精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年度高三上学期第二次月考数学试题 本试卷满分150分，建议用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定义即可求得. 【详解】由可得，解得，即， 由可得，解得，即， 故. 故选：D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 3. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 4. 设等差数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先由求出，结合求出公差，最后根据等差数列通项公式求出. 【详解】因为，所以．又，所以公差，则． 故选：B 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6. 在中，，若，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得 的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【详解】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点， 则，，解得， 所以实数b的取值范围为． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，数列是首项为9,公差为-3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可. 【详解】因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列. 记公差为d,则,所以,. 选项A：.所以选项A正确. 选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误. 选项C：当，即.所以选项C正确. 选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由诱导公式结合的最小值求解判断；对B、C，代入法验证；对D，整体代换结合性质判断. 【详解】对于A：将的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 所以，．因为的最小值为， 所以，解得，A错误； 对于B、C：因为， 则，，B、C都正确； 对于D：当时，，在上单调递增，D正确． 故选：BCD. 11. 设函数，则（ ） A. 是的一条切线 B. C. 当时， D. 若在区间上有最小值，则实数的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得A；求导后计算可得B；构造函数，利用导数研究函数单调性后可得C；结合函数单调性利用最小值性质可得D. 【详解】对A：， 令，则或， 又，则在处的切线为，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：令，， 则， 故在上单调递增，又， 故，即，故C错误； 对D：由，则当时，， 当时，， 故在上单调递减，在、上单调递增， 又，且， 若在区间上有最小值，则有， 解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值. 【详解】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 13. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个．从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故答案为： 14. 已知关于 的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为在上有两个不同的实数根，设且，即为和的图象在上有两个不同的交点，结合正弦函数的图象，得出不等式，即可求解. 【详解】由方程，可得， 因为方程在上有两个不同的实数根， 即在上有两个不同的实数根， 设且，可得， 则在上有两个不同的实数根， 即和的图象在上有两个不同的交点， 如图所示：由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在天里的销售记录，绘制了以下频数分布表： 日销售量单位：个 频数 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求在未来连续天里，有连续天的日销量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率； （2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列、均值和方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 ，E()=0.9，D()=0.63 【解析】 【分析】（1）直接根据频率分布表及古典概率进行解答即可得到答案； （2）可能取的值为0，1，2，3，然后由二项分布求出其相应的概率，则均值与方差根据公式求解. 【小问1详解】 根据频数分布表知，日销售量不低于100个的概率为=0.6，日销售量低于50个的概率为． 设事件A：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”， 则． 【小问2详解】 由频数分布表知，日销售量不低于150个的概率为=0.3， 可取0，1，2，3，依题意知~B(3，0.3)． P(=0)=×=0.343， P(=1)=0.3=0.441， P(=2)=0.（1-0.3）=0.189， ． 的分布列为 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 E()=30.3=0.9，D()=30.30.7=0.63． 16. 已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式与前和公式结合已知条件求出首项和公差，进而即可求出通项公式； (2)由(1)得，再利用分组求和法即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为d， 若选择条件①， 由题可得，解得， 若选择条件②， 由题可得，解得， . 【小问2详解】 由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有， 则， 17. 已知数列的首项为其前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用，得出 是以为首项的常数列，数列的通项公式； （2）求出通项公式，利用裂项相消法求，再证明即可. 【小问1详解】 由题意，当时，. 当时，.又， 所以，当时，有，即. 这表明从第二项起，数列是以为首项的常数列，即. 所以，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，. 当时，， 所以，. 综上所述，对，都有. 18. 在中，． （1）求； （2）如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用二倍角公式得到求解； （2）在中，利用余弦定理得到，易得为等边三角形，再由表示，然后由四边形的面积求解. 【小问1详解】 解：由， 得， 化简得， 所以，故． 又，所以． 【小问2详解】 在中， ． 由（1）知．又，所以为等边三角形， 所以的面积 ． 又的面积， 故四边形的面积， ， ， 当时，四边形的面积最大，最大值为． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值点； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是的极大值点，无极小值点 （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点； （2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，函数的定义域为，且， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以是的极大值点，无极小值点． 【小问2详解】 解法一：设，， 则， 令，，则对任意恒成立， 所以在上单调递减． 又，， 所以，使得，即，则，即． 因此，当时，，即，则单调递增； 当时，，即，则单调递减， 故，解得， 所以当时，恒成立． 解法二：令，，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 因为，所以，当时等号成立， 即，当时等号成立， 所以的最小值为1． 若恒成立，则， 所以当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三上学期第二次月考数学试题 本试卷满分150分，建议用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 4. 设等差数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，若，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 11. 设函数，则（ ） A. 是的一条切线 B. C. 当时， D. 若在区间上有最小值，则实数的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______ 13. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个．从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为______ 14. 已知关于 的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在天里的销售记录，绘制了以下频数分布表： 日销售量单位：个 频数 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求在未来连续天里，有连续天的日销量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率； （2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列、均值和方差． 16. 已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 17. 已知数列的首项为其前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 18. 在中，． （1）求； （2）如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值点； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $