专题06 指数与对数及指数对数幂函数（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题06 指数与对数及指数对数幂函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 6.1 指数幂的运算与化简 能熟练运用分数指数幂、负指数幂的运算法则进行化简计算。 计算能力的基础考查。 6.2 对数的定义与运算性质（积、商、幂、换底公式） 能进行对数式与指数式的互化，并能运用运算性质化简求值。 高频计算题，公式记忆和运用是易错点。 6.3 指数函数与对数函数的图象与性质（定点、单调性） 能根据底数a>1或0<a<1判断函数图象和单调性。 所有比较大小、解不等式问题的基础。 6.4 利用指数/对数函数单调性比较大小 能将幂值、对数值化归到同一函数，利用单调性比较。 高频考点，常需引入中间量0或1。 6.5 简单的指数/对数不等式求解 能利用单调性（注意底数决定不等号方向）解简单不等式。 易错点在底数在(0,1)时不等号要反向。 6.6 幂函数的图象与性质（定义域、奇偶性、单调性、过定点） 能掌握5类等常见幂函数的性质。 常与指数、对数函数放在一起比较。 6.7 不同函数增长差异的比较 能在图象上识别直线上升、指数爆炸、对数增长的区别。 新教材素养题，考查直观想象 6.8 指数型/对数型复合函数的单调性 能判断指对复合函数的单调性，掌握“同增异减”法则。 中档难点。易错点是忽略内层函数f(x)本身的定义域及其单调性对整体的影响。 6.9 指数型/对数型复合函数的值域 能通过换元法，将复合函数转化为二次函数等基本函数在特定区间上求值域。 中档难点。易错点是在换元后，未能准确求出新元（内层函数f(x)）的取值范围（即新函数的定义域） 知识点01 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 知识点02 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 知识点03 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 知识点04 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点05 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 知识点06 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点07 比较指数幂大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 知识点08 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    知识点09 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点10 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 和 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 知识点11 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 知识点12 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 知识点13 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 ;若自变量在底数上，应保证底数 知识点14 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 知识点15 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 知识点16 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 知识点17 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 知识点18 幂函数的奇偶性 题型一 指数与对数的运算 【典例1】（24-25高一上·陕西渭南·期中）计算下列各式的值： (1)； (2) (3)已知，求的值． 【典例2】（24-25高一上·北京·期中）计算： (1) (2) (3)，，试用，表示 【变式1】（24-25高一上·河南漯河·期中）（1）计算. （2）计算. （3）化简：. （4）已知，求的值. 【变式2】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）（1）已知x，y，z为正数，若，求的值. （2），，化简：. （3）求值（其中）. 题型二 指数函数的图象及其应用 解｜题｜技｜巧 （1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。 （2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。 （3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。 【典例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 【变式1】（24-25高一上·福建泉州·期中）且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【变式2】“是函数且）的图象经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 指数（型）函数的单调性 解｜题｜技｜巧 （1）当底数大于 1 时，指数函数单调递增；底数大于 0 小于 1 时，单调递减。 （2）对于指数型复合函数，依据 “同增异减” 原则判断单调性。 （3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型四 指数（型）函数的值域与最值 解｜题｜技｜巧 （1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。 （2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。 （3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于 0。 【典例1】（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【变式2】若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 题型五 对数函数的图象与性质 【典例1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象的可能是（    ） A．    B．   C．   D．   【变式2】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 题型六 对数（型）函数的单调性 解｜题｜技｜巧 （1） 看底数。 （2） 对于复合函数，用 “同增异减” 的原则，把函数拆成外层对数函数和内层函数，分别判断它们的单调性，再综合起来看。 （3）函数里有参数时，讨论参数对底数范围的影响，确定不同参数情况下函数的单调区间。 【典例1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型七 指对数函数中奇偶性的应用 【典例1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．2 【典例2】（全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【典例3】设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型八 指对数函数值的大小比较 【典例1】（24-25高一上·吉林·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型九 幂函数的图象 【典例1】下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【变式1】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   题型十 幂函数的单调性与奇偶性 【典例1】幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【典例2】（24-25高一上·山西朔州·期中）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C．或 D．不存在 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 3．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 6．（24-25高一上·浙江·期中）若，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D．． 三、解答题 7．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 8．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·海南三亚·期中）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·四川成都·期中）函数在上单调递减的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高一上·安徽·期中）若正数a，b满足，则的最大值是 . 15．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 四、解答题 16．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知函数，其中，，. (1)当时，证明：函数在区间上是减函数. (2)讨论函数的奇偶性，并说明理由. (3)当时，若实数满足，求实数的范围. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 18．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 24．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 25．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 指数与对数及指数对数幂函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 6.1 指数幂的运算与化简 能熟练运用分数指数幂、负指数幂的运算法则进行化简计算。 计算能力的基础考查。 6.2 对数的定义与运算性质（积、商、幂、换底公式） 能进行对数式与指数式的互化，并能运用运算性质化简求值。 高频计算题，公式记忆和运用是易错点。 6.3 指数函数与对数函数的图象与性质（定点、单调性） 能根据底数a>1或0<a<1判断函数图象和单调性。 所有比较大小、解不等式问题的基础。 6.4 利用指数/对数函数单调性比较大小 能将幂值、对数值化归到同一函数，利用单调性比较。 高频考点，常需引入中间量0或1。 6.5 简单的指数/对数不等式求解 能利用单调性（注意底数决定不等号方向）解简单不等式。 易错点在底数在(0,1)时不等号要反向。 6.6 幂函数的图象与性质（定义域、奇偶性、单调性、过定点） 能掌握5类等常见幂函数的性质。 常与指数、对数函数放在一起比较。 6.7 不同函数增长差异的比较 能在图象上识别直线上升、指数爆炸、对数增长的区别。 新教材素养题，考查直观想象 6.8 指数型/对数型复合函数的单调性 能判断指对复合函数的单调性，掌握“同增异减”法则。 中档难点。易错点是忽略内层函数f(x)本身的定义域及其单调性对整体的影响。 6.9 指数型/对数型复合函数的值域 能通过换元法，将复合函数转化为二次函数等基本函数在特定区间上求值域。 中档难点。易错点是在换元后，未能准确求出新元（内层函数f(x)）的取值范围（即新函数的定义域） 知识点01 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做___根式 ___，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①__负数____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作___0___． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 知识点02 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 知识点03 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 知识点04 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点05 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 0 时， 1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 知识点06 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点07 比较指数幂大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断． 知识点08 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 底数 ，N叫作对数的 真数 ．    知识点09 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点10 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 负数 和 零 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 知识点11 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 知识点12 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 知识点13 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0且不等于1 知识点14 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 知识点15 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 以为底数的对数式 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 换元法（令） ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 知识点16 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 知识点17 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 知识点18 幂函数的奇偶性 题型一 指数与对数的运算 【典例1】（24-25高一上·陕西渭南·期中）计算下列各式的值： (1)； (2) (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）利用指数运算法则计算. （2）利用对数运算法则求解. （3）利用指数运算法则化简计算. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，即， 所以. 【典例2】（24-25高一上·北京·期中）计算： (1) (2) (3)，，试用，表示 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可. （2）根据对数的运算性质计算即可. （3）根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则计算即得. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由，得， 则. 【变式1】（24-25高一上·河南漯河·期中）（1）计算. （2）计算. （3）化简：. （4）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）5；（3）；（4） 【分析】（1）（3）应用有理数指数幂及根式与指数幂关系化简、求值即可； （2）应用对数的运算性质化简求值； （4）根据指数幂的性质可得、，代入目标式即可求值. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）因为，两边同时平方并整理得，同理可得， 所以. 【变式2】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）（1）已知x，y，z为正数，若，求的值. （2），，化简：. （3）求值（其中）. 【答案】（1） ；（2）；（3） 【分析】（1）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （2）由，，根据根式指数运算性质化简可得； （3）由根式指数式运算性质，指数对数运算性质进行计算即可. 【详解】（1）由题意知，令，则， 所以， 所以. （2）因为，所以， ， 因为，所以 所以， 所以． （3）因为， 所以 . 题型二 指数函数的图象及其应用 解｜题｜技｜巧 （1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。 （2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。 （3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。 【典例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质，得到，从而，再利用图象的变化得到的图象，即可求解. 【详解】因为函数恒过点， 所以，其图象可由向下平移个单位得到，图象如图， 由图知不经过第二象限， 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·福建泉州·期中）且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数的性质即可得解. 【详解】，故函数恒过点. 故选：A. 【变式2】“是函数且）的图象经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象特征，结合与0的关系，即可分别求解充分性和必要性，进而根据充要条件的定义求解. 【详解】解：对于函数且）， 当时，，结合指数函数的图象特征，可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立； 对于函数且），当时，且单调递减，此时它不经过第三象限， 当时，为增函数且，经过第三象限，故符合题意，必要性成立， 综上所述，“”是“函数且）的图象经过第三象限”的充要条件． 故选：C． 题型三 指数（型）函数的单调性 解｜题｜技｜巧 （1）当底数大于 1 时，指数函数单调递增；底数大于 0 小于 1 时，单调递减。 （2）对于指数型复合函数，依据 “同增异减” 原则判断单调性。 （3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质，再由二次函数在区间上的单调性即可得结果. 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性与指数函数、二次函数的单调性判断． 【详解】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 故选：C． 题型四 指数（型）函数的值域与最值 解｜题｜技｜巧 （1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。 （2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。 （3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于 0。 【典例1】（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 【变式1】（山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【答案】 【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以. 考点：指数函数的性质. 【变式2】若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【分析】由题可得，，即求. 【详解】∵函数在上有最大值， ∴，， ∴，解得或（舍去）. 故选：A. 题型五 对数函数的图象与性质 【典例1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算性质求得点，代入指数函数解析式即可求解参数a. 【详解】，当，即，所以， 由的图象经过，所以，因为，得. 故选：C 【变式1】在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象的可能是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由题意结合指数函数、对数函数的图象与性质可得两函数图象经过的定点，验证即可得解. 【详解】指数函数的图象过点，对数函数的图象过点， 只有C选项符合，当，函数图象与C选项一致. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数图象与性质的应用，属于基础题. 【变式2】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可求解. 【详解】如图，设，则的中点为， 点在函数图象上，且轴，则， 由图可知点在的左侧，即. 故选：B 题型六 对数（型）函数的单调性 解｜题｜技｜巧 （1） 看底数。 （2） 对于复合函数，用 “同增异减” 的原则，把函数拆成外层对数函数和内层函数，分别判断它们的单调性，再综合起来看。 （3）函数里有参数时，讨论参数对底数范围的影响，确定不同参数情况下函数的单调区间。 【典例1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 【变式1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解. 【详解】由于在上单调递减，令，， 因为为减函数，又在区间上单调递增， 由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减， 且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下， 对称轴为，由在上单调递减，可得，解得， 由在上恒成立，即，， 可得在上恒成立，则， 综上，实数a的取值范围为 故选：D. 【变式2】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解. 【详解】由，解得， 故函数的定义域为， 令，其在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数为减函数， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 题型七 指对数函数中奇偶性的应用 【典例1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，即可利用和的关系求解. 【详解】由于的定义域为,故， 故，解得（负值舍去）， 故选：C 【典例2】（全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 【典例3】设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算公式可知，可知为偶函数，又当时，，可知当时，的解析式，结合复合函数单调性及函数的奇偶性可值的单调性，根据奇偶性及单调性可解不等式. 【详解】由对数运算公式可知， 所以，即函数为偶函数. 又当时，，即， 所以当时，. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以不等式等价于，即，解得. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数偶函数的定义判断各个选项的奇偶性即可. 【详解】观察各个选项，函数的定义域均为，关于原点对称，对于定义域内任意的，可代入判断如下： 对A选项，，可知其为偶函数； 对B选项，可知其为奇函数； 对C选项，，可知其为偶函数； 对D选项，，即不等于又不等于，可知其既不是奇函数，也不是偶函数. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的性质，利用性质求解不等式. 【详解】依题意，函数，函数是上的奇函数， ，函数分别是上的减函数和增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是准确分析出给定函数的单调性和奇偶性. 题型八 指对数函数值的大小比较 【典例1】（24-25高一上·吉林·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较指数幂及对数式的大小. 【详解】因为，，， 则. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质可判断的正负，再利用指数的运算性质比较大小即可. 【详解】由指数函数性质可知，， 由对数函数性质可知， 又因为， 所以，即. 综上可得：. 故选：B. 【典例3】的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数性质及基本不等式比较各数的大小. 【详解】由， 由，即，故， 综上，. 故选：A 【变式1】已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间变量法得到，利用构造函数法得到即可. 【详解】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C 【变式2】若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 题型九 幂函数的图象 【典例1】下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 【变式1】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 【变式2】在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   【答案】D 【分析】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案. 【详解】解：因为二次函数的对称轴为， 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确； 故选：D. 题型十 幂函数的单调性与奇偶性 【典例1】幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可． 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·山西朔州·期中）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，其图象不关于原点对称，不符合题意，舍去； 若，则，其图象不过原点，且关于原点对称，符合题意. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义，结合偶函数特征求解即得. 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故选：A 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质，得到，从而，再利用图象的变化得到的图象，即可求解. 【详解】因为函数恒过点， 所以，其图象可由向下平移个单位得到，图象如图， 由图知不经过第二象限， 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 3．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定与的单调性，由复合函数的单调性可求单调递减区间. 【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是. 故选：D. 4．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据、、的单调性，比较，，与0，1的大小，即可比较 【详解】在上是减函数，； 在上是增函数，； 在上是减函数，， 故. 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 【答案】AB 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得，则， 对A，当，，所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故CD错误，B正确， 故选：AB． 6．（24-25高一上·浙江·期中）若，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】AD 【分析】根据对数函数与指数函数的性质结合指对运算逐项判断即可得结论. 【详解】由，可得，利用换底公式可得，A项正确； 因为，且， 所以，则， 所以，选项B错误， 因为，所以，C项错误； ，所以，D项正确． 故选：AD． 三、解答题 7．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求； （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化为代数不等式求解. 【详解】（1）由题意，，所以， 所以. （2）， 所以且. 故所求不等式的解集为：. 8．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算； （3）根据指数幂的运算法则计算． 【详解】（1） ＝； （2） ＝ ＝ ＝； （3）由，得， 则． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数法可求得函数的增区间. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 10．（24-25高一上·海南三亚·期中）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造指数函数和幂函数，通过指数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意， 对于，构造函数，函数在单调递增， 即 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 所以. 故选：B. 11．（24-25高一上·四川成都·期中）函数在上单调递减的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0，可求得充要条件，进而可得必要不充分条件. 【详解】令，而为增函数， 所以函数在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立， 即，解得. 所以函数在上单调递减的充要条件是， 所以是函数在上单调递减的必要不充分条件. 故选：A. 二、多选题 12．（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将化为同底的对数，再对前两个选项计算后判断大小，对于C选项可直接利用对数函数的单调性判断，D选项由基本不等式即可判断． 【详解】由题意可得. 对于A，，所以A正确: 对于B，，所以B正确: 对于C，因为，所以，所以，C正确; 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以取不到等号，所以，所以D错误. 故选：ABC. 13．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以 ，所以B错误， 对于C，因为，所以 ，所以C正确， 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题 14．（24-25高一上·安徽·期中）若正数a，b满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算即可得出答案. 【详解】因为对任意实数x，y都有，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故的最大值是． 故答案为：. 15．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式的解法以及对数函数的单调性可得出原不等式的解集； （2）令，由题意可得出，求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）因为，令， 由可得，可得， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知函数，其中，，. (1)当时，证明：函数在区间上是减函数. (2)讨论函数的奇偶性，并说明理由. (3)当时，若实数满足，求实数的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数,理由见解析 (3)或 【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可. （2）由函数奇偶性定义进行判断即可. （3）应用函数的偶函数的性质再结合函数的单调性得出不等关系，计算即可求出参数范围. 【详解】（1）由题， 设任意， 则 ， 因为， 所以，且， 则， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数. （2）因为，定义域为R， 则， 若为偶函数，则， ； 若为奇函数，则， 所以因为为变量，所以无解； 所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数. （3）因为当时，，为偶函数， 所以， 所以，又因为函数在区间上是减函数， 所以函数在区间上是增函数， 所以，所以或， 所以或 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 18．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 19．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 21．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 22．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 23．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 24．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 二、填空题 25．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $