精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期第四次阶段性考试数学试题

牡丹江二中2025—2026学年度高三第四次阶段性考试试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算化简后即可求解. 【详解】复数， 故虚部为. 故选：A 3. 已知直线与直线.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行求出，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】和平行， ， 或. 当时，，，； 当时，，，. “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，在长方体中记平面为平面，平面为平面，直线为直线，由此可得，，但，故A错误，对于B，设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作，由可得，证明，，由此可得，判断B，对于C，过直线作平面，，过直线作平面，，由线面平行性质定理可得，，再由线面平行判定定理证明，再证明结论，判断C，对于D，结合面面平行的定义和线面平行的定义即可判断. 【详解】对于A，如图，多面体为长方体， 记平面为平面，平面为平面，直线为直线， 则若，，此时，故A错误， 对于B，如图，，，， 设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作， 因为，，，，所以，又， 所以， 同理， 因为，，，， 所以为二面角的平面角，又， 所以，又，，所以，B正确， 对于C，如图，，， 过直线作平面，，因为，，所以， 过直线作平面，，因为，，所以， 所以，又，，所以，又，， 所以，又，所以，C正确， 对于D，因为，所以平面与平面没有公共点， 又，所以直线与平面没有公共点， 所以，D正确， 故选：A. 5. 已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，得到点到直线的距离的取值范围，由，得到的范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的取值范围为， 由，得到. 故选：B. 6. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 7. 在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 8π C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可. 【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中， 如图①所示： 取的中点，连接，连接交于， 由， 则在等腰中有：， 又平面平面，且平面平面ABCD=， 则平面， 又， 所以在中， ， 由底面为正方形， 所以它的外接圆的圆心为对角线的交点， 连接，则， 外接圆的圆心为，且在上， 过点，分别作平面与平面的垂线， 则两垂线必交于点，点即为四棱锥外接球的球心， 且平面， 又平面，即平面， 所以， 所以四边形为矩形. 如图②连接，则， 在中，， 所以， 解得， 所以， 所以， 在图①中连接， 由， 所以在中， ， 即四棱锥外接球的半径为， 所以四棱锥外接球的表面积为： ， 故选：C. 8. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义分别求得和，再构造函数，根据导数确定零点的取值范围即可求解． 【详解】，则，即， ，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 B. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 已知，过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求得，即，得到或在平面内，可判定A错误；设存在实数，使得，列出方程组，结合方程组无解，可判定B正确；根据空间向量的共面定理，可判定C错误；求得，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，由直线的方向向量为，平面的法向量， 可得，所以，则或在平面内，所以A错误； 对于B，由是空间的一组基底，设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以向量不共面， 所以也是空间一组基底，所以B正确； 对于C，假设四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 因为，可得， 所以，此时方程组无解，所以四点不共面，所以C错误； 对于D，由，可得， 要使得过的直线与线段相交， 如图所示，可得或，即或， 所以直线斜率的取值范围是，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，求出圆心和半径，分别讨论过的直线无斜率和有斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求解；选项B，求出，求的最小值转化为求的最小值，由点P是直线l：上一动点，转化为的最小值为圆心到直线的距离，求解即可；选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成，则四边形PMCN的面积，利用最小时最小，求解即可；选项D，设，得到直线MN的方程为， 求出直线MN过定点即可. 【详解】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切； 当过的直线有斜率时，设此直线方程为， ，圆心到的距离为， 直线方程为与圆相切，， ，，过的切线方程为， 即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和， 故选项A正确； 选项B，，求的最小值转化为求的最小值， 点P是直线l：上一动点， 的最小值为圆心到直线的距离， ，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积， 当最小时，最小，由选项B中可知，， 即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设， 过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N， 直线MN的方程为， 即， 整理得， ，解得，则直线MN过定点，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体棱长为1，点M是侧面上的一个动点（含边界），P，Q分别为棱，的中点，过点A，P，Q的平面记为，则（ ） A. 若M在线段上，则平面 B. 若，则点M的运动路径的长度为 C. 存在点，使得平面 D. 分正方体两部分的体积为，（），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面面平行的判定与性质即可判断A；作出截正方体所得的截面，过点作平面，截得正方体的截面为，根据几何关系即可判断B；连接，由线面垂直的判定得平面，过作平面平面，交延长线于点，由图即可判断C；由三棱锥的体积公式即可判断D． 【详解】对于A，由正方体得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故A正确； 对于B，作出截正方体所得的截面，如图所示，则 过点作平面，截得正方体的截面为，如图所示， 因为平面，所以， 此时，，进而， 所以，当在上运动时，满足，故B正确； 对于C，连接， 由正方体得，， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 同理得，，又平面， 所以平面， 当过的平面时，该平面平行于平面， 过作平面平面，交延长线于点，如图所示， 由图可知，平面与正方形无交点， 故不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，作出平面截得正方体的截面， 则， 所以， ， ， 所以，故D正确； 故选：ABD． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆方程的标准形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程表示椭圆， 则满足 ； 解得或，所以实数的取值范围. 故答案为：. 13. 在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 14. 已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合离心率定义，椭圆性质及其所过点计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线方程后可得与交点纵坐标有的关韦达定理，再利用三角形面积公式表示出面积后计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线斜率不为，则可设，设、， 联立，消去得， ， ，； 则， 则， 化简得，即， 则，即直线的方程为. 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及其单调增区间； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. 【小问1详解】 由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 17. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）若曲线在点处的切线与直线l：垂直，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； 【答案】（1）； （2）当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再根据导函数意义得到方程，解出即可； （2）对分和 讨论即可. 【小问1详解】 ，因为在点处的切线与直线l：垂直， 则，解得. 【小问2详解】 ，当时，，此时的单调增区间为，无单调减区间； 当 时，令，解得， 令，解得. 则此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， 【小问3详解】 假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 19. 已知数列满足. （1）求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 【答案】（1）由. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用构造法，即可得等差数列递推关系，从而可求得通项公式； （2）①利用错位相减法，即可求和； ②利用分离参变量法，再利用递推关系求解数列中的最大项，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. ②由，得.令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第 项取得最大值. 由，即 解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2025—2026学年度高三第四次阶段性考试试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知直线与直线.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 5. 已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 7. 在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 8π C. D. 8. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 B. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 已知，过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是 10. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 11. 如图，正方体棱长为1，点M是侧面上的一个动点（含边界），P，Q分别为棱，的中点，过点A，P，Q的平面记为，则（ ） A. 若M在线段上，则平面 B. 若，则点M的运动路径的长度为 C. 存在点，使得平面 D. 分正方体两部分的体积为，（），则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 13. 在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 14. 已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及其单调增区间； （2）若，求不等式的解集. 17. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）若曲线在点处的切线与直线l：垂直，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列满足. （1）求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $