第三单元《倍数与因数》（讲义）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

该小学数学讲义通过框架图系统构建因数与倍数单元知识体系，按“概念-特征-方法-应用”逻辑梳理六个考点，用表格对比2、3、5倍数特征，思维导图呈现因数与倍数内在联系，清晰呈现重难点分布。 练习设计突出实际应用，如“剪彩带求最大公因数”“铺地砖用最小公倍数”培养应用意识，分层练习题搭配思考过程解析，短除法、列举法指导强化运算能力，助力不同学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

25五上数学高频考点精练《倍数与因数》-北师 考点一：因数与倍数的概念 知识点解析 因数的定义 ：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数。 · 例如：12÷2=6，那么2和6都是12的因数 · 也可以表述为：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数 倍数的定义 ：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数就是除数和商的倍数。 · 例如：12÷2=6，那么12是2和6的倍数 · 也可以表述为：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么c是a和b的倍数 重要特征 ： · 一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身 · 一个数的因数个数是有限的 · 一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数 · 一个数的倍数个数是无限的 典型例题 例题1 ：根据"4×6=24"，下列说法正确的是（ ） A.24 是倍数 B. 4和6是因数 C. 4是24的因数 D. 6是4和24的倍数 解析 ： A错误：不能单独说24是倍数，应该说24是4和6的倍数 B错误：不能单独说4和6是因数，应该说4和6是24的因数 C正确：因为4×6=24，所以4是24的因数 D错误：应该说24是4和6的倍数，不是6是4和24的倍数 答案 ：C 例题2 ：写出36的所有因数。 解析 ： 找一个数的因数，可以用除法从1开始除起，能整除的都是这个数的因数。 36÷1=36，所以1和36是36的因数 36÷2=18，所以2和18是36的因数 36÷3=12，所以3和12是36的因数 36÷4=9，所以4和9是36的因数 36÷6=6，所以6是36的因数 答案 ：36的所有因数是：1、2、3、4、6、9、12、18、36 考点二：2、3、5的倍数特征 知识点解析 2 的倍数特征 ：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数 · 2的倍数也叫偶数 · 不是2的倍数的数叫奇数（个位上是1、3、5、7、9） 3 的倍数特征 ：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数 · 例如：123，因为1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数 4 的倍数特征 ：个位上是0或5的数是5的倍数 同时是2和5的倍数 ：个位上必须是0 同时是2、3、5的倍数 ：个位上是0，且各位数字之和是3的倍数 典型例题 例题1 ：在□里填数，使三位数2□4既是2的倍数，又是3的倍数。 解析 ： 因为个位是4（偶数），所以2□4一定是2的倍数 要使它也是3的倍数，需要各位数字之和是3的倍数 2+□+4=6+□，要使6+□是3的倍数 □可以填0、3、6、9 答案 ：□里可以填0、3、6、9 例题2 ：用5、6、7三个数字组成的三位数中，是3的倍数的有多少个？ 解析 ： 5+6+7=18，18是3的倍数 用5、6、7组成的任何三位数，各位数字之和都是18 所以用5、6、7组成的所有三位数都是3的倍数 可以组成的三位数有：567、576、657、675、756、765 答案 ：6个 考点三：质数与合数 知识点解析 质数（素数） ：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数 · 最小的质数是2 · 2是唯一的偶质数 · 100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 合数 ：一个数除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫合数 · 最小的合数是4 特殊情况 ： · 1既不是质数也不是合数 · 0不讨论质数和合数 典型例题 例题1 ：下列说法正确的是（ ） A. 所有的偶数都是合数 B. 所有的奇数都是质数 B. 1是最小的质数 D. 2是最小的质数 解析 ： A错误：2是偶数但是质数 B错误：9是奇数但是合数 C错误：1既不是质数也不是合数 D正确：2只有1和2两个因数，是最小的质数 答案 ：D 例题2 ：在20以内找出所有的质数。 解析 ： 逐一判断20以内的数： 2：只有1和2两个因数，是质数 3：只有1和3两个因数，是质数 4：有1、2、4三个因数，是合数 5：只有1和5两个因数，是质数 以此类推... 答案 ：20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 考点四：分解质因数 知识点解析 分解质因数 ：把一个合数写成几个质数相乘的形式 · 分解的对象必须是合数 · 分解的结果必须都是质数 · 1不能出现在分解质因数中 分解方法 ： 1. 短除法：用质数依次去除 2. 树状图法：逐步分解 书写格式 ：必须写成连乘的形式，如24=2×2×2×3 典型例题 例题1 ：把60分解质因数。 解析 ： 用短除法分解： 2 6 0 2 3 0 3 1 5 5 5 1 答案 ：60=2×2×3×5 例题2 ：下列分解质因数正确的是（ ） A.25 =3×3×5 B. 45=1×3×3×5 C. 45=9×5 D. 45=1×9×5 解析 ： A正确：3、3、5都是质数 B错误：1不是质数，不能出现在分解质因数中 C错误：9不是质数，是合数 D错误：1和9都不符合要求 答案 ：A 考点五：最大公因数 知识点解析 公因数 ：几个数共同的因数叫做这几个数的公因数 最大公因数 ：几个数的公因数中最大的一个 求法 ： 1. 列举法：分别列出各数的因数，找出公共的因数 2. 分解质因数法：把公有的质因数相乘 特殊情况 ： · 如果两个数是倍数关系，最大公因数是较小的数 · 如果两个数互质，最大公因数是1 典型例题 例题1 ：求18和24的最大公因数。 解析 ： 方法一（列举法）： 的因数：1、2、3、6、9、18 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 公因数：1、2、3、6 最大公因数：6 方法二（分解质因数法）： 18=2×3×3 24=2×2×2×3 最大公因数=2×3=6 答案 ：18和24的最大公因数是6 例题2 ：两根彩带，一根长90厘米，一根长60厘米，要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长多少厘米？ 解析 ： 要剪成同样长的小段且没有剩余，每段的长度必须是90和60的公因数。 要使每段最长，就要求90和60的最大公因数。 90=2×3×3×5 60=2×2×3×5 最大公因数=2×3×5=30 答案 ：每段最长30厘米 【例3】五（4）班学生为庆祝“六一”儿童节，需要用彩带装饰花篮。如果把如图的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共90厘米可以剪成这样的短彩带多少根？ 【答案】30厘米；3根 【分析】把90厘米、60厘米长的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带要最长，就是求90和60的最大公因数。把90、60分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。就是它们每根短彩带最长是多少厘米。再看90里面有几个这样的最大公因数，即是90厘米一共可以剪成这样的短彩带的总根数。 【详解】 60和90的最大公因数是。 （根 答：每根短彩带最长是30厘米，一共90厘米可以剪成这样的短彩带3根。 例4小明有39颗糖果和40块巧克力，要把糖果和巧克力分给若干个小朋友，每人分的糖果和巧克力一样多。结果糖果多了3颗，巧克力少了2块。最多可以分给几个小朋友？每个小朋友分得几颗糖果，几块巧克力？ 【答案】6个；6颗；6块 【分析】根据题意可知，把多的3颗糖减去，把少的2块巧力加上就可以完全分完，并且每个人分的糖和巧克力一样多。恰巧分完就表示小朋友的人数是糖块颗数和巧克力块数的公因数，求最多，再找出最大公因数即可。 【详解】39－3＝36（颗） 40＋2＝42（块） 36＝2×3×2×3 42＝2×3×7 则36和42的最大公因数是：2×3＝6 所以最多可以分给6个小朋友 39÷6＝6（颗）……3（颗） 40÷6＝6（块）……4（块） 答：最多可以分给6个小朋友，每个小朋友分得6颗糖果，6块巧克力。 【点睛】此题重点考查最大公因数，灵活利用最大公因数解决实际问题。 例5把一张长12cm、宽8cm的长方形纸剪成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，这样可以剪多少个？剪出的正方形的边长是多少？（下图中每个小方格表示1平方厘米，先在图中画一画再回答） 【答案】；6个；4厘米 【分析】根据题意知道，要使面积尽可能大，纸没有剩余，也就是求8和12的最大公约数，所裁正方形的个数就是8和12独有的质因数的积；12＝2×2×3，8＝2×2×2，8与12的最大公约数4，由此可以分成边长是4cm的正方形有2×3个。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8与12的最大公约数是：2×2＝4， 则可以分成边长是4cm的正方形，所裁正方形的个数就是8和12独有的质因数的积，即，2×3＝6（个）；答：至少可以裁6个，剪出的正方形的边长是4厘米。 【点睛】解答此题的关键是根据题意找出8与12的最大公约数，再找出8和12独有的质因数的积，由此得出答案。 考点六：最小公倍数 知识点解析 公倍数 ：几个数共同的倍数叫做这几个数的公倍数 最小公倍数 ：几个数的公倍数中最小的一个 求法 ： 1. 列举法：分别列出各数的倍数，找出最小的公倍数 2. 分解质因数法：把所有质因数相乘（公有的取一个，独有的都要） 特殊情况 ： · 如果两个数是倍数关系，最小公倍数是较大的数 · 如果两个数互质，最小公倍数是它们的乘积 典型例题 例题1 ：求12和18的最小公倍数。 解析 ： 方法一（列举法）： 12的倍数：12、24、36、48... 的倍数：18、36、54、72... 最小公倍数：36 方法二（分解质因数法）： 12=2×2×3 18=2×3×3 最小公倍数=2×2×3×3=36 答案 ：12和18的最小公倍数是36 例题2 ：小明每4天去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆。如果他们今天同时去图书馆，下次同时去是几天后？ 解析 ： 下次同时去图书馆的天数是4和6的最小公倍数。 4=2×2 6=2×3 最小公倍数=2×2×3=12 答案 ：下次同时去是12天后 例题3写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 21和36        3和8        52和13        10和15 【答案】21和36的最大公因数是3，最小公倍数是252； 3和8的最大公因数是1，最小公倍数是24； 52和13的最大公因数是13，最小公倍数是52； 10和15的最大公因数是5，最小公倍数是30 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法： 对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个独有质因数的连乘积是最小公倍数； 如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数； 如果两个数为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积，据此解答。 【详解】21和36 21＝3×7； 36＝2×2×3×3； 21和36的最大公因数是3，最小公倍数是：3×7×2×2×3＝252； 3和8 3个8是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是：3×8＝24； 52和13 52和13为倍数关系，最大公因数是13，最小公倍数是52； 10和15 10＝2×5 15＝3×5 10和15的最大公因数是5，最小公倍数是：2×5×3＝30。 例题 4《孙子算经》中有一题：今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归。问：三女何日相会？意思是：一家三个女儿都已出嫁，大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家，请问：三个女儿同一天从娘家走后，至少再过多少天才能在娘家相遇？ 【答案】60天 【分析】根据题意，大女儿是5天回一次娘家；二女儿是4天回一次娘家；三女儿是3天回一次娘家，求三个女儿同一天从娘家走后，至少再过多少天才能在娘家相遇，就是求5、4、3的最小公倍数，根据求最小公倍数的方法：几个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，如果几个数成倍数关系，较大的数为最小公倍数，如果几个数为互质数，最小公数是几个数的乘积；据此解答。 【详解】5、4、3是互质数， 5、4、3的最小公倍数是5×4×3＝60，至少再过60天才能在娘家相遇。 答：至少再过60天才能在娘家相遇。 巩固练习题 考点一：因数与倍数的概念 1. 24的因数有哪些？ 2. 写出50以内7的所有倍数。 3. 一个数的最小因数是（ ），最大因数是（ ）。 4. 在1-20中，既是6的倍数又是8的因数的数是（ ）。 5. 如果a×b=60，且a、b都是自然数，写出所有可能的a、b组合。 考点二：2、3、5的倍数特征 1. 判断下列数中哪些是2的倍数：234、567、890、1357 2. 在□中填数，使4□2是3的倍数：□可以填（ ） 3. 用2、4、5三个数字组成的三位数中，是5的倍数的有（ ）个 4. 三位数3□5既是2的倍数又是3的倍数，□中可以填（ ） 5. 在100-200之间，同时是2、3、5的倍数的数有哪些？ 考点三：质数与合数 1. 在下列数中，哪些是质数，哪些是合数：21、23、29、33、37、39 2. 最小的质数是（ ），最小的合数是（ ） 3. 两个质数的和是20，这两个质数可能是（ ）和（ ） 4. 在30-40之间的质数有（ ） 5. 一个两位数，十位数字是质数，个位数字是合数，且这个两位数本身也是质数，这个数可能是（ ） 考点四：分解质因数 1. 把下列数分解质因数：36、48、75 2. 如果一个数分解质因数后是2×3×5，这个数是（ ） 3. 把84分解质因数，84=（ ） 4. 一个数的质因数只有2和3，且2的指数是2，3的指数是1，这个数是（ ） 5. 比较30和42的质因数分解，它们的公共质因数有（ ） 考点五：最大公因数 1. 求下列各组数的最大公因数： (1)16和24 (2)15和25 (3)14和21 2. 两个数的最大公因数是6，这两个数可能是（ ）和（ ） 3. 用长24厘米、宽18厘米的长方形纸片铺满一个正方形，这个正方形的边长最小是（ ）厘米 4. 有两根绳子，一根长48米，一根长36米，要把它们剪成同样长的小段，每段最长多少米？ 5. 甲数是24，乙数是36，如果甲、乙两数都减去它们的最大公因数，所得的两个新数的最大公因数是（ ） 考点六：最小公倍数 1. 求下列各组数的最小公倍数： (1)6和9 (2)8和12 (3)15和20 2. 两个数的最小公倍数是24，这两个数可能是（ ）和（ ） 3. 在一条环形跑道上，甲每3分钟跑一圈，乙每4分钟跑一圈，他们同时从起点出发，多少分钟后再次在起点相遇？ 4. 有一些苹果，3个3个地数余1个，5个5个地数也余1个，这些苹果至少有（ ）个 5. 用边长是6厘米和8厘米的正方形瓷砖铺地，要铺成一个大正方形且没有剩余，这个大正方形的边长最小是（ ）厘米 详细答案解析 考点一答案 1. 24的因数有哪些？ 知识点 ：因数的概念和求法 思考过程 ：用除法逐一试除，24÷1=24，24÷2=12，24÷3=8，24÷4=6，24÷6=4，24÷8=3，24÷12=2，24÷24=1 答案 ：1、2、3、4、6、8、12、24 总结 ：找因数要有序，避免遗漏和重复 2. 写出50以内7的所有倍数 知识点 ：倍数的概念和求法 思考过程 ：7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28，7×5=35，7×6=42，7×7=49，7×8=56>50 答案 ：7、14、21、28、35、42、49 总结 ：求倍数用乘法，从1倍开始 3一个数的最小因数是（1），最大因数是（它本身） 知识点 ：因数的特征 思考过程 ：任何数都能被1整除，所以1是任何数的因数；任何数都能被自己整除，所以它本身是最大因数 总结 ：掌握因数的基本特征 4在1-20中，既是6的倍数又是8的因数的数是（） 知识点 ：因数和倍数的综合应用 思考过程 ：6的倍数有6、12、18；8的因数有1、2、4、8；没有数既是6的倍数又是8的因数 答案 ：没有这样的数 总结 ：要同时满足两个条件 5如果a×b=60，且a、b都是自然数，写出所有可能的a、b组合 知识点 ：因数的应用 思考过程 ：找60的所有因数对 答案 ：(1,60)、(2,30)、(3,20)、(4,15)、(5,12)、(6,10) 总结 ：系统地找出所有因数对 考点二答案 1. 判断下列数中哪些是2的倍数：234、567、890、1357 知识点 ：2的倍数特征 思考过程 ：看个位数字，偶数是2的倍数 答案 ：234、890是2的倍数 总结 ：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数 2. 在□中填数，使4□2是3的倍数：□可以填（） 知识点 ：3的倍数特征 思考过程 ：4+□+2=6+□，要使6+□是3的倍数，□可以填0、3、6、9 答案 ：0、3、6、9 总结 ：各位数字之和是3的倍数 3. 用2、4、5三个数字组成的三位数中，是5的倍数的有（）个 知识点 ：5的倍数特征 思考过程 ：个位是5的数是5的倍数，有245、425两个 答案 ：2个 总结 ：个位是0或5的数是5的倍数 4. 三位数3□5既是2的倍数又是3的倍数，□中可以填（） 知识点 ：2和3的倍数特征综合 思考过程 ：个位是5，不是偶数，所以不可能是2的倍数 答案 ：无解 总结 ：要同时满足多个条件 5. 在100-200之间，同时是2、3、5的倍数的数有哪些？ 知识点 ：2、3、5的倍数特征综合 思考过程 ：个位是0，各位数字之和是3的倍数 答案 ：120、150、180 总结 ：同时是2、3、5的倍数，个位必须是0 考点三答案 1. 在下列数中，哪些是质数，哪些是合数：21、23、29、33、37、39 知识点 ：质数和合数的判断 思考过程 ：逐一判断因数个数 答案 ：质数：23、29、37；合数：21、33、39 总结 ：只有1和本身两个因数的是质数 2. 最小的质数是（2），最小的合数是（4） 知识点 ：质数和合数的基本概念 答案 ：2、4 总结 ：记住基本概念 3. 两个质数的和是20，这两个质数可能是（）和（） 知识点 ：质数的应用 思考过程 ：枚举质数对：3+17=20，7+13=20 答案 ：3和17，或7和13 总结 ：哥德巴赫猜想的简单应用 4. 在30-40之间的质数有（） 知识点 ：质数的识别 思考过程 ：逐一判断31、37 答案 ：31、37 总结 ：熟记常见质数 5. 一个两位数，十位数字是质数，个位数字是合数，且这个两位数本身也是质数，这个数可能是（） 知识点 ：质数的综合应用 思考过程 ：十位可以是2、3、5、7，个位可以是4、6、8、9，逐一验证 答案 ：29 总结 ：需要验证多个条件 考点四答案 1. 把下列数分解质因数：36、48、75 知识点 ：分解质因数的方法 答案 ：36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3，75=3×5×5 总结 ：用短除法系统分解 2. 如果一个数分解质因数后是2×3×5，这个数是（） 知识点 ：分解质因数的逆运算 答案 ：30 总结 ：直接相乘得结果 3. 把84分解质因数，84=（） 知识点 ：分解质因数 答案 ：84=2×2×3×7 总结 ：按步骤分解 4. 一个数的质因数只有2和3，且2的指数是2，3的指数是1，这个数是（） 知识点 ：分解质因数的应用 答案 ：12（2²×3¹=4×3=12） 总结 ：理解指数的含义 5. 比较30和42的质因数分解，它们的公共质因数有（） 知识点 ：质因数分解的比较 思考过程 ：30=2×3×5，42=2×3×7 答案 ：2和3 总结 ：找出共同的质因数 考点五答案 1. 求下列各组数的最大公因数：(1)16和24 (2)15和25 (3)14和21 知识点 ：最大公因数的求法 答案 ：(1)8 (2)5 (3)7 总结 ：可用分解质因数法或列举法 2. 两个数的最大公因数是6，这两个数可能是（）和（） 知识点 ：最大公因数的应用 答案 ：6和12，或12和18等（答案不唯一） 总结 ：最大公因数是两数的公因数 3. 用长24厘米、宽18厘米的长方形纸片铺满一个正方形，这个正方形的边长最小是（）厘米 知识点 ：最小公倍数的实际应用 思考过程 ：正方形边长是24和18的最小公倍数 答案 ：72厘米 总结 ：铺满问题用最小公倍数 4. 有两根绳子，一根长48米，一根长36米，要把它们剪成同样长的小段，每段最长多少米？ 知识点 ：最大公因数的实际应用 思考过程 ：每段长度是48和36的最大公因数 答案 ：12米 总结 ：剪段问题用最大公因数 5. 甲数是24，乙数是36，如果甲、乙两数都减去它们的最大公因数，所得的两个新数的最大公因数是（） 知识点 ：最大公因数的性质 思考过程 ：24和36的最大公因数是12，新数是12和24，最大公因数是12 答案 ：12 总结 ：理解最大公因数的性质 考点六答案 1. 求下列各组数的最小公倍数：(1)6和9 (2)8和12 (3)15和20 知识点 ：最小公倍数的求法 答案 ：(1)18 (2)24 (3)60 总结 ：用分解质因数法求解 2. 两个数的最小公倍数是24，这两个数可能是（）和（） 知识点 ：最小公倍数的应用 答案 ：8和24，或6和8等（答案不唯一） 总结 ：最小公倍数是两数的公倍数 3. 在一条环形跑道上，甲每3分钟跑一圈，乙每4分钟跑一圈，他们同时从起点出发，多少分钟后再次在起点相遇？ 知识点 ：最小公倍数的实际应用 思考过程 ：相遇时间是3和4的最小公倍数 答案 ：12分钟 总结 ：周期问题用最小公倍数 4. 有一些苹果，3个3个地数余1个，5个5个地数也余1个，这些苹果至少有（）个 知识点 ：最小公倍数的应用 思考过程 ：苹果数减1后是3和5的公倍数，最小公倍数是15，所以至少16个 答案 ：16个 总结 ：余数问题的转化 5. 用边长是6厘米和8厘米的正方形瓷砖铺地，要铺成一个大正方形且没有剩余，这个大正方形的边长最小是（）厘米 知识点 ：最小公倍数的实际应用 思考过程 ：大正方形边长是6和8的最小公倍数 答案 ：24厘米 总结 ：铺砖问题用最小公倍数 单元总结 本单元的核心是理解因数与倍数的关系，掌握各种数的特征，学会求最大公因数和最小公倍数。在解决实际问题时，要注意： 1. 概念理解 ：因数和倍数是相互依存的概念 2. 特征记忆 ：熟记2、3、5的倍数特征 3. 方法掌握 ：学会用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数 4. 应用转化 ：能将实际问题转化为数学问题求解 通过系统复习和练习，相信同学们能够熟练掌握本单元的知识点！ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $