，E为上一点，于． （1）求证：∽； （2）若，，，求的长． 22. 请使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： （1）如图1，已知点都是格点，作出的重心（三条边中线的交点）； （2）如图2，点都是格点，在线段上作出点，使与相似． 23. 如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 24. 如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且米，米，求电视塔的高． 25. 如图，在矩形中，，，点P、Q分别为线段上的两个动点，点P从点C出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以每秒个单位的速度向点D运动．将沿着折叠，点C落在点E处，点O是与的交点，设运动时间为． 【观察】 （1）若四边形的面积为6，则t的值为______； 【推理】 （2）当点P在上运动时，求的值； 【探究】 （3）连接，设与重叠部分的面积为S，请你求出S与t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省淮安市淮阴区 九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列每个选项两个图形，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的概念即可作出判断． 本题考查了相似图形的概念：形状相同，大小不同的两个图形是相似图形． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项C中的两个图形相似 故选：C 2. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A. B. 2a=3b C. D. 3a=2b 【答案】B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由得，3a=2b， A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意； B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意； C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 3. 下列线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．，故四条线段不成比例，不符合题意； B．，故四条线段成比例，符合题意； C．，故四条线段不成比例，不符合题意； D．，故四条线段不成比例，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判 4. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400， ∴∠C＝1800－400＝1400， 故选D. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补 5. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出． 连接，由等腰三角形的性质推出，，得到，由圆周角定理推出． 【详解】解：连接， ， ，， ， ， ． 故选：C 6. 若相似△ABC与△DEF相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 1： 【答案】B 【解析】 【分析】由相似△ABC与△DEF相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比． 【详解】相似△ABC与△DEF的相似比为1：3 △ABC与△DEF的面积比为1：9 故答案为B 7. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，， ∴, ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点C作轴于E，先求出，证明，，求出，即可得到，再由点B到点A的平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，得到点C到点D的平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，即可得到点D的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于E， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点B到点A的平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度， ∵， ∴点C到点D的平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形性质与判定，矩形的性质，坐标与图形变化——平移等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知：，，的度数为_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等，由与是对应角，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 由已知等式求出比例，再代入代数式计算，即可求解． 【详解】解：由，得， 则． 故答案为：． 11. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π． 故答案为15π． 12. 已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 【详解】解∶，它们的周长分别为30和15， ∴和的相似比为， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 13. 如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为____ 度． 【答案】55° 【解析】 【分析】连接 利用切线的性质定理，四边形的内角和定理求解，再利用圆周角定理可得：从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 PA、PB分别切⊙O于A、B点， 故答案为： 【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理，切线的性质定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB________． 【答案】∠D=∠C或∠E=∠B或 【解析】 【详解】解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB． 当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB 故答案为：∠D=∠C或∠E=∠B或 15. 如图，在平行四边形中，E是上一点， ，与相交于F，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 证明，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ∵ ∴， ， ， 故答案为： 16. 如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先由辅助圆-直径对直角，确定点在以为直径的上运动，然后作点关于的对称点，得到，从而由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小，连接，交于，交于，则的值最小，为的长，然后作，通过构建直角三角形，由勾股定理求得的长，代入计算即可求解． 【详解】解：正方形的边长为为正方形内一个动点，且， 点在以为直径的右侧半圆上运动，其中圆心为线段的中点， 作点关于的对称点，如图所示： ， 由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小， 连接，交于，交于，如图所示： 则的值最小为的长，即， ， ， 作，垂足为，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、辅助圆-直径对直角、动点最值-点圆模型、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，明确两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知a、b满足，且，求a、b的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用设k法进行计算，即可解答． 本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵ 设，， ， ， 解得：， ，． 18. 如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度． 【答案】CD=12． 【解析】 【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可． 【详解】解： 依题意得 ，又 ， ∴△AEB∽△ADC， ∴，即， 则CD=12． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形． 19. 如图，在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． 【小问2详解】 解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 如图，是的直径，点B是延长线上一点，直线与相切于点D，． （1）求的度数； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） （2）  【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识： （1）连接，由直线与相切于点，得，由，得，所以，由，求得 （2）连接，由，，证明是等边三角形，则，由，，得，则 【小问1详解】 如图所示，连接． 直线与相切于点， ． ． ， ． ， ． ， ． ． ． 【小问2详解】 连接． ，， 是等边三角形． ． ，， ． ． 21. 如图，在矩形中，E为上一点，于． （1）求证：∽； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）7.2． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等． （1）和都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据可得，问题得证； （2）运用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 证明：在矩形ABCD中，，， ， ， ， 又， ， 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， 即， 22. 请使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： （1）如图1，已知点都是格点，作出的重心（三条边中线的交点）； （2）如图2，点都是格点，在线段上作出点，使与相似． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-相似变换、三角形的重心，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线CE，AD交于点G，点G即为所求； （2）根据相似三角形的性质作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 点即为所求． 23. 如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得、，即，可证，再结合即可证明结论； （2）连接，通过证明，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 24. 如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且米，米，求电视塔的高． 【答案】电视塔高为 【解析】 【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形相似比列出方程，通过解方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵ ∴． ∴四边形是矩形，即． ∴． 又 ， ，即 ， ∴ ∴． 答：电视塔的高为． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，能构造相似三角形是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，，点P、Q分别为线段上的两个动点，点P从点C出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以每秒个单位的速度向点D运动．将沿着折叠，点C落在点E处，点O是与的交点，设运动时间为． 【观察】 （1）若四边形的面积为6，则t的值为______； 【推理】 （2）当点P在上运动时，求的值； 【探究】 （3）连接，设与重叠部分的面积为S，请你求出S与t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由题易得，，的面积为3，据此建立方程求解即可； （2）易证点C、P、E、Q四点共圆，可得，从而可得，即可得解； （3）分两种情况：当点E在内部时，则重叠部分为的面积，当点E在外部时，重叠部分为梯形的面积，据此求解即可． 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：（1）由题可知，， 四边形的面积为6， 的面积为3， ， 解得， 故答案为：； （2）由题可知， ， 点C、P、E、Q四点共圆， ， ， ∽， ； （3）当点E落在上时，此时， 当时，在内部， 此时； 当时，如图，设分别与交于点M、N、H， ， ∴， 此时重叠部分为梯形的面积， 由等面积可知， ， ，， ， ， ， ， ； 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $