16.1相交线-垂线 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦“相交线——垂线”核心知识点，系统梳理垂线的定义、性质（过一点有且只有一条垂线）、画法，以及点到直线的距离和垂线段最短性质，构建从概念理解到作图操作、推理证明再到实际应用的学习支架。 资料通过例题与变式题分层设计，结合生活实例（如引水渠最短路线问题），培养学生几何直观与推理能力（数学思维），规范几何语言表述发展符号意识（数学眼光），助力课中教师高效教学与课后学生查漏补缺。

沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.1 相交线——垂线 知识梳理 知识点 相关题型 垂线的定义和性质 对垂线定义的理解 过一点（直线上和直线外）作已知直线的垂线 利用垂线的定义计算、推理、证明 判定两条直线是否垂直 点到直线的距离 度量点到直线的距离 利用垂线（段）的性质解释生活中的现象 知识点讲解 1.垂线的定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， 几何语言： ∵CD⊥AB 或者：∵∠COB=90o ∴∠COB=90o ∴CD⊥AB 2.垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”:一条直角边靠直线； “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线. 3.垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 说明：垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 4.点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 如图：PO<PA 理由是（垂线段最短），点P到直线l的距离是线段PO的长度. 例题讲解 【题型1】对垂线定义的理解 【例1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，对顶角相等的性质，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键． 由已知条件和观察图形，再利用垂直和角平分线的性质即可求出角的度数，再根据选项即可作出判断． 【详解】解：， ， 又， ， 平分， ， 和是对顶角， ， ， A选项说法正确， ， ， B选项说法正确， ， C选项说法正确， ， 的补角为， ∴D选项说法不正确， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·月考）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线、对顶角以及角平分线，根据垂直定义可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】 若平分 故选：B． 【题型2】垂线的画法 【例2】（25-26七年级下·山西·期中）下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的作法．根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可； 【详解】解：根据分析可得C的画法正确； 故选：C． 【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画垂线，根据垂线的定义，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【题型3】：利用垂线的定义计算、推理、证明 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）求解，，，结合角平分线的定义进一步求解即可． （2）设，可得，，，，进一步列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：设， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂线的定义，掌握垂线的定义及对顶角、邻补角是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，根据求出，再加上即可； （2）先由平角得出，根据知，继而由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了垂线，角的和差，解题的关键是利掌握以上知识点． （1）根据垂线的定义，可得与的度数，根据余角的定义，可得的度数，根据角的和差，可得答案； （2）根据角的和差，可得答案； （3）根据题意得出，，再根据角的和差，可得答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴． （3）解：．理由如下： 由题图①，得，． ∵， ∴． 【题型4】两条直线垂直的判定 【例4】（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． (1)若，试探究，的位置关系，并说明理由． (2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般） 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，邻补角的两条角平分线互相垂直 【分析】（1）根据，求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案； （2）根据∠BOC求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． （2）解：成立．理由： 因为， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． 规律：邻补角的两条角平分线互相垂直． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的和差计算，角平分线的计算，正确理解图形中各角的位置关系进行和差计算是解题的关键，还考查了由特殊到一般的解题思想． 【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差； （1）由垂直的定义得，等量代换得，即可得证； （2）由角的和差得，即可求解； 理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 即， 所以． （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以， 所以． 【题型5】点到直线的距离 【例5】（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【答案】(1)，垂线段最短 (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据垂线段最短判断即可； （2）根据点到直线的距离的定义和等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； （2）解：∵，，，，， ∴，即， ∴， ∴点A到线段的距离为． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 【题型6】利用垂线（段）的性质解释生活中的现象 【例6】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【答案】见解析 【分析】依据“垂线段最短”这一基本事实，确定从点到直线的最短路线是作垂线段．本题主要考查垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题关键． 【详解】解：如图，从河岸的点D处开渠，才能使所开的渠道最短．理由是垂线段最短． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 过点作于点，则从河岸的点处开渠，所开渠道最短，即为最短路线 ． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）作图题∶如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为E；则点C到的距离为线段 的长度； (2)连接 ，并比较下列两条线段的长度： （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ． 【答案】(1)见详解， (2)<，垂线段最短 【分析】此题考查了作垂线，垂线段最短的性质的应用，点到直线的距离，正确作出图形理解点到直线的距离是解题的关键． （1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂线段最短可得． 【详解】（1）解：线段，垂足为E，如图所示： 则点C到的距离为线段的长度, 故答案为：． （2）解：∵， ∵根据垂线段最短可知， 故答案为：<，垂线段最短． 【变式2】（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 过关检测 1．下列语句叙述正确的有（　　） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义、垂线段最短、垂线的性质、点到直线的距离的定义进行判断即可． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项符合题意； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意； D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查对顶角的定义、垂线段最短、垂线的性质、点到直线的距离以及相交线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D 3．下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 4．如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 5. 如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段，点到直线的距离，准确识图，熟练掌握点到直线的距离是解决问题的关键．根据垂线段，点到直线的距离逐项分析即可． 【详解】解：A．点到的距离是垂线段的长度，故原说法错误，故选项符合题意； B．点到的垂线段是线段，故原说法正确，故选项不符合题意； C．线段是点到的垂线段，故原说法错误，故选项符合题意； D．线段的长度是点到的距离，故原说法正确，故选项不符合题意； 综上，不正确的有2个． 故选：B． 6．读句画图并填空 如图，点P是外一点，根据下列语句画图． (1)过点P，作线段，垂足为C． (2)过点P作，交边所在直线于点D． (3)若，则的度数为____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查基本作图和垂直的定义以及三角形内角和定理， （1）延长，按照过定点作已知直线的垂线做法作图即可； （2）按照作平行线的做法作图即可； （3）根据平角求的得，利用平行得，再次根据垂直的定义求得，结合三角形内角和定理即可求得． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 7．如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 【答案】图见解析，理由：垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．按照“一落”、“二移”、“三画”过点作于点，则即为所求．理由是：垂线段最短，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，则即为所求． 理由是：垂线段最短． 8．如图，直线相交于点O，．若 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义可得，再由对顶角相等可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查垂直定义、角的运算，根据垂直定义得到，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等以及角的和差关系，熟练掌握垂直的性质和对顶角相等是解题的关键．先根据垂直的性质求出相关角的度数，再利用对顶角相等和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ 与是对顶角， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 11．如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，判断两直线的位置关系，找准角度之间的数量关系，是解题的关键： （1）根据角度之间的数量关系，结合平角的定义，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴． 13．如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是互余的含义，平角的定义，角平分线的含义，垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算． （1）由可得，，结合角平分线可得，进一步可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的余角为． （2）解：，， ， ， ， ， ． 14．如图，交直线于点，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的性质，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：由（1）得， 平分， ， ． 15．如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据图形，利用角的和差和倍数关系，进行求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 16．如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据垂直的定义得出，，再根据余角的定义求解即可； （2）根据平角的定义和已知条件可得，进而求解即可． 本题考查了余角的定义，对顶角相等，同角的余角相等．熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴图中的所有余角为：，，； （2）解：，， ， ， ，， ． 17．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了角度计算问题、垂直的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先计算和的角度，再利用平角的定义即可求解； （2）根据垂直的定义得到，当射线与射线重合时，此时，分①；②两种情况讨论，画出示意图，结合图形列出方程，求出对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，， ． （2）解：射线与射线垂直， ， 当射线与射线重合时，此时， ①当，射线在射线的左侧， 此时，， ， ， 解得：； ②当，射线在射线的右侧， 此时，， ， ， 解得：； 综上所述，存在或，使得射线与射线垂直． 试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.1 相交线——垂线 知识梳理 知识点 相关题型 垂线的定义和性质 对垂线定义的理解 过一点（直线上和直线外）作已知直线的垂线 利用垂线的定义计算、推理、证明 判定两条直线是否垂直 点到直线的距离 度量点到直线的距离 利用垂线（段）的性质解释生活中的现象 知识点讲解 1.垂线的定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， 几何语言： ∵CD⊥AB 或者：∵∠COB=90o ∴∠COB=90o ∴CD⊥AB 2.垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”:一条直角边靠直线； “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线. 3.垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 说明：垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 4.点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 如图：PO<PA 理由是（垂线段最短），点P到直线l的距离是线段PO的长度. 例题讲解 【题型1】对垂线定义的理解 【例1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·月考）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【变式2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】垂线的画法 【例2】（25-26七年级下·山西·期中）下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A．B．C．D． 【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【题型3】：利用垂线的定义计算、推理、证明 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 【题型4】两条直线垂直的判定 【例4】（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． (1)若，试探究，的位置关系，并说明理由． (2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般） 【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【题型5】点到直线的距离 【例5】（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【题型6】利用垂线（段）的性质解释生活中的现象 【例6】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）作图题∶如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为E；则点C到的距离为线段 的长度； (2)连接 ，并比较下列两条线段的长度： （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ． 【变式2】（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 过关检测 1．下列语句叙述正确的有（　　） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 2．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 3．下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 5. 如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 6．读句画图并填空 如图，点P是外一点，根据下列语句画图． (1)过点P，作线段，垂足为C． (2)过点P作，交边所在直线于点D． (3)若，则的度数为____． 7．如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 8．如图，直线相交于点O，．若 ． 9．如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 10．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 11．如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 12．如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 13．如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 14．如图，交直线于点，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 15．如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 16．如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 17．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 45 学科网（北京）股份有限公司 $