第4章 锐角三角函数 单元试卷 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

第4章 锐角三角函数 单元试卷 2025-2026学年湘教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．的值等于（　　　） A． 2．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 8．如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(　　) A． B． C． D．. 10．如图，将正方形折叠，使得点落在边的点上，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11． ． 12．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ，堤坝高BC＝50m，则AB＝ m． 13．如图，在中，，，，则 ． 14．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 15．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 16．如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则 ． 17．如图，在中，，为中点，点在线段上，，，，则线段的长为 ． 18．如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于 ． 三、解答题 19．计算. 20．如图，在中，，，延长至点，连接． （1）求的值； （2）若，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，，． （1）求点的坐标； （2）求． 22．十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 23．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 24．如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，踏板长为，与地面的夹角，支架长为，，求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离．（结果精确到.参考数据：，，，） 25．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． （2）为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） （3）你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 参考答案 1．【答案】B 2．【答案】D 【分析】由，，可利用锐角三角函数求出AC边的长，再利用勾股定理，即可求出BC的长． 【详解】解：如图，    在中，， ， ， 在中，． 故选D． 3．【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选C． 4．【答案】A 【分析】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 则的值为． 故选A． 5．【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选C． 6．【答案】B 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，由题意得：，进而得，推出、即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴、； ∴； ∴是直角三角形； 故选B 7．【答案】D 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选D 8．【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；由题意易得，然后根据可分别得出的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9．【答案】D 【分析】设小正方形边长为1，先利用勾股定理求AC，再代入cosC=． 【详解】解：设小正方形边长为1，则AC=． 所以，cosC= 故选D． 10．【答案】D 【分析】利用正方形和折叠的性质，通过证明三角形全等求出正方形边长及相关线段，再证明三角形相似，结合勾股定理求解的长度． 【详解】连接交于，过作于，过作于点． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形，． 由折叠可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，设，则， ∴． 由折叠可知，， ∴，． 在中，， ∴， 解得（舍去负根）． ∴，，，，． ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴，即， ∴，， ∴， 在中，． 故选． 11．【答案】/0.5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值的表格直接求解． 【详解】解：. 12．【答案】100 【详解】解：根据坡度可得：BC：AB=1：2， ∵BC=50m， ∴AB=100m． 13．【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 14．【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 15．【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 16．【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 作交于．由可以假设，，推出，，想办法求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于． 在中， 可以假设，， ，， ， ，， ， ， . 17．【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．解题的关键在于合理的添加辅助线证得，． 过点作交的延长线于点，设，则，，，进而可得，可知，，根据，设，则，则， 进而的，得，由勾股定理可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 设，则，，， ∴， ∴，， 在中，， 设，则，则， ∵为中点，则， ∴， ∴， 在中，，，则， 则， 则. 18．【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得，即，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，再利用解直角三角形，即可求得． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵， ∴∠EDP=∠DAB=45°， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵， ∴. 19．【答案】原式. 20．【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）作于点，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义即可求解； （2）利用正切的定义可得，求出的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点， ，， ，， ， 在中，． （2）解：在中，， ， ， ． 21．【答案】（1） （2） 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出长． （1）过点作于点，由点的坐标为，得到，求出，由锐角的正弦定义求出，由勾股定理求出，即可得到点的坐标为； （2）求出的长，由锐角的正切定义即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 点的坐标为， ， ，， ， ， ， 点的坐标为； （2），， ， ． 22．【答案】居民楼的高度约为 16 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后设米，则米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据同一时刻物高与影长是成正比例列出比例式，从而进行计算可求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 设米， 则米， 在中，（米）， 米， 由题意得：， ， 解分式方程得：， 经检验：是原方程的根， 米， 答：居民楼的高度约为16米． 23．【答案】（1） （2） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 24．【答案】1.3m 【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解． 【详解】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G． ∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°， ∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°， ∴∠CAF=60°， 在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF=m， 在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE=1.5·sin15°， ∴FG=FC+CG=+1.5·sin15°≈1.3m． 故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m． 25．【答案】（1）见详解 （2）这片区域的面积约为平方米 （3）见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $