专题3.4 函数的奇偶性与对称性（9类必考点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.4 函数的奇偶性与对称性 【知识梳理】 1 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 3 【考点2：由奇偶性求函数值】 6 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 8 【考点4：抽象函数的奇偶性】 13 【考点5：已知奇偶性求参】 17 【考点6：函数图象的识别】 19 【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 23 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 26 【考点9：判断或证明函数的对称性】 29 【知识梳理】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 2．函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 3. 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 4．函数奇偶性的应用 求解析式 利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解 求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法 比较大 小问题 一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小 抽象不等 式问题 其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题 5．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 6．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 7．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 1．（24-25高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【详解】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【详解】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 3．（多选）（24-25高一下·贵州铜仁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入求值判断A，求出判断BC，求出判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 函数的定义域为R，，且不恒为零，故B正确，C错误； 当时，，故D正确. 故选：ABD 4．（多选）（2025·陕西商洛·模拟预测）若函数 ，则（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．的最小值为 0 【答案】ABC 【分析】求出函数值判断A；求出定义域判断B；由奇函数定义判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由，解得或，因此的定义域为 ，B正确； 对于C，，是奇函数，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 5．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【分析】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可. 【详解】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 6．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 【考点2：由奇偶性求函数值】 1．（24-25高一上·北京昌平·期中）已知函数满足 （1）若函数是偶函数，则 ； （2）若函数是奇函数，则 【答案】 3 -3 【解析】根据奇偶性的定义求解. 【详解】（1）因为函数是偶函数，则，所以3； （2）因为函数是奇函数，则，所以-3； 故答案为：3；-3 2．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 ； 【分析】首先根据函数时的解析式求的值，然后根据函数为奇函数即可求出的值； 【详解】因为时，，所以， 又因为函数是定义在R上的奇函数，所以. 3．（24-25高一·全国·单元测试）已知函数是上的奇函数，当时，，则 ， ． 【答案】 0 【分析】根据是定义在上的奇函数，求得和的值. 【详解】函数是定义在上的奇函数，所以，． 故答案为：； 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数值，属于基础题. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+1，则f(-2)= ，f(0)= . 【答案】 -5 0 【分析】直接利用奇函数求函数值. 【详解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+1， ∴f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5，f(0)=0. 故答案为：-5 0 【点睛】函数奇偶性的应用: (1)一般用或; (2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或 . 5．（24-25高一上·河北沧州·期中）定义在上的奇函数满足，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】根据奇函数的定义结合赋值法计算得出结果. 【详解】由，得． 因为为奇函数，所以， 则． 令，得，则． 令，得，则． 故答案为：2；4. 6．（2025高三·全国·专题练习）若奇函数满足，，则 ， ． 【答案】 【分析】由题意可得，令时，可求得，进而计算可求得. 【详解】因为奇函数满足，， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故答案为：. 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 2．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 4．（多选）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 5．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数，即，求出函数解析式即可. （2）有分段函数解析式，画出函数图像，根据函数图形的单调区间，列出参数的不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减区，要使在上不单调， 则，解得． 或，解得． 所以实数的取值范围是 6．（24-25高一上·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 【答案】(1)，； (2)； (3)作图见解析，答案见解析. 【分析】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可； （2）利用奇函数的性质求解析式即可； （3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域. 【详解】（1）由题设，； （2）若，则，故， 由在上的函数为奇函数，则，且时，， 所以； （3） 由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R. 【考点4：抽象函数的奇偶性】 1．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 【答案】ACD 【分析】利用特殊值，令，，或令，代入计算判断A；令，根据函数单调性的定义判断B；利用判断C；利用特殊值结合函数奇偶性的定义判断D. 【详解】选项A：解法一：令，，则由题意得， 将代入解得，A说法正确； 解法二：令，则由题意得，即，解得， 若，令，，则，得，与矛盾，故，A说法正确； 选项B：令，则由题意得， 将代入得，故不是减函数，B说法错误； （另解：也可以根据，直接判断不是减函数） 选项C：由B可知， 所以，C说法正确； 选项D：令，，则由题意可得， 将，代入解得， 令，则①， 由B可知，所以， 代入①式可得，即， 所以为奇函数，D说法正确； 故选：ACD 3．（24-25高一·上海·假期作业）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，试判断函数的奇偶性. 【答案】偶函数. 【分析】先用赋值法求出和，然后令代入化简根据偶函数定义可得． 【详解】令，得，∴， 令，得， ∴， ∴是偶函数. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 5．（24-25高一上·安徽亳州·期中）函数，满足任意的，，都有，当时，且. （1）求和的值； （2）证明的奇偶性； （3）判断的单调性. 【答案】（1），；（2）是奇函数；（3）是增函数. 【分析】（1）可在恒等式中令，即可解出， （2）由奇函数的定义知，需要证明出，观察恒等式发现若令，则问题迎刃而解； （3）由题设条件对任意、在所给区间内比较与0的大小即可． 【详解】解：（1）由题设，令， 恒等式可变为，解得， 又， ， （2）令，则 由得 ，即得， 故是奇函数 （3）函数是增函数； 任取，则， 由题设时，，可得 故有 所以是增函数． 【点睛】本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来． 6．（24-25高一·全国·阶段练习）已知函数，当 时，恒有 . (1)若 ，求，的值； (2)判断函数的奇偶性. 【答案】(1)， (2)为奇函数 【分析】（1）由题意可得：，结合可得，的值. （2）由题意可得，据此有，即即可判断. 【详解】（1）解：在 中，令 ，， 则 ，∴， ∵，∴，； （2）解：由（1）知， 令，得，∴， 令，得，即， ∴，故为奇函数. 【考点5：已知奇偶性求参】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 2．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 3．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，带入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据奇函数的性质有求参数，注意验证即可得. 【详解】由题设，可得，即函数定义域为， 由函数为奇函数，则，故， 所以，满足题设. 所以. 故答案为：2 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 【考点6：函数图象的识别】 1．（24-25高一上·甘肃陇南·期中）的图像大致是       A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性可排除；利用可排除，知正确. 【详解】    为奇函数，图象关于原点对称，可排除 又，可排除 故选： 【点睛】本题考查函数图象的识别，识别函数图象通常采用排除法，依据通常为：奇偶性、特殊位置的符号、单调性. 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的奇偶性排除C，D，又根据正负性排除A. 【详解】易知，故的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，故是奇函数，排除C，D， 又当时，，排除A. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和的值，利用排除法即可求解. 【详解】因为，则是偶函数，故AD错误； 因为，故C错误，B正确． 故选：B 4．（24-25高二下·天津和平·期末）下列图象中，函数的部分图象有可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，即函数为奇函数，排除B，D，再由排除C，得到结论. 【详解】因为，此函数定义域为R， 又因为， 即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，D， 当时，且，故排除C， 故选：A 6．（多选）（24-25高三上·福建·期中）若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】利用函数奇偶性的定义可得结论. 【详解】因为与分别为定义在上的偶函数、奇函数， 所以， 所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称. 故选：AC. 【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 1．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递减，将各函数值转化到定义在上的函数值， 由偶函数的定义可得，即可由单调性比较得出． 【详解】因为是上的偶函数，所以，而在上单调递减，所以 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题． 2．（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数判断在上的单调性，进而直接利用单调性判断大小即可. 【详解】若偶函数在上是增函数, 则在上是减函数， 又，且 ，即 故选：D 3．（24-25高一上·广东珠海·期末）已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可. 【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增， 所以在上单调递减，. 又因为， 因为，在上单调递减, 所以， 即. 故选：B. 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，得到，再结合函数的单调性，求得，即可求解. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，则 又由在上单调递减， 因为，所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性比较大小问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的转化，以及合理利用单调性进行比较是解答得关键，着重考查转化思想，以及运算能力. 5．（24-25高三上·湖南郴州·阶段练习）定义域为的函数是偶函数，且对任意，．设，，，则． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数为偶函数且在单调递减，将所求函数值转化成的函数值进行比较即可. 【详解】由题：对任意， 任取，因为，则， 即，所以函数在单调递减 函数是定义域为的偶函数，所以， ，所以 故选：A 【点睛】此题考查通过函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，关键在于准确判断函数的单调性，将所求值转化到同一单调区间利用单调性比较大小. 6．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由时，恒成立，可得函数在区间上单调递增，再根据函数是偶函数，可得函数图象关于直线对称，根据函数的单调性与对称性即可得解. 【详解】解：因为当时，恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称， 所以函数图象关于直线对称， 所以，， 由，函数在区间上单调递增， 所以． 故选：B. 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及单调性可分别作出函数、的图象，结合图象即可求解不等式. 【详解】由为上的偶函数可知的图象关于y轴对称，且， 而函数的图象为的图象向左平移2个单位得到的， 作出与的示意图如图所示， 结合图象可知时，的函数值互为相反数， 故的解集为．    故选：C. 4．（24-25高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 5．（2025高一·全国·专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，发现为偶函数，且在上为单调递增函数，将所求不等式变形为，然后利用函数性质拿掉“”，求解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 又因为函数、在上均为增函数， 故函数在上是增函数， 由，得，则，即， 即，解得，即满足题设条件的的取值范围是. 故选：A. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． 【考点9：判断或证明函数的对称性】 1．（2025高三·全国·专题练习）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （6）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； 【答案】 ；； ； ； ； ； 【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令，逐一验证即可求解； 严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若，对称轴为，若，则对称中心为，逐一验证即可求解. 【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令， （1）令，再令，则，所以图象的对称中心为． （2）若是奇函数，则，令，则，所以图象的对称中心为； （3）若是偶函数，则，令，则，则图象的对称轴是； （4）若是偶函数，则，令，则，图象的对称轴是； （5）若的图象关于点对称，令，所以， 即， 所以的图象关于点中心对称； （6）若的图象关于直线对称，则，则，即，则图象的对称轴是； 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 3．（24-25高一下·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，由题意可得函数为奇函数，由此结合，利用奇偶性，可得相应等式，求出，即可求得答案. （2）由（1）结论可得，由此将所要求值的等式分组求和，即可求得答案. 【详解】（1）由题意设函数图象的对称中心为， 由于函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． 即函数为奇函数， 而， 由于，即 ， 因为，故，解得， 即函数图象的对称中心为； （2）由（1）的结论可知， 则， 而， 故 . 4．（24-25高一上·上海松江·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若关于的方程在上有解，求实数的最大值； (3)证明：函数关于点中心对称. 【答案】(1) (2)最大值为 (3)证明见解析 【分析】（1）解分式不等式来求得不等式的解集. （2）通过求在上的值域来求得的取值范围，进而求得的最大值. （3）通过证明、都在的图象上来证得函数关于点中心对称. 【详解】（1）的定义域为， 因为， 所以 ，即， 所以， 因为，所以，解得， 由，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得关于的方程在上有解， 则的取值范围即在上的值域. 因为，所以， 所以， 即，所以实数的最大值为. （3）在函数的图象上任意取一点， 关于点的对称点， 由得，即 , 把代入得 , 所以对称点在函数的图象上. 即函数的图象关于中心对称. 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 函数的奇偶性与对称性 【知识梳理】 1 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 3 【考点2：由奇偶性求函数值】 4 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 5 【考点4：抽象函数的奇偶性】 7 【考点5：已知奇偶性求参】 9 【考点6：函数图象的识别】 9 【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 11 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 12 【考点9：判断或证明函数的对称性】 14 【知识梳理】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 2．函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 3. 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 4．函数奇偶性的应用 求解析式 利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解 求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法 比较大 小问题 一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小 抽象不等 式问题 其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题 5．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 6．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 7．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 1．（24-25高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·贵州铜仁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·陕西商洛·模拟预测）若函数 ，则（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．的最小值为 0 5．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 6．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【考点2：由奇偶性求函数值】 1．（24-25高一上·北京昌平·期中）已知函数满足 （1）若函数是偶函数，则 ； （2）若函数是奇函数，则 2．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 3．（24-25高一·全国·单元测试）已知函数是上的奇函数，当时，，则 ， ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+1，则f(-2)= ，f(0)= . 5．（24-25高一上·河北沧州·期中）定义在上的奇函数满足，则 ， ． 6．（2025高三·全国·专题练习）若奇函数满足，，则 ， ． 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 5．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 【考点4：抽象函数的奇偶性】 1．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 3．（24-25高一·上海·假期作业）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，试判断函数的奇偶性. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 5．（24-25高一上·安徽亳州·期中）函数，满足任意的，，都有，当时，且. （1）求和的值； （2）证明的奇偶性； （3）判断的单调性. 6．（24-25高一·全国·阶段练习）已知函数，当 时，恒有 . (1)若 ，求，的值； (2)判断函数的奇偶性. 【考点5：已知奇偶性求参】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 2．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 【考点6：函数图象的识别】 1．（24-25高一上·甘肃陇南·期中）的图像大致是       A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津和平·期末）下列图象中，函数的部分图象有可能是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高三上·福建·期中）若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 1．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东珠海·期末）已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南郴州·阶段练习）定义域为的函数是偶函数，且对任意，．设，，，则． A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【考点9：判断或证明函数的对称性】 1．（2025高三·全国·专题练习）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （6）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 3．（24-25高一下·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 4．（24-25高一上·上海松江·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若关于的方程在上有解，求实数的最大值； (3)证明：函数关于点中心对称. 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$