5.5.2 课时2 简单的三角恒等变换 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.2课时2简单的三角恒等变换 【基础巩固】 1.已知oa+引ma号，则sin(2a+吾)的值为（) A.品 B.器 c.器 D.3 【答案】C 【解析】由eaa君sinasaoma+骨，故mu+马5 6 51 所以cos2a+2)=20osa+5-1=-19 25 而oa-号2a+会m2a-会，则ar是 3 2 6 故选：C 0 sin(1+sine) 2.若m号2，则2 2 A.-号 B. C. D.9 【答案】C sin 0 【解析】由 sin () "2 0 0 0 0 sin 2+cos sin 2+cos 2 t包n 2an号c0s号 2am号 1+tan 1+ m2+c0s号 1+tam号 1+ tan2号+1 =(1+清)=自 故选：C 3.已知sma+4n2a=4,则ama+到}（) A.2 B.-3 C.2或子 D.-3或5 【答案】D 【解析】由sin2a+4sin2a=4,则sin2a+8 sina cosa=4, 所以sima+8 sin=4,即ana+8ama=4, sin'a+cos2 a tan'a+1 即3an2a-8tana+4=0,解得：tanc=2或tan仪=号' 当tana=2时，a+4,nn23, ana+tanπ2 431 当aa=时，mo到引， 3 故选：D, 第6页，共6页 4.已知a,B均为锐角，amg号na-),则cos(&+B)=（) A号 B.8 c.-器 D.·鵠 【答案】B 【1B=a20=器-济= 因为p为锐角，则0<2B<π， 又tan2B>0,则0<2B<受所以sm20w20, 又a为锐角，0<B<晋，则-晋<a-B<, 因ma-)言0，所以0<-B<所以ma-川--(-号 cos(a+B)=cos(a-B+2B)=cos(a-B)cos2B-sin (a-B)sin2B =×昌最×鲁=器 故选：B 5.（多选)己知函数f(x)=sinx-3cs2x+4 sinrcosx,则下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期是π B.f(x)的最大值是22-1 C.f(x)在(0，罗)上是增函数 D.直线x=吾是f(x)图象的一条对称轴 【答案】AB 【解析】f)=sinr-3os2x+4sine0sr=1cos2r-31cos2r+2sin2r, 2 2 =2sn2x-2oms2r-1=25sn2r-4}1, 所以f(x)的最小正周期是T=受=π，故A正确： 当s血2x-4=1时，f(x)的最大值是22-1，故B正确 由xe(0,吾)，得2r-(》,因为y=sinx在（引上递增， 在（受，要）上递减，故f(x)在(0，晋)上不单调，故C错误： 令2x-骨=km+受，k∈Z得x=受+晋，k∈Z 所以直线x=哥不是f(x)图象的一条对称轴，故D错误 故选：AB 第6页，共6页 6.函数f(x)=cos2x+-sinrcosx的单调减区间为 【答案】[a+爱a,kEZ 【解折】因为=osx4a=g空+in2x=号si血(2x十子)+告” 令经点2x+骨经2如，e五，解得a受a,eZ. 42 即所求区间为a+a, 8,kez. 故答案为：aa引，kez 7.若函数f()=4sinx+3cosx在x=xo时取到最大值，则sin2x0=一， 【答案】 【解析】已知f(x)=4simx+3cosx=5(售simx+cox)=5sin(x+p),其中tanp=寻， 当sin(xo十)=1时，取得最大值，且npsp, 可知cos(x,+p)=±V1-sin'(x+p)=0, 则sin=sin(+p-p]=sin(6xo+)cosp-cos(x+)sip=1×音0×目=青 同理可得COSXo-=cos[xo十)-p=cos(十pc0sp+sin(x十p)sinp=0×音+1×号=昌， 故答案为：器 8.己知函数f(x)=sin2x+cos2x ()求f(x)在[0，]上的值域： ②考f(a)=,其中后a管，求ma的值 5 【答案】见解析 【解析】()根据题意/()=sin2r+cos2x=5sin2x+牙， 设t=2x+景，因为x0引，则[年]， 所以rd,所以-m2的值域为[-1反] ②医为(a)=,所以raia)， 可得a+到5， 因为a音可得2a+异，所以m个月引25， 第6页，共6页 2525.2_1o 525210 【能力拓展】 9.己知sinu+eosB= s'cosa+sin,B=青，则cosasin6的值为() A.出 B.品 C.1 D.品 【答案】A 【解析】由题意，me+o心P=, cosa+sin6=号， 则6na+oi+(easa+sn旷-(+[=-1， 化简可得masB+oamB=分，所以n(a*)= 又ena+si-(sa-sm时-得)-目-3， sin'cos+2sinacos B-(cosasinB+2cossn 251 -cos2++2sincsB-2csin7 5 -2sin(B)sin(B-a)-2sinacos B-2eosasin =-7 5 所以sin(B-a)+2-2 in=-25' 7 所以sinB-=-7 25 由 sinacos3+cosasinB=-号，可得sa=- 100 sinacosB-cosasinB=-2 7 故选：A 10.如图，AD是半径为4的半圆O的直径，点B,C在弧AD上，若AB=BC,则四边形BCDo周长的最 大值为() 0 A.16 B.17 C.18 D.19 【答案】B 【解析】取BC,CD的中点M,N,连接OM,ON,OB,OC, 则OM⊥BC,ON⊥CD, 因为AB=BC,所以=，∠BOC=∠A0B, 因为0B=OC,所以∠0CB=∠0BC, 第6页，共6页 设LA0B=6,0<日<晋，则LB0M=号，LC0N=受-日， 故cv=DN=an好小toe,cvw号 CD BC1 OD=8 8sin80s0=8sin1 2sin 2 =-16im2号+8n号+16-=16smg 2+17, 因为0<日<受所以0号年0号号， 放当m号时、一4mg1取得最大值，最大值为17 24 故选：B 11.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割， 余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角6的斜边与邻边的比，叫做的正割，用scc0表示；其斜边与对边 的比，叫做8的余割，用csc0表示；其邻边与对边的比，叫做0的余切，用ot6表示，则o20(5co70- secl0° 【答案】-1 【解析】依题意可得scc10°= 1 c0s10,c0L20°- tan20c070°- tan70 15 c0s20V30s70° 所以o20r(3co170°-） -1 tan20°tan70° sin20°sin70° Scc10° 1 cos10 cos10° -cos10c0s20°.V5cos70°-sin70 sin20 sin70° cosl0°cos20°V5sin20°-cos20° sin 20 c0s20° cos10°(V5sin20°-cos20) 2cos100 sin20°- 2c0s20 sin20° sin20° 2cos10°sin(20°-30）_-2cos10°sin10°_-sim20 =-1 sin 20 sin20° sin 20 【素养提升】 12.已知f8)=sim(2x+晋)+sin(2x-号)-2cos2x+1 (I)求fx)的单调递增区间： (2求3在区间码上的最大值和最小值以及相应的x的值： (3)若9为锐角，84-，求cos日 【答案】见解析 第6页，共6页 【解析】())=s2 sin2 co2x sm2xn) 令2kT-晋≤2x-晋≤2kπ+号，k∈Z解得kπ-晋≤x≤kπ+晋，k∈Z 函数fx)的单调递增区间为[kT-吾kπ+晋]，k∈Z ②2x[, 2x-名时，即x=焉时，以=2， 2-看香时，即x=是时，儿w2》5 a创g-2am0到-go, :0为锐角，gT∈元csg o号mo-引mo-引 cos0=cos0-I-）=2m -242.32 252510 第6页，共6页 5.5.2 课时2 简单的三角恒等变换 【基础巩固】 1．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A．2 B． C．2或 D．或5 4．已知均为锐角，，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的最小正周期是 B．的最大值是 C．在上是增函数 D．直线是图象的一条对称轴 6．函数的单调减区间为________. 7．若函数在时取到最大值，则______． 8．已知函数. (1)求在上的值域； (2)若，其中，求的值. 【能力拓展】 9．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧上，若，则四边形周长的最大值为（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 11．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则______________． 【素养提升】 12．已知. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值以及相应的的值； (3)若为锐角，，求. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $