专题06 函数的奇偶性讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册函数专题复习备考

该高中数学讲义以思维导图系统构建函数奇偶性知识体系，按“定义-图像-性质-应用”逻辑梳理，通过题型分类呈现定义域判断、f(-x)计算等基础要点，结合图像分析突出奇偶性与单调性、周期性的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如“利用奇偶性+单调性解不等式”题型强调转化自变量到同一单调区间，变式题覆盖选择、填空及解答题，引导学生通过推理分析变量关系，培养数学思维，助力教师实施分层教学提升复习效率。

专题06函数的奇偶性 肌基础知识与题型（思维导图) Oz∈M,-z∈M y=V-1+V个-云，非奇非偶函数定义域} @计算j() 判断函数奇偶性 f(-z) 偶数 v=VP-1+V1-2,既奇又偶函数即，y=0,x∈{-1，号 0f(c)= -f(-) 奇函数 f(r)=e-e-i 奇陋数 得x≠-1 0定义域对称 f()=lna十亡+为奇图数，求a,b 分母不为0，得x≠1 即 a+-m=0 即，(1)无意义 第三章 奇函数∫(0)=0如 奇偶性求参数 目定义域内特殊值 函数 偶函数f(-1)=f(1)如 O一龄做法奇函数：江∈L,且f()十(-)=0 偶函数：x∈L,且f(x)-f(-x)=0 题型 如，f(红-1)+f(1一x)=0关于(0,0)对称 奇函数 八)关于点，)对称 f(r+a)+f(a-z)=26 如，f(红+1)+(1-)=4关于(1,2)对称 。对称问题 如，f(c一2)=∫(2一x)关于z=0(即y轴)对称偶函数 /(任)关于轴x=e对移 f(x+c)=f(c-z) 如，(：-2)=(4一x）关于r=3对粉 基础题型 题型一函数奇偶性的定义、图像、证明 方法点拨： 熟练看定义域： 先判断定义域是否关于原点对称（若不对称，则为非奇非偶函数)。 算f(-x): 若f(-x)=f(x)→偶函数； 若f(-x)=-f(x)→奇函数； 若两者都不满足→非奇非偶函数。 例题解析： 根据奇偶性定义判断解析式 例一 根据奇偶性+图象（部分）做判断 例二 例三 根据性质写函数解析式开放性 函数奇偶性的定义与图像 根据奇偶性补全图像 例四 例五 抽象函数的奇偶性 例六 奇偶性的证明 例1.(25-26高一上·上海·月考)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（) 1 A.y=-x3 B.y=x+- C.y=log2x 例2.（多选）(25-26高一上山东济南·期中)奇函数y=f(x在x∈[-4,0]的图象如图所示，则下列结论 正确的有() VA .2 A.当x∈[-4,0]时，f(xe[-2,2] B.函数fx)在[2,4]上单调递减 c.至数在2)62 上单调递增 。. 例3.(2025·全国·模拟预测)写出一个满足下列条件的函数为 ①f(-x=-f(x)②f(元+x)=f(x) ③f(x≤2 例4.(24-25高一上广东中山月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时， f(x)=x2+2x. 41 3 -r -54-3-20山2345 23 A .... (1)已知函数∫(x)的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数f(x)的单调递增区间； (2)写出函数f(x)的解析式； (3)求函数y=f(x)在x∈(0，a](a>0)时的值域. 例5.(25-26高一上广西桂林期中)己知函数f(x)满足对任意的x,y∈R,都有 ∫(x+y)+f(x-y)=f(xf(y),且f(1=-1,则() A.f(0=2 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)=f (x+3 例6.(25-26高一上·贵州毕节期中)定义在R上的函数y=∫(x),对任意x,y∈R都有 fx+y)=fx)+f(y),且当x>0时，f(x>0. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：∫(x)为R上的增函数； 变式突破： 1.(25-26高一上.重庆月考)下列函数中，既是奇函数又在(0，+∞)上单调递增的是() A.f(x)=2 8时 C.f(x)=In(Vx2+1+x) D.f(x)=ex-e* 2.(24-25高一上广东汕头期中)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=-x2+2x. 5 4 3 12 -5-4-3-2-10 12345 -1 /2 3 >1 (1)求f(x的解析式，画出∫(x)在R上的图象并写出函数的单调区间； (2)若函数f(x在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围； (3)分别求当k取何值时，方程∫(x)=k有1个实数根和3个实数根. 3.(25-26高一上·安微期中)已知函数f(x)的定义域是R,对任意实数x,y都有 fx+y)f(x-y)+1=2(x)+f(y),且f(0)<0,则() A.f(0)=-1 B.f(2x)+1=2f2(x C.fx为奇函数 D.f(x)为偶函数 4.(25-26高一上河南信阳·期中)定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x+∫(y)-1,且fx) 是区间(0，+0）上的递增函数. (1)求f(-1)的值： (2)证明：函数f(x)是偶函数； (3)解不等式f(x)-f1)≤f(x+2)-f(2) 5.(23-24高一下.北京期末)写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)= ①xeRx+8-f: ②VxeR./(到≥f恒成立 题型二利用奇偶性求解析式或求值 方法点拨： 熟练步骤：设所求区间内的自变量x;将-x转化到已知区间，代入已知解析式；利用f(-x)=f(x)（偶) 或f(-x)=-f(x)(奇)求解f(x)。 例题解析： 直接用奇偶性求值 例一 例二 用奇偶性求解析式 利用奇偶性求解析式或求值 用奇偶性+周期性求解析式 例三 分段函数奇偶性求参数 例四 例1.已知f(x,g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+2x2+3x+4,则f(1=() A.1 B.5 C.6 D.4 例2.(25-26高一上四川阿坝期中)已知函数f(x)是奇函数，且当x<0时，∫(x=-x2+2x,则当x>0 时，f(x)等于() A.-x2-2x B.-x2+2x C.x2-2x D.x2+2x 例3.(25-26高一全国假期作业)设函数∫(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时， 到=4，则引+9=《) A.-2 B.2 C.4 D.6 ax+2026,x<0 例4.(25-26高三上河北泰皇岛月考)已知函数-2026x+么>0是奇函数，则a+b=（） A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 变式突破： 1.(25-26高三上四川成都.月考)若函数f(x为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x=e-1,则 A.1 B.2 C.-1 D.-2 2.(2526商一上四川吧中期中)已知f(y为定义在R上的奇函数，当x之0时，f=2,则 f-1=() A.0 B.-1 C.1 D.2 3若函数八为R上的奇函数，且当20时，到=-1，则/写（) A.1 B.2 C.-1 D.-2 题型三利用奇偶性求参数 方法点拨： 1.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，求参数时务必先考虑定义域！ 2.分段函数需分段讨论，确保每一段都满足奇偶性定义，且在分段点处也符合(（若有定义) 例题解析： 例一 定义域关于原点对称求参 例四 较难 利用奇偶性求参数 特值求参 例二 例三 般情况求参 例1.(25-26高一上湖南邵阳期中)若函数f(x)=x3-bx2+ax在[a,a+2上为奇函数，则a+b= 例2.(2025陕西汉中一模)若函数f八)=a+3为奇函数，则实数a=（） A.-1 B.1 C.2 D.4 4 例3.（25-26高一上江苏泰州月考)已知函数f(x)=sinx 2一+a为偶函数，则a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 例4.(2025高三上江苏无锡专题练习)已知函数f)=na+,L +b为奇函数，则实数b的值为() 1-x A.0 B.1 C.In2 D.e 变式突破： 25山东三模)已知fx=+ax为偶函数，则a的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2(2025,浙江一模)已知函数f)=10g2+0}+b是奇函数，则a+6=() x+1 A.-3 B.-1 C.-5 D.1 3(25-26高三上重庆，月考)若函数f(x)=lg(10+1-ax是偶函数，则a=一 4(2025上海奉贤一模)若函数y=a:2- 2+1 (a∈R)是偶函数，则实数a= 5.(25-26高三上福建龙岩月考)函数f(x)=ax2+(b-1)x-2是偶函数，且定义域是[a-8,3a,则a+b= () A.1 B.2 C.3 D.4 题型三利用奇偶性+单调性解不等式 方法点拨： 确定函数「(x)是奇函数还是偶函数，利用奇偶性将不等式两侧的自变量转化到同一单调区间 例题解析： 例一 关注定义域 奇函数+单调性 例上 解析式型 利用奇偶性+单调性解不等式 例三 偶函数+单调性 例1.(25-26高一上山西·月考)已知定义在区间[-2,2上的奇函数f(x)在区间[-2,0上单调递减，若 ∫(Inx)+f(1)<f(0),则实数x的取值范围是() A.) c e D.(0,e] 专题06 函数的奇偶性 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 函数奇偶性的定义、图像、证明 方法点拨： 熟练看定义域： 先判断定义域是否关于原点对称（若不对称，则为非奇非偶函数）。 算 f(−x)： 若 f(−x)=f(x) → 偶函数； 若 f(−x)=−f(x) → 奇函数； 若两者都不满足 → 非奇非偶函数。 例题解析： 例1.（25-26高一上·上海·月考）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义，结合单调性可得答案. 【详解】由对数函数和指数函数的性质可知和均不是奇函数； 设，则定义域为，，所以是奇函数； 又函数在区间上单调递增，故该函数在其定义域内不是减函数 设，，故是奇函数； 又为增函数，所以为减函数. 故选：A 例2.（多选）（25-26高一上·山东济南·期中）奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D． 【答案】ABC 【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的性质，由此可判断每个选项的正误. 【详解】根据图像可知，当时，，故A正确； 在，上单调递减，在上单调递增， 所以根据奇函数性质可，函数在上单调递减，在上单调递增，故BC正确； 由于在上递增，所以，故D错误. 故选：ABC. 例3.（2025·全国·模拟预测）写出一个满足下列条件的函数为 ． ①    ②    ③ 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件分析函数的奇偶性，周期，和取值范围，再确定满足条件的函数. 【详解】由知是奇函数， 由知的周期为， 再由知的值域包含于区间， 所以可考虑选择周期为，最大值为2的正弦型函数，即可取， 故答案为：（答案不唯一）． 例4.（24-25高一上·广东中山·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； (3)求函数在时的值域. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的性质画出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间； （2）根据偶函数的性质计算可得； （3）结合图象及对称性，分、、三种情况讨论得到值域即可． 【详解】（1）函数的图象如图： 单调递增区间为； （2）因为是定义在上的偶函数，所以. 设，则，所以， 所以当时，， 的解析式为； （3）当时，在单调递减，而，最小值为， 的值域为， 当时，在单调上递减，在上单调递增， 所以最小值为， 的值域为， 当时，在单调上递减，在上单调递增， 所以最小值为，最大值为， 的值域为， 综上可得的值域为： 当时，值域为； 当，值域为， 当时，值域为. 例5.（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据题目条件采用赋值法逐一判断选项. 【详解】令，得，因为，所以A正确． 令，得，所以，则是偶函数，B正确，C错误． 令，得，所以， 所以，即D正确． 故选：ABD 例6.（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）证明：根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. （2）证明：任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 变式突破： 1.（25-26高一上·重庆·月考）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判定函数的奇偶性与单调性得到答案. 【详解】对于选项A，是R上的偶函数，故选项A错误； 对于选项B，在上是减函数，故选项B错误； 对于选项C，， ∴函数是R上的奇函数，又在上是增函数， ∴在上是增函数，故选项C正确； 对于选项D，在上是减函数，在是增函数， ∴函数在上是减函数，故选项D错误. 故选：C 2.（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求的解析式，画出在上的图象并写出函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)分别求当取何值时，方程有1个实数根和3个实数根． 【答案】(1),函数图象如图，单调区间见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数在，利用奇函数的性质求得时的解析式，即得的解析式，作出其图象，并由图写出函数的单调区间即可； （2）由题设条件结合图象可得关于参数的不等式，求解即得； （3）结合图象，利用函数与方程的思想，将问题转化为直线与的交点个数问题，易得参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 因是定义在上的奇函数，故， 故，其图象如下：    由图可知，该函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：. （2）因函数在区间上单调递增，由图知，需使， 解得，即实数的取值范围为. （3）根据函数的图象，方程的根的个数即函数与直线的交点个数. 要使方程有一个实数根，即函数与直线有一个交点，需使或； 要使方程有3个实数根，即函数与直线有3个交点，需使. 3.（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法逐项分析判断. 【详解】对于A：令，则．对． 对于B：令，则，所以．错． 对于C：赋为，为，则， 又，所以， 所以． 若，则，与不符，所以． 于是，即为偶函数．C错D对. 故选:． 4.（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1)1 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. （3）不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 5.（23-24高一下·北京·期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数 . ①； ②恒成立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件①可推理得到函数为周期函数；对于②可得为函数的最小值点. 【详解】由条件①可得，，即函数为周期是的周期函数； 由条件②恒成立，可知只需使，即 为最小值点. 故可取. 故答案为：.(答案不唯一) 题型二 利用奇偶性求解析式或求值 方法点拨： 熟练步骤：设所求区间内的自变量 x；将−x 转化到已知区间，代入已知解析式；利用 f(−x)=f(x)（偶）或 f(−x)=−f(x)（奇）求解 f(x)。 例题解析： 例1.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 【分析】由奇偶性的定义建立方程组，求解得到，将代入即可得到答案. 【详解】因为①，所以②， 又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以②式可化为③， 联立①③得，所以.故选：C. 例2.（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，再结合奇偶性可得. 【详解】当时，， 则当时，，有， 又函数是奇函数， 则， 故当时，. 故选：D. 例3.（25-26高一·全国·假期作业）设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和周期性即可求解. 【详解】因为的周期为2，所以且， 又为奇函数，所以，， 由周期知，故，故． 故选：A 例4.（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知函数是奇函数，则（   ） A． B．0 C．2026 D．4052 【答案】B 【分析】先利用的解析式求出的解析式，根据奇函数的性质，让两式相等，根据对应系数相同即可求出答案. 【详解】当时，， 此时，， 因为函数为奇函数，则，则， 即. 则，， 所以. 故选：B. 变式突破： 1.（25-26高三上·四川成都·月考）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 2.（25-26高一上·四川巴中·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性与函数解析式求函数值. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得， 则当时,， 故， 所以. 故选：C. 3.若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【分析】根据函数的奇偶性和对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 题型三 利用奇偶性求参数 方法点拨： 1.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，求参数时务必先考虑定义域！ 2.分段函数需分段讨论，确保每一段都满足奇偶性定义，且在分段点处也符合（若有定义） 例题解析： 例1.（25-26高一上·湖南邵阳·期中）若函数在上为奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的定义域和性质可依次求出和的值，即得的值. 【详解】因为函数在上为奇函数，则，解得， 所以， 由奇函数的定义得，即， 化简得，因不恒为0，故，则. 故答案为：. 例2.（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定答案. 【详解】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得， 则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数，符合题意， 故， 故选：C 例3.（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 例4.（2025高三上·江苏无锡·专题练习）已知函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据知即可得出，再根据计算，最后利用奇偶性的定义检验. 【详解】因时无意义，故时，也无意义， 则，即， 此时， 由，得， 此时，则， 且定义域为关于原点对称， 故是奇函数，符合题意，故. 故选：C 变式突破： 1.（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 2（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 3（25-26高三上·重庆·月考）若函数 是偶函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据偶函数的性质，列出方程，求出参数即可. 【详解】因为，所以函数定义域为， 当函数 是偶函数时，， 即，化简得， 化简得， 即，即. 故答案为：. 4（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： 5.（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数是偶函数，且定义域是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称得到，则；又因为二次函数为偶函数，故一次项系数为0，所以，所以,所以. 【详解】因为偶函数 的定义域是，所以，得到； 因为是偶函数，所以，所以， 所以. 故选：C 题型三 利用奇偶性+单调性解不等式 方法点拨： 确定函数f(x) 是奇函数还是偶函数，利用奇偶性将不等式两侧的自变量转化到同一单调区间 例题解析： 例1.（25-26高一上·山西·月考）已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用奇函数的性质得到、，结合奇函数在对称区间单调性一致，确定在上单调递减；再将不等式转化为，结合函数定义域与单调性列出关于的不等式组，求解得到的范围. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，且的图象关于原点对称， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 则在上单调递减，因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 故选：C 例2.（25-26高一上·湖北·月考）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由解析式知，函数的定义域为， 且， 所以在上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在上单调递增， 由， 所以不等式的解集为. 故选：B 例3.（25-26高三上·四川·月考）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得正确答案. 【详解】依题意，是偶函数， 在上单调递增，在上单调递减， ， 由，得， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 变式突破： 1.（25-26高一上·福建漳州·月考）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到为奇函数，由函数单调性的定义和判定方法，证得为单调递减函数，把不等式转化为，即可求得不等式的解集，得到答案. 【详解】因为对任意的，都有成立， 当时，有，必有， 令，有，即，所以为奇函数， 设且，可得，则， 由， 可得，即，所以为上的单调递减函数， 又由，可得， 因为在上单调递减，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 2.（25-26高一上·北京·期中）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上是减函数， 由，则， 所以，解得或， 则满足的的取值范围是. 故选：D 3.（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，将不等式转化为，得到，结合的单调性，即可求解. 【解答过程】设函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即，所以为奇函数， 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数， 由等价于， 即， 又因为是奇函数，可得， 可得，即，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 4.（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上是单调递增函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数. （3）由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 题型四 奇偶性与单调性、周期性的综合运用 方法点拨： 例题解析： 例1.(多选)（25-26高三上·云南昆明·月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 【答案】ABD 【分析】根据对称中心定义可判断A正确，赋值法代入计算可知B正确，结合奇偶性并根据周期函数定义可得C错误，结合已有分析求出所有零点可知D正确. 【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令可得，得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误； 对于D，，， ，， 在上至少有9个零点，故D正确． 故选：ABD. 例2.（25-26高一上·江苏南京·期中）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 则，即， 由，得，于是， 即，因此， 函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：A 例3.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和函数在上单调递减，可得函数在上单调递增，则所求问题可转化为，根据对数函数性质，计算化简，即可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以可化为， 因为， 所以或， 因为函数在上单调递增， 所以或， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 例4.（25-26高三上·山西大同·月考）定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知4是的一个周期，赋值求相应的函数值，可得，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 可得，可知4是的一个周期， 又因为当时，，则，， 对，令，可得， 令，可得； 令，可得； 则，，， 可得，所以. 故选：D. 变式突破： 1.（25-26高三上·四川遂宁·期中）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数的一个周期为2，根据周期性以及奇函数分析求解即可. 【详解】因为，则， 可知函数的一个周期为2， 又因为为奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 2.（25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的周期，进而求出a的值，再利用函数的周期求值，即得答案. 【详解】因为为奇函数，所以，则； 因为为偶函数，所以，即 即得，结合，可得， 即，即，则， 即函数的周期为4， 又时，，且， 即得，即，则，故， 即时，， 故， 故选：B 3.（25-26高三上·天津西青·月考）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】∵为偶函数，∴， 又是定义域为的奇函数，∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个周期为20的周期函数， ∴， ， ∴． 故答案为：． 易错点 解析式化简不当导致判断错误 核心问题：直接计算f(−x),无法直接与f(x)比较。 学科网（北京）股份有限公司 $