16.1相交线-对顶角（讲义）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本初中数学讲义聚焦相交线与对顶角核心知识点，先梳理相交线定义及n条直线交点个数规律，再深入对顶角的定义、性质及证明过程，最后延伸至公理、定义、定理等几何基本概念，构建从具体到抽象的递进学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如钉子钉木条解释直线公理）培养几何直观，通过对顶角性质证明及补充推理过程题型强化推理意识，分层设计例题变式与过关检测题。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升抽象能力与数学表达。

沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.1 相交线（对顶角） 知识梳理 知识点 相关题型 相交线 直线交点的个数 对顶角的辨析 利用对顶角的性质解题 对顶角 常见几何公理、定义、定理的辨析 补充推理过程并填写推理依据 公理、定义、定理、证明 知识点讲解 1.相交线 （1） 过一点的直线 过一点有无数条直线，典型的例子是用一枚钉子将一根木条钉在墙上，木条可以随意转到（如图1）。 直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 典型的例子是用两枚钉子把木条钉在墙上时，木条就固定住了（如图2）。 （2） 两条直线相交 定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做它们的交点。 强调：两条直线相交的关键特征是 “有且只有一个公共点”，若两条直线没有公共点则互相平行，若有两个及以上公共点则相互重合（本质是同一条直线），否则与公理：过两点只有一条直线相矛盾。 (3)n条直线两两相交交点的个数 ①最少一个 ②最多 2.对顶角 （1）定义：观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. （2）定理：对顶角相等 （3）证明 如图，因为直线a，b交于点O, 所以∠1 + ∠2 =180；∠3 + ∠2 =180, 根据等式的性质得：∠1=180-∠2，∠3=180-∠2， 因此∠1=∠3 3.公理、定义、证明、定理 公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为公理. 直线公理：过两点有一条直线，并且只有一条直线。 线段公理：两点之间线段最短. 定义：界定一个概念的语句叫作定义. 证明：数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作证明. 定理：被证明的猜想可以作为定理 例题讲解 【题型1】直线交点的个数 【例1】（22-23七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 【变式1】（21-22七年级上·福建福州·期末）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·山东潍坊·月考）观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角； (5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) (5)999000 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （5）根据（4）得出得结论代入求解即可． 【详解】（1）解：对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 故答案为：2； （2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 故答案为：6； （3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为：12； （4）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （5）由（4）可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 【题型2】对顶角的辨析 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是对顶角，故不符合题意； B、和不是对顶角，故不符合题意； C、和不是对顶角，故不符合题意； D、和是对顶角，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键． 根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点对各选项分析判断． 【详解】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意； C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； D、、是对顶角，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D 【题型3】：利用对顶角相等进行简单的计算、推理 【例3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么 【答案】36 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·月考）直线，相交于点O，平分，且，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，掌握角平分线的定义是解题的关键． 先根据角平分线定义得出，由，得出，再利用平角的定义得到，求出，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵平分， ， 又∵，且， ∴， 又∵点，，在同一条直线上， ， ， ， ∵， ， 故答案为：． 【题型4】常见几何公理、定义、定理的辨析 【例4】（25-26七年级上·全国·单元测试）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【答案】B 【分析】考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 根据几何基本事实“两点确定一条直线”，固定木条需要至少两个点以防止移动和旋转． 【详解】解：∵两点确定一条直线， ∴固定一根横放的木条至少需要2枚钉子， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·月考）下列说法中，错误的是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．连接两点的线段叫做两点间的距离 D．线段和线段是同一条线段 【答案】C 【分析】此题考查了线段、直线、两点间的距离等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间的所有连线中，线段最短，故选项正确，不符合题意； B．两点确定一条直线，故选项正确，不符合题意； C．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故选项错误，符合题意； D．线段和线段是同一条线段，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·湖北随州·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识；将实际问题数学化是解决问题的关键可根据公理“两点确定一条直线”；线段的性质即可判断，即可求解． 【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线），符合题意； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合题意； 故选：C． 【题型5】补充推理过程，并填写推理依据 【例5】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 【答案】∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【分析】利用已知条件，进行推理即可． 【详解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知）， ∴∠BOF＝∠COB−∠COF＝32°（等式性质）， ∵∠AOE＝∠FOB（对顶角相等）， ∴∠AOE＝32°（等量代换）， ∵OA平分∠DOE（已知） ∴∠AOE＝∠AOD（角平分线的意义）， ∴∠DOE＝64°（等量代换）． 故答案为：∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【点睛】本题考查的是证明的步骤和格式，解题的关键是熟练掌握对顶角相等、等量代换、角平分线的意义． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠EOF=90°，∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵,∠EOF＝90°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 【答案】已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；已知；60 【分析】利用对顶角的性质以及角平分线的定义得出∠BOE的度数，再利用垂直定义得出∠BOF的度数． 【详解】解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（已知）， ∴∠BOD＝60°， ∵OE平分∠BOD（已知）， ∴∠BOE＝∠BOD＝30°（角平分线的定义）， ∵∠EOF＝90°（已知）， ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF， ∴∠BOF＝60°． 故答案为：已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；已知；60． 【点睛】此题主要考查了对顶角的性质以及角平分线的定义，得出∠BOE的度数是解题关键． 过关检测 1．当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 【答案】 公共点 相交 交点 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，熟知相交线的定义是解题的关键． 【详解】解：当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点， 故答案为：公共点，相交，交点． 2．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查邻补角和对顶角，根据邻补角和对顶角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，与相交所成的四个角中，的邻补角是，；的对顶角是； 故答案为：，； 3.下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的解题思路是逐一观察选项中的角，看是否符合对顶角的定义； 本题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； B、与的两边分别互为反向延长线，且有公共顶点，所以是对顶角，符合题意； C、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； D、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意． 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 5.下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 6．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【分析】此题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答． 【详解】解：根据两点确定一条直线，可使每一层砖在一条直线上． 故答案为：C． 7．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 8．阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 【答案】(1)的邻补角是，；的邻补角是，； (2)的对顶角是；的对顶角是； (3)， 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角的定义，邻补角互补，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据邻补角的定义进行作答即可； （2）根据对顶角的定义进行作答即可； （3）结合邻补角互补的性质，对顶角相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的邻补角是，； 的邻补角是，； （2）解：的对顶角是；的对顶角是； （3）解：∵， ∴（对顶角相等）， ∴（邻补角定义）， 9.如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 【答案】 36 【分析】本题考查了对顶角的性质与角的和差计算，解题的关键是利用对顶角相等、角平分线定义及平角性质求解角度． （1）利用对顶角相等，将角度单位换算后求解； （2）先根据比例和平角求出，再由角平分线得，最后利用对顶角相等求解． 【详解】（1）解：∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴，解得， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 10.如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得到，进而证得，运用一个角与它的补角之和为进行计算求解即可； （2）根据，可假设，，结合角之间的关系后进行计算求解即可． 【详解】（1）解：，， 答：的度数为； （2）解：， 设，则 ． 答：的度数为． 11．如图，直线、相交于点，，平分，若，求及的度数． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算、对顶角相等、角平分线的定义，由题意结合对顶角相等可得，从而可得，再求出，最后再由角平分线的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， . . . 平分， . 12.如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ． 13. 如图，已知直线、相交于点，∠AOE=，∠1=∠BOD，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） 　平角的定义　 ∵∠AOE=（已知） ∴∠1+∠FOE= 　          　 ∵∠1=∠BOD（已知） ∠BOD=∠2（ ） 　          　 　　                  【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解直线、相交于点（已知） 　平角的定义　 ∵∠AOE=（已知） ∴∠1+∠FOE= 　   等量代换       　 ∵∠1=∠BOD（已知） ∠BOD=∠2（ 对顶角相等 ） 　 等量代换         　 　等角的余角相等　             试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.1 相交线（对顶角） 知识梳理 知识点 相关题型 相交线 直线交点的个数 对顶角 对顶角的辨析 利用对顶角的性质解题 公理、定义、定理、证明 常见几何公理、定义、定理的辨析 补充推理过程并填写推理依据 知识点讲解 1.相交线 （1） 过一点的直线 过一点有无数条直线，典型的例子是用一枚钉子将一根木条钉在墙上，木条可以随意转到（如图1）。 直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 典型的例子是用两枚钉子把木条钉在墙上时，木条就固定住了（如图2）。 （2） 两条直线相交 定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做它们的交点。 强调：两条直线相交的关键特征是 “有且只有一个公共点”；在同一平面内若两条直线没有公共点则互相平行，若有两个及以上公共点则相互重合（本质是同一条直线），否则与基本事实（公理）“过两点只有一条直线”相矛盾。 (3)n条直线两两相交交点的个数 ①最少一个 ②最多 2.对顶角 （1）定义：观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. （2）定理：对顶角相等 （3）证明 如图，因为直线a，b交于点O, 所以∠1 + ∠2 =180；∠3 + ∠2 =180, 根据等式的性质得：∠1=180-∠2，∠3=180-∠2， 因此∠1=∠3 3.公理、定义、证明、定理 公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为公理. 直线公理：过两点有一条直线，并且只有一条直线。 线段公理：两点之间线段最短. 定义：界定一个概念的语句叫作定义. 证明：数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作证明. 定理：被证明的猜想可以作为定理 例题讲解 【题型1】直线交点的个数 【例1】（22-23七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22七年级上·福建福州·期末）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【变式2】（23-24七年级下·山东潍坊·月考）观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角； (5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数． 【题型2】对顶角的辨析 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【题型3】：利用对顶角相等进行简单的计算、推理 【例3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·月考）直线，相交于点O，平分，且，那么 度． 【题型4】常见几何公理、定义、定理的辨析 【例4】（25-26七年级上·全国·单元测试）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·月考）下列说法中，错误的是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．连接两点的线段叫做两点间的距离 D．线段和线段是同一条线段 【变式2】（24-25七年级上·湖北随州·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【题型5】补充推理过程，并填写推理依据 【例5】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠EOF=90°，∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵,∠EOF＝90°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 过关检测 1．当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 2．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ． 3.下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 5.下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 6．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 7．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 8．阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 9.如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 10.如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 11．如图，直线、相交于点，，平分，若，求及的度数． 12.如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 13. 如图，已知直线、相交于点，∠AOE=，∠1=∠BOD，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） 　平角的定义　 ∵∠AOE=（已知） ∴∠1+∠FOE= 　          　 ∵∠1=∠BOD（已知） ∠BOD=∠2（ ） 　          　 　　                  试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $