期末复习专题03：倍数与因数（思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

该小学数学期末复习讲义以思维导图为核心构建倍数与因数知识体系，通过考点清单系统梳理倍数与因数的认识、2/3/5倍数特征、奇偶数、质数合数及综合应用五大模块，用层级框架呈现概念定义、特征规律与内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“易错归纳+分层典例”设计，如通过“找出100以内既是3的倍数又是偶数的质数”等辨析题强化推理意识，结合“分组问题”等实际案例培养模型意识。每个考点配易错点提醒与解题模板，助力不同层次学生掌握，为教师精准教学提供支撑。

期末复习专题03：倍数与因数 思维导图 考点清单 考点一、倍数与因数的认识 1.核心定义：在非 0 自然数范围内，若 a \times b = c（a、b、c 均为非 0 自然数），则称 c 是 a 和 b 的倍数，a 和 b 是 c 的因数。倍数与因数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或因数。 2.研究范围：仅针对非 0 自然数（1, 2, 3, ...），不包括 0 和小数、分数。 3.求一个数的倍数：用这个数依次乘 1、2、3、...，所得的积都是它的倍数。一个数的倍数有无数个，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 4.求一个数的因数：从 1 开始，成对找出能整除这个数的所有非 0 自然数，直到除数和商重复为止。一个数的因数个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身。 考点二、2、3、5 的倍数特征 1.2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的非 0 自然数。 2.5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的非 0 自然数。 3.3 的倍数特征：一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数（与个位数字无关）。 4.特殊倍数组合： 同时是 2 和 5 的倍数：个位上必须是 0； 同时是 2、3 和 5 的倍数：个位上是 0，且各位数字之和是 3 的倍数。 考点三、奇数与偶数的认识 1.核心定义： 偶数：能被 2 整除的非 0 自然数（即 2 的倍数），包括 0（教材中规定 0 是偶数）； 奇数：不能被 2 整除的非 0 自然数。 2.奇偶性判断：个位上是 0、2、4、6、8 的数是偶数，个位上是 1、3、5、7、9 的数是奇数。 3.简单奇偶性运算规律： 偶数 + 偶数 = 偶数；奇数 + 奇数 = 偶数；偶数 + 奇数 = 奇数； 偶数 × 偶数 = 偶数；奇数 × 奇数 = 奇数；偶数 × 奇数 = 偶数。 考点四、质数与合数的认识 1.核心定义： 质数（素数）：一个非 0 自然数，只有 1 和它本身两个因数； 合数：一个非 0 自然数，除了 1 和它本身，还有其他因数； 特殊说明：1 既不是质数也不是合数（只有 1 个因数）。 2.100 以内的质数（需熟记）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（共 25 个）。 3.质数与合数的判断：从最小的质数 2 开始，依次用质数试除，若能被除 1 和本身以外的数整除，则为合数；反之则为质数。 考点五、倍数与因数的综合应用 1.数的分类与辨析：根据倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数的特征，对给定的数（如 1~100 内的数）进行分类或判断。 2.找符合条件的数：根据题目要求（如 “找出 100 以内既是 3 的倍数又是偶数的质数”“找出既是 5 的倍数又是合数的两位数”），筛选出对应数字。 3.解决简单实际问题：如 “把 48 名学生分成若干小组，每组人数相同且不少于 2 人，不多于 10 人，有几种分法？”（利用因数解决）；“学校组织植树，要求每行棵数是偶数且是 5 的倍数，最少种多少棵？”（利用 2 和 5 的倍数特征解决）。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.混淆 “倍数” 与 “因数” 的依存关系 错误表现：单独说 “12 是倍数”“3 是因数”，忽略两者相互依存的关系。 正确表述：应说 “12 是 3 的倍数”“3 是 12 的因数”，必须指明谁是谁的倍数 / 因数。 2.扩大倍数与因数的研究范围 错误表现：认为 0 或小数、分数也有倍数和因数，如说 “0 是 5 的倍数”“2.4 是 1.2 的倍数”。 正确范围：倍数与因数仅针对非 0 自然数，0、小数、分数不在研究范围内。 3.误解 “质数”“合数” 的定义 错误表现： 认为 “所有偶数都是合数”（忽略 2 是偶数但却是质数）； 认为 “所有奇数都是质数”（忽略 9、15、21 等奇数是合数）； 把 1 归为质数或合数（1 既不是质数也不是合数）。 正确判断：质数只有 2 个因数（1 和本身），合数至少有 3 个因数，1 只有 1 个因数，不属于两者。 4.混淆 “奇数”“偶数” 与 “质数”“合数” 的概念 错误表现：认为 “质数都是奇数”“合数都是偶数”。 正确区分：奇数 / 偶数按能否被 2 整除划分，质数 / 合数按因数个数划分，两者无必然关联（如 2 是质数也是偶数，9 是合数也是奇数）。 5.误解 3 的倍数特征 错误表现：认为 “个位上是 3、6、9 的数就是 3 的倍数”（如误判 19 是 3 的倍数，忽略 1+9=10 不是 3 的倍数）。 正确判断：3 的倍数与个位数字无关，需计算各位数字之和是否为 3 的倍数。 二、操作类易错点 1.求一个数的因数时漏数或多数 错误表现： 求 18 的因数时，漏写 1 或 18，或重复写 6； 按顺序找因数时跳跃式列举，导致遗漏（如找 24 的因数时，只写 2、3、4、6，漏写 8、12）。 正确方法：从 1 开始成对列举（1 和 24、2 和 12、3 和 8、4 和 6），直到除数大于商，确保不重复、不遗漏。 2.求一个数的倍数时混淆 “最小倍数” 错误表现：认为一个数的最小倍数是它的倍数中最小的非本身数（如认为 6 的最小倍数是 12，忽略 6 的最小倍数是它本身）。 正确结论：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 3.判断 2、3、5 的倍数时出错 错误表现： 判断 3 的倍数时只看个位（如误判 23 是 3 的倍数）； 判断同时是 2 和 5 的倍数时，忽略个位必须是 0（如误判 25 是 2 和 5 的公倍数）。 正确方法：严格按照特征判断，同时是 2 和 5 的倍数需满足 “个位是 0”，3 的倍数需计算各位数字之和。 4.100 以内质数记忆错误 错误表现：遗漏关键质数（如忘记 2 是唯一的偶质数）；把合数误记为质数（如认为 15、27 是质数）。 正确做法：分类记忆（2 是唯一偶质数，个位是 5 的质数只有 5），结合口诀或列表反复熟记。 三、综合应用类易错点 1.筛选符合条件的数时考虑不全 错误表现：如 “找出 1~30 中既是 3 的倍数又是质数的数”，漏找 3（误把 3 排除，认为质数必须是两位数）；或 “找出既是偶数又是合数的一位数”，漏找 4、6、8（误把 2 算进去）。 正确方法：先明确条件（如 “3 的倍数”“质数”“一位数”），逐一排查，不遗漏特殊数字（如 3、2 等）。 2.解决实际问题时混淆条件 错误表现：如 “要求每组人数是质数且是 5 的倍数，每组至少多少人”，误答 10（忽略 5 是质数且是 5 的倍数，10 是合数）。 正确做法：先拆解题目条件（如 “质数”“5 的倍数”），结合概念筛选，再得出结果。 4.奇偶性运算规律应用错误 错误表现：计算 “奇数 + 奇数” 时误判为奇数，“偶数 × 奇数” 时误判为奇数。 正确记忆：可通过举例验证（如 3+5=8（偶数），4×3=12（偶数）），熟练掌握运算规律。 典例精析 典例一：因数和倍数的认识 【例题1】在除法算式18÷3＝6中，下面说法错误的是（    ）。 A．6是18的因数 B．18是倍数 C．18是3的倍数 【例题2】A÷5＝B（A、B均为非0自然数），那么A是B的( )，B是A的( )。 【例题3】2025年中秋节期间，糕点铺推出“深港月韵”主题月饼礼盒，需将90块定制月饼分装至不同规格的礼盒中。以下哪种礼盒规格无法正好装完所有月饼？（    ） A．双喜临门款（每盒装2块） B．三阳开泰款（每盒装3块） C．四季平安款（每盒装4块） D．五福临门款（每盒装5块） 典例二：找一个数的倍数及倍数的特征 【例题1】50以内6的全部倍数：( )。 【例题2】妈妈买了相同质量（整千克）的柑橘和梨，柑橘每千克5元，梨每千克3元。妈妈可能花了（    ）元。 A．30 B．40 C．45 D．无法确定 【例题3】在10~20的数中，7的倍数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 典例三：根据倍的特征解决问题 【例题1】耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是( )岁。 【例题2】商店运来36瓶饮料，如果每6瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【例题3】五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 典例四：2、3、5倍数的特征 【例题1】从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是5的倍数的三位数，共有( )种不同的组法。 【例题2】在2，3和5的倍数中，最大的三位数是( )，最小的两位数是( )。 【例题3】同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是( )。 典例五：奇数和偶数的认识 【例题1】俗语中有句话是“管它三七二十一”，从数学的角度看“三”和“七”可以看作是“二十一”的（    ）。 A．奇数 B．倍数 C．因数 D．偶数 【例题2】学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是( )厘米，最长的是( )厘米。 【例题3】如果n是偶数，那么n＋1的结果一定是奇数。( ) 典例六：运算性质（奇数和偶数） 【例题1】用“奇数”或“偶数”填空。 奇数＋偶数＝( )        奇数×偶数＝( ) 【例题2】偶数的和是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．无法判断 【例题3】笑笑准备到文具店买一些文具，已知钢笔每支8元，日记本每本4元，文具盒每个10元，她买了一些钢笔、日记本和文具盒，付给营业员100元，营业员找给笑笑23元。你能判断找回的钱对不对吗？为什么？ 典例七：9的倍数的特征 【例题1】下面哪个选项不是9的倍数？（    ） A．9 B．39 C．99 D．72 【例题2】在下面的数中，圈出9的倍数。 【例题3】．在中，□里填数字( )才能使这个数是9的倍数。 典例八：找一个数的因数及因数的特征 【例题1】把一个数的所有因数从小到大排列，得到1，2，□，5，6，10，15，□，那么两个方框里的数依次是( )和( )。 【例题2】用42个边长是1厘米的小正方形拼长方形，有（    ）种不同的拼法。 A．4 B．5 C．7 D．8 【例题3】把48块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 典例九：根据因数的特征解决问题 【例题1】把40块月饼分装在盒子里，每个盒子装的月饼不少于4块且同样多，有哪几种装法？（盒子个数大于1） 【例题2】小明参加了学校的校园活动，在烹饪课上，参加做月饼的同学做了24个月饼，把这些月饼装在不同的盒子里，每个盒子装同样多（至少装2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 【例题3】正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 典例十：因数和倍数的综合应用 【例题1】一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【例题2】一个数即是8的倍数，又是32的因数，这样的数有（    ）个。 A．2个 B．3个 C．4个 【例题3】一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    典例十一：质数和合数的认识 【例题1】两个质数相乘，它们的积一定是（    ）。 A．质数 B．奇数 C．偶数 D．合数 【例题2】乐乐想在下边的计数器上拨3颗算珠表示一个数，这个数（    ）。 A．一定是质数 B．一定是3的倍数 C．一定不是5的倍数 D．一定是奇数 【例题3】有一个四位数，它的个位上是最大的一位质数( )，百位上是最小的自然数( )，十位上是最小的合数( )，千位上的数既是偶数又是质数( )，这个四位数是( )。 典例十二：质数和合数的综合运用 【例题1】星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【例题2】果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 【例题3】广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 典例十三：质因数的含义 【例题1】在42＝2×3×7中，2，3，7是42的( )数。 【例题2】因为30＝5×6，所以5和6都是30的质因数。( ) 【例题3】甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质因数 D．无法确定 典例十四：分解质因数 【例题1】三个自然数的乘积是100，则这三个自然数的和最小是( )。 【例题2】互为反序数的两个自然数的积是92565，这两个互为反序数的自然数的和是( )。（注：把一个数的数码倒过来写，所得的新数叫做原数的反序数，如123的反序数为321） 【例题3】用短除法将下面各数分解质因数。 34       60        84 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题03：倍数与因数 思维导图 考点清单 考点一、倍数与因数的认识 1.核心定义：在非 0 自然数范围内，若 a \times b = c（a、b、c 均为非 0 自然数），则称 c 是 a 和 b 的倍数，a 和 b 是 c 的因数。倍数与因数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或因数。 2.研究范围：仅针对非 0 自然数（1, 2, 3, ...），不包括 0 和小数、分数。 3.求一个数的倍数：用这个数依次乘 1、2、3、...，所得的积都是它的倍数。一个数的倍数有无数个，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 4.求一个数的因数：从 1 开始，成对找出能整除这个数的所有非 0 自然数，直到除数和商重复为止。一个数的因数个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身。 考点二、2、3、5 的倍数特征 1.2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的非 0 自然数。 2.5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的非 0 自然数。 3.3 的倍数特征：一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数（与个位数字无关）。 4.特殊倍数组合： 同时是 2 和 5 的倍数：个位上必须是 0； 同时是 2、3 和 5 的倍数：个位上是 0，且各位数字之和是 3 的倍数。 考点三、奇数与偶数的认识 1.核心定义： 偶数：能被 2 整除的非 0 自然数（即 2 的倍数），包括 0（教材中规定 0 是偶数）； 奇数：不能被 2 整除的非 0 自然数。 2.奇偶性判断：个位上是 0、2、4、6、8 的数是偶数，个位上是 1、3、5、7、9 的数是奇数。 3.简单奇偶性运算规律： 偶数 + 偶数 = 偶数；奇数 + 奇数 = 偶数；偶数 + 奇数 = 奇数； 偶数 × 偶数 = 偶数；奇数 × 奇数 = 奇数；偶数 × 奇数 = 偶数。 考点四、质数与合数的认识 1.核心定义： 质数（素数）：一个非 0 自然数，只有 1 和它本身两个因数； 合数：一个非 0 自然数，除了 1 和它本身，还有其他因数； 特殊说明：1 既不是质数也不是合数（只有 1 个因数）。 2.100 以内的质数（需熟记）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（共 25 个）。 3.质数与合数的判断：从最小的质数 2 开始，依次用质数试除，若能被除 1 和本身以外的数整除，则为合数；反之则为质数。 考点五、倍数与因数的综合应用 1.数的分类与辨析：根据倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数的特征，对给定的数（如 1~100 内的数）进行分类或判断。 2.找符合条件的数：根据题目要求（如 “找出 100 以内既是 3 的倍数又是偶数的质数”“找出既是 5 的倍数又是合数的两位数”），筛选出对应数字。 3.解决简单实际问题：如 “把 48 名学生分成若干小组，每组人数相同且不少于 2 人，不多于 10 人，有几种分法？”（利用因数解决）；“学校组织植树，要求每行棵数是偶数且是 5 的倍数，最少种多少棵？”（利用 2 和 5 的倍数特征解决）。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.混淆 “倍数” 与 “因数” 的依存关系 错误表现：单独说 “12 是倍数”“3 是因数”，忽略两者相互依存的关系。 正确表述：应说 “12 是 3 的倍数”“3 是 12 的因数”，必须指明谁是谁的倍数 / 因数。 2.扩大倍数与因数的研究范围 错误表现：认为 0 或小数、分数也有倍数和因数，如说 “0 是 5 的倍数”“2.4 是 1.2 的倍数”。 正确范围：倍数与因数仅针对非 0 自然数，0、小数、分数不在研究范围内。 3.误解 “质数”“合数” 的定义 错误表现： 认为 “所有偶数都是合数”（忽略 2 是偶数但却是质数）； 认为 “所有奇数都是质数”（忽略 9、15、21 等奇数是合数）； 把 1 归为质数或合数（1 既不是质数也不是合数）。 正确判断：质数只有 2 个因数（1 和本身），合数至少有 3 个因数，1 只有 1 个因数，不属于两者。 4.混淆 “奇数”“偶数” 与 “质数”“合数” 的概念 错误表现：认为 “质数都是奇数”“合数都是偶数”。 正确区分：奇数 / 偶数按能否被 2 整除划分，质数 / 合数按因数个数划分，两者无必然关联（如 2 是质数也是偶数，9 是合数也是奇数）。 5.误解 3 的倍数特征 错误表现：认为 “个位上是 3、6、9 的数就是 3 的倍数”（如误判 19 是 3 的倍数，忽略 1+9=10 不是 3 的倍数）。 正确判断：3 的倍数与个位数字无关，需计算各位数字之和是否为 3 的倍数。 二、操作类易错点 1.求一个数的因数时漏数或多数 错误表现： 求 18 的因数时，漏写 1 或 18，或重复写 6； 按顺序找因数时跳跃式列举，导致遗漏（如找 24 的因数时，只写 2、3、4、6，漏写 8、12）。 正确方法：从 1 开始成对列举（1 和 24、2 和 12、3 和 8、4 和 6），直到除数大于商，确保不重复、不遗漏。 2.求一个数的倍数时混淆 “最小倍数” 错误表现：认为一个数的最小倍数是它的倍数中最小的非本身数（如认为 6 的最小倍数是 12，忽略 6 的最小倍数是它本身）。 正确结论：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 3.判断 2、3、5 的倍数时出错 错误表现： 判断 3 的倍数时只看个位（如误判 23 是 3 的倍数）； 判断同时是 2 和 5 的倍数时，忽略个位必须是 0（如误判 25 是 2 和 5 的公倍数）。 正确方法：严格按照特征判断，同时是 2 和 5 的倍数需满足 “个位是 0”，3 的倍数需计算各位数字之和。 4.100 以内质数记忆错误 错误表现：遗漏关键质数（如忘记 2 是唯一的偶质数）；把合数误记为质数（如认为 15、27 是质数）。 正确做法：分类记忆（2 是唯一偶质数，个位是 5 的质数只有 5），结合口诀或列表反复熟记。 三、综合应用类易错点 1.筛选符合条件的数时考虑不全 错误表现：如 “找出 1~30 中既是 3 的倍数又是质数的数”，漏找 3（误把 3 排除，认为质数必须是两位数）；或 “找出既是偶数又是合数的一位数”，漏找 4、6、8（误把 2 算进去）。 正确方法：先明确条件（如 “3 的倍数”“质数”“一位数”），逐一排查，不遗漏特殊数字（如 3、2 等）。 2.解决实际问题时混淆条件 错误表现：如 “要求每组人数是质数且是 5 的倍数，每组至少多少人”，误答 10（忽略 5 是质数且是 5 的倍数，10 是合数）。 正确做法：先拆解题目条件（如 “质数”“5 的倍数”），结合概念筛选，再得出结果。 4.奇偶性运算规律应用错误 错误表现：计算 “奇数 + 奇数” 时误判为奇数，“偶数 × 奇数” 时误判为奇数。 正确记忆：可通过举例验证（如 3+5=8（偶数），4×3=12（偶数）），熟练掌握运算规律。 典例精析 典例一：因数和倍数的认识 【例题1】在除法算式18÷3＝6中，下面说法错误的是（    ）。 A．6是18的因数 B．18是倍数 C．18是3的倍数 【答案】B 【分析】因数和倍数：如果a÷b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么b、c是a的因数，a是b、c的倍数；如：36÷4＝9，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此解答。 【详解】根据18÷3＝6可知：18是3和6的倍数，3和6是18的因数；所以“6是18的因数”和“18是3的倍数”说法正确，“18是倍数”的说法错误。 故答案为：B 【例题2】A÷5＝B（A、B均为非0自然数），那么A是B的( )，B是A的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】在整数除法中，被除数和除数是非0自然数，同时商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，被除数也是商的倍数，除数是被除数的因数，商也是被除数的因数。因数和倍数的概念互相依存，不能单独存在，据此解答即可。 【详解】由分析可得：在算式A÷5＝B（A、B均为非0自然数）中，被除数是A，除数是5，商是B，则A是B的倍数，B是A的因数。 A÷5＝B（A、B均为非0自然数），那么A是B的倍数，B是A的因数。 【例题3】2025年中秋节期间，糕点铺推出“深港月韵”主题月饼礼盒，需将90块定制月饼分装至不同规格的礼盒中。以下哪种礼盒规格无法正好装完所有月饼？（    ） A．双喜临门款（每盒装2块） B．三阳开泰款（每盒装3块） C．四季平安款（每盒装4块） D．五福临门款（每盒装5块） 【答案】C 【分析】找到90的因数，每盒装的块数恰好为90的因数时，则礼盒规格正好装完所有月饼；若每盒装的块数不是90的因数时，则礼盒规格无法正好装完所有月饼。 【详解】90＝1×90＝2×45＝3×30＝5×18＝6×15＝9×10； A．90÷2＝45（盒），即90块月饼刚好能装45盒； B．90÷3＝30（盒），即90块月饼刚好能装30盒； C．90÷4＝22（盒）……2（块），即这种礼盒规格无法正好装完所有月饼； D．90÷5＝18（盒），即90块月饼刚好能装18盒。 故答案为：C 典例二：找一个数的倍数及倍数的特征 【例题1】50以内6的全部倍数：( )。 【答案】6、12、18、24、30、36、42、48 【分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1、2、3、4……从中找出符合要求的倍数，即可解答。 【详解】6×1＝6 6×2＝12 6×3＝18 6×4＝24 6×5＝30 6×6＝36 6×7＝42 6×8＝48 6×9＝54（54＞50，不符要求） 所以50以内6的全部倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 【例题2】妈妈买了相同质量（整千克）的柑橘和梨，柑橘每千克5元，梨每千克3元。妈妈可能花了（    ）元。 A．30 B．40 C．45 D．无法确定 【答案】B 【分析】因为买的柑橘和梨质量一样，那么每买1千克柑橘和1千克梨，总共花费就是5＋3＝8（元）。所以不管买多少千克，总花费一定是8元的倍数。逐项分析每个数是否是8的倍数即可。 【详解】A．30，我们用30除以8，30÷8＝3……6，这说明30不能被8整除，所以30不是8的倍数，不符合妈妈可能花的钱数； B．40，40÷8＝5，没有余数，这就意味着40能被8整除，所以40是8的倍数，符合妈妈可能花的钱数； C．45，45÷8＝5……5，45除以8有余数，说明45不能被8整除，不是8的倍数，不符合妈妈可能花的钱数。 故答案为：B 【例题3】在10~20的数中，7的倍数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用乘法算式，先找出7的倍数，再找出符合在10到20之间的数即可解答。 【详解】7的倍数有：7，14，21，28，35，… 满足在10到20之间的数有：14，因此在10到20之间的数中，7的倍数有1个。 故答案为：A 典例三：根据倍的特征解决问题 【例题1】耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是( )岁。 【答案】64 【分析】由题意可知：奶奶的年龄在60~70之间，且是8的倍数。列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答即可。 【详解】8×7＝56，8×8＝64，8×9＝72，其中60＜64＜70，所以奶奶今年64岁。 【点睛】此题考查了找一个数的倍数的方法。 【例题2】商店运来36瓶饮料，如果每6瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】能；36是6的倍数 【分析】根据题意，求如果每6瓶装一箱，能不能正好装完，就看36能不能被6整除，即看36是不是6的倍数，据此解答。 【详解】36÷6＝6（箱） 答：36是6的倍数，则能正好装完，能装6箱。 【点睛】本题考查倍数的应用。根据倍数的意义即可解答。 【例题3】五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 【答案】47名 【分析】根据题意可知，这个班的学生人数在40~50人之间，而这个班的学生比40~50人之间的8的倍数少1，根据求一个数的倍数方法解答。 【详解】在40－50人之间8的倍数是48， 48－1＝47（人） 答：五（1）班有47名学生。 【点睛】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法及应用。 典例四：2、3、5倍数的特征 【例题1】从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是5的倍数的三位数，共有( )种不同的组法。 【答案】6 【分析】5的倍数特征是数的个位是0或5；3的倍数特征是数的各位数字之和是3的倍数。首先列出所有可能的三数字组合：（0，1，4）、（0，1，5）、（0，4，5）、（1，4，5）。其中（0，1，4）和（1，4，5）的数字和分别为5和10，均不是3的倍数，因此排除。对于（0，1，5）（数字和为6）和（0，4，5）（数字和为9），分别考虑个位为0或5的情况，并确保百位不为0，从而得到所有满足条件的三位数。 【详解】根据分析，考虑数字组合0，1，5，因为1＋5＝6，6是3的倍数，且个位是0或5的三位数有：105、150、510；考虑数字组合0，4，5，因为4＋5＝9，9是3的倍数，且个位是0或5的组合有：405、450、540。 所以一共有6种不同的组法。 【例题2】在2，3和5的倍数中，最大的三位数是( )，最小的两位数是( )。 【答案】 990 30 【分析】同时是2、3、5的倍数的数需满足：个位为0（因为2和5的最小公倍数是10，所以同时是2和5的倍数个位一定是0），且各位数字之和是3的倍数。求最大三位数，百位和十位要尽可能大；求最小两位数，个位为0，十位要尽可能小；由此解答即可。 【详解】求最大三位数：百位和十位要尽可能大，百位、十位都取最大值9，个位为0，此时这个数是990 各位数字之和为9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以满足同时是2、3、5的倍数，所以最大三位数为990。 求最小两位数：个位为0，十位要尽可能小，十位最小取3，此时这个数是30，各位数字之和为3＋0＝3，3是3的倍数，所以满足同时是2、3、5的倍数，所以最小两位数为30。 因此，在2，3和5的倍数中，最大的三位数是990，最小的两位数是30。 【例题3】同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是( )。 【答案】 990 120 【分析】依据2、3、5的倍数特征：个位为0且各位数字和是3的倍数。据此作答。 【详解】同时是2、3、5的倍数的最大三位数，个位是0，要使三位数最大，百位取9，十位尽可能大，因为9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以十位取9。因此，最大三位数是990。 同时是2、3、5的倍数的最小三位数，个位是0，要使三位数最小，百位取1，十位尽可能小，因为1＋2＋0＝3，3是3的倍数，所以十位取2。因此，最小三位数是120。 综上，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是990，最小三位数是120。 典例五：奇数和偶数的认识 【例题1】俗语中有句话是“管它三七二十一”，从数学的角度看“三”和“七”可以看作是“二十一”的（    ）。 A．奇数 B．倍数 C．因数 D．偶数 【答案】C 【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为 0 的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；三七二十一对应算式“3×7＝21”，据此分析。 【详解】A．整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，奇数是一个数自身的特点，并不表示两个数的相互关系； B．如果两个整数相乘等于另一个整数，那么这两个数都是后者的因数，后者是前两个数的倍数，应该说“二十一”是“三”和“七”的倍数； C．“三”和“七”可以看作是“二十一”的因数； D．整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，偶数是一个数自身的特点，并不表示两个数的相互关系。 故答案为：C 【例题2】学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是( )厘米，最长的是( )厘米。 【答案】 13 17 【分析】根据连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2；用这三个连续奇数的和除以3，求出平均数，即是中间的奇数，再用中间的奇数分别减2、加2，求出这三个奇数中最小和最大的奇数，据此解答。 【详解】中间的奇数：45÷3＝15（厘米） 最小的奇数：15－2＝13（厘米） 最大的奇数：15＋2＝17（厘米） 学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是13厘米，最长的是17厘米。 【例题3】如果n是偶数，那么n＋1的结果一定是奇数。( ) 【答案】√ 【分析】根据偶数的定义，n是偶数说明n是能被2整除的整数，则n＋1就是在偶数的基础上加1，奇数是不能被2整除的整数。可以举例说明，进行判断。 【详解】例如：n是偶数2，n＋1是3，3是奇数；n是6，n＋1是7，7是奇数；n是32，n＋1是33，33是奇数，以此类推，n＋1显然不能被2整除，因此如果n是偶数，那么n＋1的结果一定是奇数。 故答案为：√ 典例六：运算性质（奇数和偶数） 【例题1】用“奇数”或“偶数”填空。 奇数＋偶数＝( )        奇数×偶数＝( ) 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据奇偶数的运算性质可知，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，据此解答。 【详解】奇数＋偶数，例如：1＋2＝3，3是奇数；5＋4＝9，9是奇数；则奇数＋偶数＝奇数； 奇数×偶数，例如：1×2＝2，2是偶数；3×4＝12，12是偶数；则奇数×偶数＝偶数。 【例题2】偶数的和是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．无法判断 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。偶数＋偶数＝偶数，据此分析。 【详解】偶数＋偶数＝偶数，19864是偶数，偶数的和是偶数。 故答案为：B 【例题3】笑笑准备到文具店买一些文具，已知钢笔每支8元，日记本每本4元，文具盒每个10元，她买了一些钢笔、日记本和文具盒，付给营业员100元，营业员找给笑笑23元。你能判断找回的钱对不对吗？为什么？ 【答案】 不对；因为找回的钱数应该是偶数。 【分析】钢笔每支8元（偶数）、日记本每本4元（偶数）、文具盒每个10元（偶数）。无论购买多少数量，“偶数×数量”的结果都是偶数，因此总花费是多个偶数相加，结果仍为偶数。笑笑付了100元（偶数），根据 “找回的钱＝付出的钱－总花费”，偶数－偶数＝偶数，而营业员找回23元（奇数），所以找回的钱不对。 【详解】钢笔、日记本、文具盒的单价均为偶数，无论购买数量多少，总花费是偶数。笑笑付了100元（偶数），偶数－偶数＝偶数，而找回的23元是奇数，因此找回的钱不对。 答：找回的钱数不对，因为找回的钱数应该是偶数。 典例七：9的倍数的特征 【例题1】下面哪个选项不是9的倍数？（    ） A．9 B．39 C．99 D．72 【答案】B 【分析】如果一个数的各个数位上的数字相加得到的和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。 【详解】A．9是9的倍数； B．3＋9＝12，39不是9的倍数； C．9＋9＝18，99是9的倍数； D．7＋2＝9，72是9的倍数。 39不是9的倍数。 故答案为：B 【例题2】在下面的数中，圈出9的倍数。 【答案】见详解 【分析】当一个数的各位数字之和是9的倍数则这个数是9的倍数，据此即可判定。 【详解】1＋0＋9＝10，不是9的倍数，则109不是9的倍数； 1＋4＋5＝10，不是9的倍数，则145不是9的倍数； 3＋6＋9＝18，是9的倍数，则369是9的倍数； 2＋9＋0＝11， 不是9的倍数，则290不是9的倍数； 8＋1＝9， 是9的倍数，则81是9的倍数； 9＋9＝18， 是9的倍数，则99是9的倍数。 即369，81，99是9的倍数。 作图如下： 【例题3】．在中，□里填数字( )才能使这个数是9的倍数。 【答案】3 【分析】9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。先计算出2019个2是多少，再除以9，余数与9相差几，□里就填几。 【详解】2×2019＝4038 4038÷9＝448……6 9－6＝3 □里填数字3才能使这个数是9的倍数。 典例八：找一个数的因数及因数的特征 【例题1】把一个数的所有因数从小到大排列，得到1，2，□，5，6，10，15，□，那么两个方框里的数依次是( )和( )。 【答案】 3 30 【分析】依据因数“成对出现、最小为1、最大为自身”的性质，由已知因数1、2、5、6、10、15推导，成对因数相乘（1×30、2×15、5×6等）均得30，故原数为30。 【详解】1×30＝30，2×15＝30，5×6＝30，10×3＝30，可确定这个数是30。30 的完整因数序列为 1、2、3、5、6、10、15、30，因此两个方框依次填3和30。 【点睛】抓住 “因数成对性” 和 “最大因数＝原数”，先通过已知因数反向推导原数，再完整罗列因数即可补全空缺。 【例题2】用42个边长是1厘米的小正方形拼长方形，有（    ）种不同的拼法。 A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用小正方形拼长方形时，长方形的面积等于小正方形的总面积，即42平方厘米，因此只需找出42的所有因数对（长和宽），每一对对应一种拼法。 【详解】42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 长42厘米，宽1厘米：42×1＝42（平方厘米） 长21厘米，宽2厘米：21×2＝42（平方厘米） 长14厘米，宽3厘米：14×3＝42（平方厘米） 长7厘米，宽6厘米：7×6＝42（平方厘米） 有4种不同的拼法。 故答案为：A 【例题3】把48块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】10种；见详解 【分析】要使每个盒子装得同样多，说明装的块数是48的因数。写出48的所有因数，每个因数就是一种装法，有几个因数就有几种装法。再用48除以每个因数，就是每种装法需要的盒子数量。 【详解】48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 48有10个因数，所以有10种装法。 第1种：48÷1＝48（个），每盒装1个，需要48个盒子。 第2种：48÷2＝24（个），每盒装2个，需要24个盒子。 第3种：48÷3＝16（个），每盒装3个，需要16个盒子。 第4种：48÷4＝12（个），每盒装4个，需要12个盒子。 第5种：48÷6＝8（个），每盒装6个，需要8个盒子。 第6种：48÷8＝6（个），每盒装8个，需要6个盒子。 第7种：48÷12＝4（个），每盒装12个，需要4个盒子。 第8种：48÷16＝3（个），每盒装16个，需要3个盒子。 第9种：48÷24＝2（个），每盒装24个，需要2个盒子。 第10种：48÷48＝1（个），每盒装48个，需要1个盒子。 典例九：根据因数的特征解决问题 【例题1】把40块月饼分装在盒子里，每个盒子装的月饼不少于4块且同样多，有哪几种装法？（盒子个数大于1） 【答案】共有5种装法，2盒各20块，4盒各10块，5盒各8块，8盒各5块，10盒各4块。 【分析】每个盒子装的月饼数应是40的因数，根据题意找到40的因数（大于等于4），再用40除以每盒的月饼数得到盒数，据此解答。 【详解】40＝1×40，40＝2×20，40＝4×10，40＝5×8，所以40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40。根据题意每个盒子可以装4块、5块、8块、10块、20块月饼。 40÷4＝10（盒），40÷5＝8（盒），40÷8＝5（盒），40÷10＝4（盒），40÷20＝2（盒）。 所以40块月饼可以装2盒各20块，4盒各10块，5盒各8块，8盒各5块，10盒各4块。 答：共有5种装法，2盒各20块，4盒各10块，5盒各8块，8盒各5块，10盒各4块。 【例题2】小明参加了学校的校园活动，在烹饪课上，参加做月饼的同学做了24个月饼，把这些月饼装在不同的盒子里，每个盒子装同样多（至少装2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】6种装法；每盒2个，需12盒；每盒3个，需8盒；每盒4个，需6盒；每盒6个，需4盒；每盒8个，需3盒；每盒12个，需2盒 【分析】先找出24的因数，再排除不符合“至少装2个”的情况，最后根据因数对确定装法的数量和每种装法的盒子数。 【详解】24=124=212=38=46 根据题意，每个盒子至少装2个，排除24=124，剩余的3组因数对可以有6种装法，分别为：每盒2个，需12盒；每盒3个，需8盒；每盒4个，需6盒；每盒6个，需4盒；每盒8个，需3盒；每盒12个，需2盒。 答：有6种装法；每盒2个，需12盒；每盒3个，需8盒；每盒4个，需6盒；每盒6个，需4盒；每盒8个，需3盒；每盒12个，需2盒。 【例题3】正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 【答案】10种 【分析】将60个辣椒平均分成若干堆，每堆个数相同且至少2个，即找出60的因数中满足至少是2堆，且每堆个数至少是2个的因数个数。 【详解】60的因数有：1， 2， 3， 4， 5， 6， 10， 12， 15， 20， 30， 60。 辣椒可以分为2堆，每堆30个；3堆，每堆20个；4堆，每堆15个；5堆，每堆12个；6堆，每堆10个；10堆，每堆6个；12堆，每堆5个；15堆，每堆4个；20堆，每堆3个；30堆，每堆2个，一共有10种。 答：一共有10种分法。 典例十：因数和倍数的综合应用 【例题1】一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【答案】A 【分析】根据求一个数倍数的方法，求出32以内8的倍数；根据求一个数因数的方法，求出32的因数，据此分析解答。 【详解】32以内8的倍数有：8，16，24，32 32的因数有：1，2，4，8，16，32 即一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的16。 故答案为：A 【例题2】一个数即是8的倍数，又是32的因数，这样的数有（    ）个。 A．2个 B．3个 C．4个 【答案】B 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此先找出32的因数，再在32的因数中找出8的倍数即可。 【详解】32÷1＝32 32÷2＝16 32÷4＝8 则32的因数有：1、2、4、8、16、32，其中是8的倍数的有：8、16、32共3个。 故答案为：B 【例题3】一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    【答案】20 【分析】先写出40的所有因数，再从中找出5的倍数的数，最后找出在15～30之间的数，即是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有20人。 【点睛】本题考查找一个数的因数以及5的倍数特征的应用。 典例十一：质数和合数的认识 【例题1】两个质数相乘，它们的积一定是（    ）。 A．质数 B．奇数 C．偶数 D．合数 【答案】D 【分析】质数是大于1的自然数，且只有1和它本身两个因数；合数是大于1的自然数，除了1和它本身以外，还有别的因数。两个质数相乘，积的因数至少包括1、这两个质数和积本身，符合合数的定义。 【详解】A．两个质数相乘，它们的积一定是质数，此说法错误，因为积的因数个数至少包括1、这两个质数和积本身，是合数； B．两个质数相乘，它们的积一定是奇数，此说法错误，比如这两个质数分别为2和3，它们的积是6，是偶数； C．两个质数相乘，它们的积一定是偶数，此说法错误，比如这两个质数分别为3和5，它们的积是15，是奇数； D．两个质数相乘，积的因数个数至少为3个，符合合数定义。 故答案为：D 【例题2】乐乐想在下边的计数器上拨3颗算珠表示一个数，这个数（    ）。 A．一定是质数 B．一定是3的倍数 C．一定不是5的倍数 D．一定是奇数 【答案】B 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。3的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3整除。5的倍数特征：个位数字是0或5的数。奇数：个位数字是1、3、5、7、9的数。偶数：个位数字是0、2、4、6、8的数。 A．当3颗算珠都在个位时，这个数是3，是质数；当3颗算珠都在十位时，这个数是30，是合数；所以这个数不一定是质数； B．在计算器上拨3颗算珠，无论这3颗算珠在百位、十位还是个位，各位数字之和都是3，因为3能被3整除；所以这个数一定是3的倍数； C．当3颗算珠都在个位时，这个数是3，不是5的倍数；当3颗算珠都在十位时，这个数是30，是5的倍数；所以这个数可能是5的倍数； D．当3颗算珠都在个位时，这个数是3，是奇数；当3颗算珠都在十位时，这个数是30，是偶数；所以这个数不一定是奇数； 据此解答。 【详解】根据分析可知： 乐乐想在计数器上拨3颗算珠表示一个数，这个数一定是3的倍数。 故答案为：B 【例题3】有一个四位数，它的个位上是最大的一位质数( )，百位上是最小的自然数( )，十位上是最小的合数( )，千位上的数既是偶数又是质数( )，这个四位数是( )。 【答案】 7 0 4 2 2047 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数；1既不是质数也不是合数；偶数：能被2整除的数；自然数：像0，1，2，3…这样表示物体个数的数；据此解答。 【详解】最大的一位质数是7，最小的自然数是0，最小的合数是4，既是偶数又是质数的数是2；所以这个四位数是2047。 有一个四位数，它的个位上是最大的一位质数7，百位上是最小的自然数0，十位上是最小的合数4，千位上的数既是偶数又是质数2，这个四位数是2047。 典例十二：质数和合数的综合运用 【例题1】星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【答案】45名同学；小贝说得对；理由见详解 【分析】由题中所说每一个参赛方队站2~4列，总人数＝列数×每列人数，所以总人数一定为合数。由41和43均为质数，45是合数，可知一共多少名同学，谁说的是对的。 【详解】因为每一个参赛方队站2~4列， 所以总人数一定为2或3或4的倍数， 所以总人数一定是合数。 因为41和43都是质数，45是合数，45＝3×15， 所以一个方队有45名同学，小贝说的是正确的。 【例题2】果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 【答案】米米；因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 【分析】从题目可知，果园里有几行果树，每行棵树相等，根据总棵数＝每行棵数行数，总棵数是一个合数，据此判断即可。 【详解】43的因数只有1和43，所以43是质数； 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，所以36是合数； 47的因数只有1和47，所以47是质数。 其中只有米米数对了，因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 【例题3】广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 【答案】3班、4班可以；1班、2班不可以；因为39和40是合数，37和41是质数。 【分析】如果人数是合数就能平均分成人数相等的小组，如果是质数就不能平均分成人数相等的小组。据此解答。 【详解】37＝1×37 41＝1×41 39＝1×39＝3×13 40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 答：3班、4班可以分成人数相等的小组，1班、2班不可以，因为39和40是合数，37和41是质数。 典例十三：质因数的含义 【例题1】在42＝2×3×7中，2，3，7是42的( )数。 【答案】质因 【分析】如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数；所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数，那么这些因数都叫原数的质因数，据此解答。 【详解】由分析可知，在42＝2×3×7中，2，3，7是42的质因数。 【例题2】因为30＝5×6，所以5和6都是30的质因数。( ) 【答案】 × 【分析】质因数需满足两个条件：是原数的因数且本身是质数。5是质数且是30的因数，但6是合数，不符合质因数的定义。 【详解】根据质因数的定义，质因数必须是质数且是原数的因数。30＝5×6中，5是质数且能整除30，因此5是30的质因数；但6＝2×3，是合数，不符合质数的条件，因此6不是30的质因数。所以原题说法错误。 故答案为：× 【例题3】甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质因数 D．无法确定 【答案】A 【分析】甲是乙的倍数，那么乙是甲的因数，丙是乙的因数，所以丙也是甲的因数，那么甲就是丙的倍数，质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数，据此选择。 【详解】根据分析可知，甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的倍数。 故答案为：A 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识，明确因数和倍数是相互依存的关系，也可通过举例子解答。 典例十四：分解质因数 【例题1】三个自然数的乘积是100，则这三个自然数的和最小是( )。 【答案】14 【分析】先找出100的所有因数，再将100分解成三个自然数相乘的形式，计算出每种组合的和，比较得出最小的和即可。 【详解】100的所有因数：1、2、4、5、10、20、25、50、100； 三个自然数乘积为100可能的组合有： 以上组合对应的三个自然数的和为： 比较可得，14最小。 三个自然数的乘积是100，则这三个自然数的和最小是14。 【点睛】本题关键在于将 100 分解质因数后，通过枚举法一一列举，找出所有符合题意的组合。 【例题2】互为反序数的两个自然数的积是92565，这两个互为反序数的自然数的和是( )。（注：把一个数的数码倒过来写，所得的新数叫做原数的反序数，如123的反序数为321） 【答案】726 【分析】先判断反序数的位数： 积92565是五位数，两位数的积最大为99×99＝9801（四位数），四位数的积最小为1000×1000＝1000000（七位数），因此这两个数是三位数。 再设反序数并分解因数，组合因数后得到反序数，最后计算两数的和。 【详解】积92565是五位数，两位数的积最大为99×99＝9801（四位数），四位数的积最小为： 1000×1000＝1000000（七位数），因此这两个数是三位数。 92565＝3×3×5×11×11×17 165×561＝92565，且165的反序数是561 两数之和为：165＋561＝726 【点睛】本题的关键是先判断反序数的位数，再通过质因数分解结合反序数的特征组合因数。解题时需注意：反序数的位数由积的位数推导，质因数组合需满足“数字顺序相反”的条件。 【例题3】用短除法将下面各数分解质因数。 34       60        84 【答案】见详解 【分析】把一个合数分解质因数，就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。 【详解】；34＝2×17； ；60＝2×2×3×5； ；84＝2×2×3×7。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $