精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

牡丹江二中2025—2026学年度第一学期高三学年期中试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（ ） A. 14 B. 30 C. 42 D. 60 4. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. B. 中的最小项为 C. 从第三项起，的每一项都大于它的前一项 D. 数列为等差数列 10. 如图，函数（，）两个相邻最高点间的距离是，且，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿x轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形.则该圆锥的体积为______. 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 14. 已知正数x，y满足，则的最小值是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 16. 在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . （1）求的值; （2）设 ，求的值. 17. 已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． （1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； （2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 18. 在三棱锥中，，，，E为中点，为中点，设平面与平面交于直线. （1）证明：； （2）若，，取中点，证明：平面. 19. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求的值； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2025—2026学年度第一学期高三学年期中试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】 则， 故选：C 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知， 则， 即复数的虚部为， 故选：C. 3. 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（ ） A. 14 B. 30 C. 42 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即得 【详解】因为等差数列的首项，公差为， 所以 故选：B. 4. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】因为， 对于A，若，则与有可能异面，故A错误； 对于B，若，则，又，则，故B正确； 对于C，若，则有可能，故C错误； 对于D，若，则与有可能相交，故D错误． 故选：B． 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的模长、数量积运算，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简，再根据函数的对称性得到，，最后由诱导公式计算可得. 【详解】因为 ， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，， 所以，， 所以，. 故选：D 8. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. B. 中的最小项为 C. 从第三项起，的每一项都大于它的前一项 D. 数列为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，写出相关项并确定最小项判断A、B、C，再应用等差数列的定义判断D. 【详解】， 对于A，，则，故A正确； 对于B，当时，中的最小项为，故B正确； 对于C，由上计算得，显然从第三项起，的每一项不一定大于它的前一项，故C错误； 对于D，由， 显然， 所以是公差为4的等差数列，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，函数（，）两个相邻最高点间的距离是，且，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿x轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到函数的周期，从而求得的值，判断选项A；根据，求的值，判断选项B；利用整体代入法判断函数的单调性，判断选项C；根据偶函数的定义判断选项D. 【详解】选项A：由题可知，所以，解得.所以选项A正确； 选项B：由，得，且在的单调减区间上，所以，即. 因为，所以，所以选项B错误； 选项C：由选项B知，. 若，则，， 所以函数在上单调递减.所以选项C正确； 选项D：由图可知：若将函数的图象沿x轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则向左平移，可使最小. 因为为偶函数， 所以，. 即，所以. 因为，所以.所以. 所以.当时，最小.所以选项D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可. 【详解】对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面，故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，因点是底面内一动点，则点到平面的距离为， 则，故C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型， 故其外接球可以为长宽高分别为的长方体的外接球， 则外接球半径，所以表面积，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形.则该圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】解：圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形， 圆锥的母线满足：， 解得：， 这个圆锥的高是：， 故圆锥的体积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 14. 已知正数x，y满足，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合指数运算性质得到，再由乘1法即可求解. 【详解】由可得：， 即， 即， 所以， 当且仅当，取等号， 所以的最小值是， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求切线的方程需要求出切线的斜率，根据点与斜率即可求出直线方程； （2）恒成立，分离变量，即对恒成立，构造新函数，利用导数求解新函数的最大值． 【小问1详解】 当时，，则， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 若对恒成立，即对恒成立， 设，可得， 由，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ∴在处取得极大值，且为最大值， ∴的取值范围为. 【点睛】曲线的切线问题要区分是“在点”还是“过点”切线问题，在点相比容易，“过点”则需设出切点；恒成立问题常见解法是分离变量，构造新函数求解最值，有时也可分情况讨论. 16. 在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . （1）求的值; （2）设 ，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出的值，再利用正弦定理得进行化简，然后得到相应的值； （2）由得到，再由余弦定理，得到，从而得到. 【小问1详解】 由，且， 则， 又因为，由正弦定理得， 所以 【小问2详解】 因为，得， 所以，即 由余弦定理得： 所以得， 所以， 所以. 17. 已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． （1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； （2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： X 1 3 5 P 期望为3 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可计算结果. （2）由题意可知的取值为1，3，5，然后求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望． 【小问1详解】 设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生” 则 【小问2详解】 ，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5， 则,, 故的分布列为： X 1 3 5 P 数学期望为 18. 在三棱锥中，，，，E为中点，为中点，设平面与平面交于直线. （1）证明：； （2）若，，取中点，证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由中位线得到，进而证明平面，再由线面平行的性质定理即可求证； （2）由，通过平方得到，在中，由余弦定理得到，，在中，得到 ，进而得到 ，再由 ，通过平方得到.进而得到.即可求证. 【小问1详解】 因为为，中点， 所以，且. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 平面平面， 所以 【小问2详解】 因为，N是中点， 所以. 在中，， 故. 又，，， 可得：. 在中，， 解得，所以. 在中，， 所以， ，所以. 在中，. 因为，且， 所以， 得. 在中，， 所以. 因为，平面， 所以平面. 19. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求的值； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 则， 【小问3详解】 由（1）可知，，则 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $