5.5.2 简单的三角恒等变换 第1课时 简单的三角恒等变换（一）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换 第1课时 简单的三角恒等变换（一）同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知cosα＝－，<α<π，则sin＝（ ） A．－ B. C．－ D. 2．已知cosα＝－，π<α<，则tan＝（ ） A．－2 B．2 C．－ D. 3．设－3π<α<－，则＝（ ） A．sin＋cos B．－cos－sin C．cos－sin D．sin－cos 4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有（ ） A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 5．在△ABC中，若2sincossinC＝cos2，则△ABC是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．非等腰三角形 D．直角三角形 二、多项选择题 6．下列各式与tanα相等的是（ ） A. B. C.·（α∈（0，π）） D. 7．下列结论正确的是（ ） A．存在实数α，使tan2α＝2tanα B.＝ C．已知tanα＝－4，则tan＝ D．tan75°＝ 三、填空题 8．等腰三角形顶角的余弦值为，那么这个三角形的一个底角的余弦值为________． 9．若cosθ＝－，且θ∈（－π，0），则sin＋cos＝________. 四、解答题 10．化简：＋. 11．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos的值． 个性拓展练 12.＝（ ） A．1＋ B. C．1＋ D. 13．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，则cos＝________. 14．某同学在一次研究性学习中发现，以下式子的值都等于同一个常数． ①cos（－60°）＋cos60°＋cos180°； ②cos（－13°）＋cos107°＋cos227°； ③cos30°＋cos150°＋cos270°； ④cos40°＋cos160°＋cos280°. （1）将上述式子进行化简求值； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 5.5.2 简单的三角恒等变换 第1课时 简单的三角恒等变换（一）同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知cosα＝－，<α<π，则sin＝（ ） A．－ B. C．－ D. 解析：∵<α<π，∴<<，∴sin＝＝＝.故选D. 答案：D 2．已知cosα＝－，π<α<，则tan＝（ ） A．－2 B．2 C．－ D. 解析：∵π<α<，∴<<，∴sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，∴tan＝＝－2.故选A. 答案：A 3．设－3π<α<－，则＝（ ） A．sin＋cos B．－cos－sin C．cos－sin D．sin－cos 解析：∵－3π<α<－，∴－<<－. ∴sin>0，cos<0，＝＝＝＝sin－cos.故选D. 答案：D 4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有（ ） A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 解析：a＝cos6°－sin6°＝sin（30°－6°）＝sin24°，b＝2sin13°cos13°＝sin26°，c＝＝＝（cos20°－sin20°）＝sin25°，函数y＝sinx，x∈（0°，90°）单调递增，所以a<c<b.故选C. 答案：C 5．在△ABC中，若2sincossinC＝cos2，则△ABC是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．非等腰三角形 D．直角三角形 解析：在△ABC中，因为2sincossinC＝cos2，所以sinBsinC＝cos2，即sinBsinC＝，2sinBsinC＝1－cos（B＋C），2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，即cosBcosC＋sinBsinC＝1，所以cos（B－C）＝1，B－C＝0，B＝C.故选B. 答案：B 二、多项选择题 6．下列各式与tanα相等的是（ ） A. B. C.·（α∈（0，π）） D. 解析：A不符合，＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tanα；D符合，＝＝tanα.故选CD. 答案：CD 7．下列结论正确的是（ ） A．存在实数α，使tan2α＝2tanα B.＝ C．已知tanα＝－4，则tan＝ D．tan75°＝ 解析：对于A选项，取α＝0，则tan2α＝0＝2tanα，故正确；对于B选项，由半角公式可知＝tan40°≠，故错误；对于C选项，由于tanα＝－4＝，整理得2tan2－tan－2＝0，解得tan＝，故正确；对于D选项，由正切的半角公式知tan75°＝，故错误．故选AC. 答案：AC 三、填空题 8．等腰三角形顶角的余弦值为，那么这个三角形的一个底角的余弦值为________． 解析：设等腰三角形的底角为α，顶角为β，则α＝－，cosβ＝，所以cosα＝cos＝sin＝＝. 答案： 9．若cosθ＝－，且θ∈（－π，0），则sin＋cos＝________. 解析：∵cosθ＝－，且θ∈（－π，0），∴θ∈，则－<<－，故cos＋sin＝－＝－＝－. 答案：－ 四、解答题 10．化简：＋. 解：因为π<α<， 所以<<， 所以cos<0，sin>0， 所以原式＝ ＋ ＝＋ ＝－＋ ＝－cos. 11．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos的值． 解：因为α为钝角，且sinα＝， 所以cosα＝－＝－. 又β为锐角，且sinβ＝， 所以cosβ＝＝. 故cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝－×＋×＝. 由于<α<π，0<β<，所以0<α－β<π， 所以0<<，则cos>0. 所以cos＝＝＝. 个性拓展练 12.＝（ ） A．1＋ B. C．1＋ D. 解析：原式＝1＋cos＋cos＋cos·cos＝1＋2cos·cos＋cos·cos＝1＋cos·cos＝1＋＝.故选B. 答案：B 13．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，则cos＝________. 解析：（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝－<0，∴<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα＝＝＝，故sinα＝，cosα＝－， ∴cos＝＝. 答案： 14．某同学在一次研究性学习中发现，以下式子的值都等于同一个常数． ①cos（－60°）＋cos60°＋cos180°； ②cos（－13°）＋cos107°＋cos227°； ③cos30°＋cos150°＋cos270°； ④cos40°＋cos160°＋cos280°. （1）将上述式子进行化简求值； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：（1）对于①：cos（－60°）＋cos60°＋cos180° ＝＋－1＝0. 对于②：cos（－13°）＋cos107°＋cos227° ＝cos（107°－120°）＋cos107°＋cos（107°＋120°） ＝2cos107°cos120°＋cos107°＝0. 对于③：cos30°＋cos150°＋cos270°＝－＋0＝0. 对于④：cos40°＋cos160°＋cos280° ＝cos（160°－120°）＋cos160°＋cos（160°＋120°） ＝2cos160°cos120°＋cos160°＝0. （2）三角恒等式为cos（α－120°）＋cosα＋cos（α＋120°）＝0. 证明：左边＝2cosαcos120°＋cosα＝0＝右边． 所以等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $