精品解析：湖南省益阳市安化县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

安化一中2025年下学期高一12月月考 数学试题卷 命题：赵京梁 审题：谭玲 时间：120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集， 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集与补运算即可. 【详解】全集， 集合， 则，所以. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数有意义，则，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为：． 故选：C 3. 设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中数据，得到的方程近似解可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 4. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性可判断. 【详解】因为在上单调递增，所以； 因为在上单调递减，所以； 又因为在上单调递减，所以； 综上：. 故选：C 5. 已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，由定义域排除CD，根据单调性排除B，得到答案. 【详解】当时，取得最大值，则，所以， 由，得，C，D错误． 当时，单调递减，B错误． 故选：A． 6. 函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】由题意得，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 7. 已知函数的定义域为,为偶函数，对任意，当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据函数的定义域为，为偶函数，得到函数关于对称，根据函数在为增函数，得到函数在为减函数.从而将不等式等价于，解不等式即可. 【详解】解：因为函数的定义域为，为偶函数， 所以，得到函数关于对称. 因为函数在为增函数， 所以函数在为减函数. 不等式等价于 即或 令， 得到：或 当时，无解. 当时， ，解得：， 即，. 故选： 【点睛】本题主要考查了函数的平移，函数的奇偶性和单调性，同时还考查了绝对值不等式的解法，属于难题. 8. 已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，判断函数单调性，由单调性可知；当时，根据单调性的性质和复合函数单调性可知单调递增，可得，然后将原不等式转化为即可得解. 【详解】当时，， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 所以； 当时，， 因为在上单调递增，为增函数， 所以在上单调递增， 又在上为增函数，所以在单调递增， 所以. 综上，在上恒成立，当且仅当时取等号. 所以不等式， 解得且且，即原不等式的解集为. 故选：D 【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单调性求解即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的定义域和对应关系逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，即函数不相等，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，即函数不相等，故B错误； 对于选项C：因为与的对应关系相同， 且两个函数的定义域均为，所以函数相等，故C正确； 对于选项D：因为与的对应关系相同， 且两个函数的定义域均为，所以函数相等，故D正确； 故选：CD 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. “”的充分不必要条件是“”． B. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 C. 已知，，则的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用集合子集关系判断A，利用存在量词命题假来求参数范围判断B，利用不等式运算性质来判断C，利用具体函数定义域来判断D． 【详解】对于A，集合是集合的真子集， 则“”是“”的必要不充分条件，A错误； 对于B，由命题“”为假命题，得方程无实根， 则，解得，B正确； 对于C，由，得，则，而， 因此，即，C正确； 对于D，依题意，，解得， 则函数的定义域为D错误. 故选： 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为6个 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项. 【详解】∵函数为偶函数，即 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图像如下图， 令，则，，，为方程的解,所以 ∴，即，∴，∴， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或 ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D选项错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分. 12. _____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得. 【详解】因为，， ，， ， 故答案为：. 13. 已知，，且，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 14. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此将对任意实数恒成立，化为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，再结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于，即恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 故为R上的奇函数； 而在R上单调递增， 故在R上单调递增， 又不等式对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 而，当且仅当即时取等号， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断函数的奇偶性以及单调性，从而脱去不等式中的函数符号，转化为关于自变量的不等式，继而分离参数，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求与 （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合，再根据集合的运算求解即可； （2）由，得，从而可求解. 【小问1详解】 由，得，解得， 故. 又， 当时，， 所以. 又或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，， 所以, 故实数a的取值范围为. 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时， . （1）求函数在上的解析式； （2）在给定的坐标系内画出函数的图象（不需列出表格），并写出函数的单调增区间； （3）若关于x的方程有2个不同解，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）图象见解析，单调增区间为和 （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，，代入条件，化简整理，根据为偶函数，即可求得答案. （2）根据解析式，作出图象，进而可得单调递增区间. （3）由题意与图象有2个不同交点，作出图象，分析判断，即可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为是定义在R上的偶函数， 所以 【小问2详解】 的图象，如图所示： 由图象可得，的单调增区间为和. 【小问3详解】 由图象可得， 因为关于x的方程有2个不同解， 所以与的图象有2个不同交点， 作出与的图象，如图所示 则或，解得或， 所以实数m的取值范围或. 17. 已知定义域是的函数是奇函数. （1）求函数的解析式，并求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义推导参数，代入解析式计算函数值； （2）化简函数后用定义法比较函数值差的符号，证明单调性； （3）结合奇偶性与单调性转化不等式，分离参数后利用函数单调性求最值. 【小问1详解】 由是上的奇函数，得， 即， ， ， 得，故. 代入，因， 得. 【小问2详解】 在上单调递增， 证明：化简，任取， ， 因，故，分子，分母， 得，即，故在上单调递增. 【小问3详解】 由奇函数性质，， 又单调递增，故，即对恒成立. 分离得，. 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取最小值，故， 即的取值范围为. 18. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）1.5小时. 【解析】 【分析】（1）根据题图及图象所过的点，结合给定模型求函数关系式； （2）经分析有，结合指数函数单调性及指对数关系求范围，即可得结论. 【小问1详解】 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，则， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为. 【小问2详解】 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 则，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室. 19. 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间“. （1）判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由； （2）如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先假设函数存在“和谐区间”，结合函数为增函数，则有，解方程判断即可； （2）化简得，函数为增函数，故满足，即m､n是方程的两个同号的实数根，结合判别式求出参数范围，再将等价变形为，结合韦达定理和二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 设是函数的“和谐区间”，则在上单调， 所以或，因此，在上为增函数， 则，即方程有两个解m，n， 又因为可化为：x2-3x+4=0，而x2-3x+4无实数解， 所以函数不存在“和谐区间”； 【小问2详解】 因为在上单调递增， 所以或，则， 所以m､n是方程的两个同号的实数根， 即方程有两个同号的实数根，注意到. 只要，解得a>1或a<-3， 所以， 其中a>1或a<-3，所以当a=3时，n-m取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安化一中2025年下学期高一12月月考 数学试题卷 命题：赵京梁 审题：谭玲 时间：120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集， 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ） A B. C. D. 4. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（ ） A B. C. D. 6. 函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为,为偶函数，对任意，当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. “”的充分不必要条件是“”． B. 若命题“”为假命题，则实数m取值范围是 C. 已知，，则的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为6个 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分. 12. _____． 13. 已知，，且，的最小值为________． 14. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求与 （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时， . （1）求函数在上的解析式； （2）在给定坐标系内画出函数的图象（不需列出表格），并写出函数的单调增区间； （3）若关于x的方程有2个不同解，求实数m的取值范围. 17. 已知定义域是的函数是奇函数. （1）求函数的解析式，并求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 19. 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间“. （1）判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由； （2）如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $