第4章 锐角三角函数 章末训练 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

第4章锐角三角函数章末训练2025-2026学年 湘教版九年级上册 一、选择题 1.如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3.在中，，，，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 4.若，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 6.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知，AD＝2CD＝2，则BE的长为（　　） A．4 B． C． D．3 8.在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 9.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 10．如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1：5，则AC的长度是（　　） A．200cm B．210cm C．240cm D．300cm 二、填空题 11.，则 ． 12.如图，在中，，，，则的值是 ． 13.在中，，是边上的高，，，则的面积为 ． 14.如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    15.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 16.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ． 三、解答题 17.计算：． 18.已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 20.如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿方向前进到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，若建筑物高度，求的长度． 21.如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上． (1)求点C到线段AB的距离； (2)求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：， 22.图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 第4章锐角三角函数章末训练2025-2026学年 湘教版九年级上册 一、选择题 1.如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3.在中，，，，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 4.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 6.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知，AD＝2CD＝2，则BE的长为（　　） A．4 B． C． D．3 【答案】B． 8.在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 9.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 【答案】A． 10．如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1：5，则AC的长度是（　　） A．200cm B．210cm C．240cm D．300cm 【答案】C． 二、填空题 11.，则 ． 【答案】30 12.如图，在中，，，，则的值是 ． 【答案】 13.在中，，是边上的高，，，则的面积为 ． 【答案】或/或 14.如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【答案】/ 15.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 【答案】７米 16.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ． 【答案】 三、解答题 17.计算：． 【答案】1 【详解】解：原式 18.已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【答案】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝＝7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝． 20.如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿方向前进到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，若建筑物高度，求的长度． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， 在Rt中，， 解得， 设，则， 在Rt中，， 解得． 经检验是原方程的解且符合题意． ∴CD的长度为． 21.如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上． (1)求点C到线段AB的距离； (2)求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：， 【答案】(1)40海里；(2)109海里． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M， 由题意可得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， 即点C到线段的距离为40海里； （2）（2）∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵（海里）， 答：A处与灯塔B相距109海里． 22.图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $