精品解析：安徽省安庆市潜山市部分校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度上学期九年级数学质量调研（二） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（　　） A. （﹣1，0） B. （1，0） C. （0，1） D. （0，﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式解析式，即可计算出二次函数顶点坐标为（0，﹣1）． 【详解】解：二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的基本性质，利用顶点式求出顶点坐标，同时本题中的函数也是一个特殊函数，b=0，所以抛物线顶点在y轴上，将x=0，代入函数解析式得：y=-1，也可以求出其顶点坐标为（0，﹣1）． 2. 若，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，则ad=bc，逐个判断可得答案． 【详解】解：由可得：2x=3y A. ，此选项不符合题意 B. ，此选项不符合题意 C. ，则3x=2y，此选项不符合题意 D. ，则2x=3y，正确 故选：D 【点睛】本题考查比例的性质，解题关键在于掌握，则ad=bc. 3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，通过比较平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移单位，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，然后根据坐标变化判断平移方向． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线 的顶点坐标为 ， ∴水平方向：从到，增加了，即向右平移个单位；垂直方向：从到，增加了，即向上平移个单位， ∴平移方法是向右平移个单位，再向上平移个单位， 故选：． 4. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ） A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12， ∴两个相似三角形的相似比为1:3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1， ∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键． 5. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，得出距离抛物线对称轴越远的点的函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，抛物线开口向上 ∵，， ∴ ∴． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值5 B. 最大值 C. 最小值5 D. 最小值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握根据“二次函数的最值：若自变量的取值范围是全体实数，则当时，抛物线开口向上，有最低点，当时，函数取得最小值”求解是解题的关键． 【详解】解：∵对称轴在轴右侧， ∴， 又∵图象经过点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 即有最小值， 故选D． 7. 如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB，AC与BC，再利用勾股定理逆定理确定△ABC为直角三角形，然后根据锐角三角函数定义求即即可 【详解】解：根据勾股定理得AB=，AC=，BC=， ∵AC2+BC2=5+20=25=52=AB2，， ∴△ABC为直角三角形， ∴， 故选：C. 【点睛】本题考查网格勾股定理与逆定理，锐角三角函数，是常考题，掌握网格勾股定理与逆定理，锐角三角函数是解题关键． 8. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴=2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 9. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得当时，，即， 当时，，由图象可得时，，即， ，即，故②正确． ③，， ∵， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根．故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 10. 如图，菱形边长为2，，点P以每秒1个单位的速度沿射线AD移动，过点P作直线AB的垂线与菱形的两边分别交于两点，设面积为y，则y与点P移动的时间x之间的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．特殊角的三角函数，菱形的性质，根据所给题意判断出不同取值范围与之间的函数解析式是解决本题的关键．分别求得，，范围的函数解析式，根据所得函数解析式判断出相应的函数图象即可． 【详解】解：①时，如图： 由题意得：， ，， ， ， ， ， 该函数图象为开口向上的抛物线， ②时，如图： 作于点，则，， ，， ， ， ， ， 该函数图象为随的增大而增大的线段； ③时，如图： 作于点，于点，于点， 则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数图象是开口向下的抛物线， 故选：A． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 抛物线与轴交点的纵坐标为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：将代入，得：， 与轴交点的纵坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与纵坐标轴的交点，解题的关键是掌握轴上的点的横坐标为0． 12. 如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为______． 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．设加工成的正方形零件的边长为，过点作于，交于点，先根据的面积求出高，证明，得到，代入数值求出即可． 【详解】解：设加工成的正方形零件的边长为， 过点作于，交于点， 的面积为，边， ， 解得， 四边形是正方形， ， ， ， 解得， 故选：C． 13. 如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB=1，则k的值为__________． 【答案】﹣4 【解析】 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|． 【详解】解：∵点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B， ∴， ∴ 又∵函数图象位于二、四象限， ∴，即 ∴k=﹣4 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 14. 如图，在中，，，，点是边上的一点，是线段的垂直平分线且分别交、于点、． （1）若，则___________； （2）若经过的某一顶点，则___________． 【答案】 ①. 2.5 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）设与相交于点，先利用勾股定理求出，然后再利用字模型相似三角形证明，即可得，然后进行计算即可解答； （2）分两种情况：当经过点时，当经过点时，画出图形然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）如图：设与相交于点， ，，， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ， 故答案为：2.5； （2）分两种情况： 当经过点时，连接， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当经过点时，连接， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 三、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°． 【答案】﹣ 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 16. 如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）请用无刻度直尺，在线段上找一点P，使； （2）以点O为位似中心，在x轴下方画出的位似图形，使与的位似比为． 【答案】（1） 如图，点即为所作； （2） 如图：即为所作． 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理画图即可； （2）根据与的位似比等于，可得，据此作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示：， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及位似变换，熟练掌握相似三角形的性质以及位似图像的性质是解本题的关键． 四、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】由得，则，由得，则，得到，解得，则，即可求得的高度． 【详解】解：如图，于点D，于点G， 由题意可知，，米，米，米，米， ∴， ∴， ∴，即①， ∵，， ∴， ∴， ∴，即②， 由①②得，， 解得，， 经检验，是方程的根且符合题意， ∴， 解得，． 答：路灯杆AB的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，在本题中关键是根据两组相似三角形中的公共边和身高建立关于的方程． 18. 如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、勾股定理逆定理，作于，解直角三角形得出，由勾股定理可得，，证明为直角三角形，且，结合题意可得，，再由勾股定理可得，解直角三角形得出，，从而可得，最后由余弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于， ， ∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 五、应用题（每题10分，共20分） 19. 如图，函数的图像与函数的图像交于点． （1）求函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，最短路径问题(将军饮马问题)，运用数形结合思想解题是关键． （1）将点，代入直线的解析式即可求出a、b，再将点代入反比例函数解析式即可求出k，从而得解； （2）利用数形结合思想即可得解； （3）作A关于y轴对称点，连与y轴的交点为所求的点，用待定系数法求出直线的解析式，从而得解． 【小问1详解】 解：把分别代入得， ，解得， ； 把代入得， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可得：不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：作A关于y轴对称点，连交y轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时周长最小， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ∴当周长最小时，点的坐标为． 20. 如图，在中，，于点，在边上，与交于点，作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，解方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据同角的余角相等得出，，从而证明； （）过点作于点，设，则，，然后证明，得，所以，设，，则，再证明，所以，即，求得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 六（本题满分12分） 21. 一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． （1）若矩形的面积为，求的长； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意求得，根据“矩形的面积为”列式得，解方程即可求解； （2）根据得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 当时，， 即当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 七（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转性质知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：由旋转性质知，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （）由，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （）先求出，，进而得出，，进而求出，最后根据（）的结论，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中， ∴， ， ∵， ∴，， 由（）知，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 八（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，中的一点． （1）求的值； （2）若点，是抛物线上的两点，对于，，都有，求的取值范围； （3）点在抛物线上，作轴，交轴于点，交抛物线对称轴于点，设点横坐标为，令，求关于的函数关系式，并求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3），S的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，得出，结合，故点不在抛物线，根据抛物线经过点，中的一点，则把代入，解得，即可作答． （2）先得出，开口方向向下，对称轴为直线，根据越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，以及，进行列式，再进行分类讨论，即可作答． （3）先根据题意，得出，，，结合，进行列式化简，得，再进行分类讨论，且运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把代入， 得， ∵， ∴点不在抛物线， ∵抛物线经过点，中的一点， ∴把代入， 得 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 即抛物线， 此函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越大， ∵点，是抛物线上的两点，对于，，都有， ∴ 整理得， 当，时， 则， 即， ∴， ∴， 即满足题意；， 当时，则， ∴， ∴， 即满足题意； 当时，则， 即， ∴， ∴是不成立的， 即不满足题意； 综上： 【小问3详解】 解：由（2）得抛物线，对称轴为直线， ∵点在抛物线上，作轴，交轴于点，交抛物线对称轴于点，设点横坐标为， ∴，， ∴ ∵， ∴ 当时，令， 函数开口向下，当时，则， 解得 则时，， ∵ ∴ 此时， 函数的开口方向向下，对称轴为直线， 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，把代入，得最小值为 即在时，最小值， 当时，则令， 函数开口向下，当时，则， 解得 则时，或， ∵ ∴， 此时， 函数的开口方向向上，对称轴为直线， 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，则当时，则最小值为； 即在时，， 综上：关于的函数关系式为，S的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级数学质量调研（二） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（　　） A. （﹣1，0） B. （1，0） C. （0，1） D. （0，﹣1） 2. 若，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 4. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ） A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 5. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值5 B. 最大值 C. 最小值5 D. 最小值 7. 如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 10. 如图，菱形边长为2，，点P以每秒1个单位的速度沿射线AD移动，过点P作直线AB的垂线与菱形的两边分别交于两点，设面积为y，则y与点P移动的时间x之间的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 抛物线与轴交点的纵坐标为 ___________ 12. 如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为______． 13. 如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB=1，则k的值为__________． 14. 如图，在中，，，，点是边上的一点，是线段的垂直平分线且分别交、于点、． （1）若，则___________； （2）若经过的某一顶点，则___________． 三、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°． 16. 如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）请用无刻度直尺，在线段上找一点P，使； （2）以点O为位似中心，在x轴下方画出的位似图形，使与的位似比为． 四、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度． 18. 如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 五、应用题（每题10分，共20分） 19. 如图，函数的图像与函数的图像交于点． （1）求函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标． 20. 如图，在中，，于点，在边上，与交于点，作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 六（本题满分12分） 21. 一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． （1）若矩形的面积为，求的长； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 七（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 八（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，中的一点． （1）求的值； （2）若点，是抛物线上的两点，对于，，都有，求的取值范围； （3）点在抛物线上，作轴，交轴于点，交抛物线对称轴于点，设点横坐标为，令，求关于的函数关系式，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $