精品解析：浙江省嘉兴市第五高级中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性测试数学试题

2025学考第一学期高二阶段性测试数学试卷（2025年12月） 本试卷满分150分，考试时长120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题知公差. 故选:D. 2. 已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 一条射线 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 4. 在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，求出向量和平面的法向量为，利用公式即可求出答案． 【详解】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，，则， 故点E到平面的距离为． 故选：C． 5. 已知直线：，：平行，则实数的值是（ ） A. 或3 B. 或1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线平行的必要条件,求得的值，然后代回直线的方程，排除重合的情况. 【详解】解：由题意得,解得或, 当时，两直线的方程都是,两直线重合， 当时，两直线的方程分别为和,两直线平行， 故选:C. 【点睛】本题考查根据直线平行求参数的值，属基础题，直线平行的必要条件,一定要代回检验，排除重合的情况. 6. 若等差数列的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（ ） A. 96 B. 72 C. 60 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】解法不唯一，可结合通项公式和前项和公式求出，进而求出；也可结合成等差数列性质求. 【详解】解法一：由解得 所以； 解法二：，，，所以，，成等差数列，公差为，由等差中项定义得，即，解得． 故选：B 7. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D. 上的点的纵坐标的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象所过的定点，即可判断A，根据方程可得，即可判断B，联立方程后，方程的根只有0，求的取值范围，即可判断C，根据方程的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求得到取值范围，判断D. 【详解】对于A，由图可知，点在上，则，所以，故A错误； 对于B，设曲线上任一点（且）， 由，可得，则， 即上不存在点，使得，故B错误； 对于C，直线与均经过原点，则直线与除原点外无其他公共点， 联立方程组，整理得， 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，整理得， 当时，方程恒成立，因为恒有一解， 所以无解，即当时，方程无解， 综上，，解得或，即的取值范围为，故C错误； 对于D，方程可化为， 令，得， 由，可得， 即，易知等号成立，故上的点的纵坐标的最大值为，故D正确； 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的有（    ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为; B. 斜率为，在轴上的截距为的直线方程为; C. 已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是; D. 直线的一个方向向量是，则直线的斜率是． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件直接写出直线的方程，可判断A选项；利用直线的斜截式方程可判断选项B；利用平行线间的距离公式可判断C选项；利用直线的斜率与方向向量的关系可判断D选项． 【详解】选项A：过点并且倾斜角为的直线方程为，故A对； 选项B：斜率为，在轴上的截距为的直线方程为，故B错； 选项C：直线与直线平行，直线的方程可化为， 这两条平行直线间的距离为，故C对； 选项D：若直线的一个方向向量是，则直线的斜率是，故D对． 故选：ACD． 9. 设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，故A错， 如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当，，共线时，取到最小值，此时为点到准线距离4，故B对； 由题意知，抛物线的焦点坐标为， 当斜率存在时，设直线的方程为， 由. 设交点，，则，. 依据抛物线的定义得：， . 当斜率不存在时，.则的最小值是4.故C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段为直径的圆与轴相切，故D对. 故选：BD 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则中最大； D. 若，则使的的最大值为11 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，求和公式，结合等差数列的性质，可逐项判断真假. 【详解】若，则，不能推出，即不能推出，故A错误； 若，则，即，则，故B正确； 若，，则，， 所以，，则中最大，故C正确； 若，则， 即， 因为首项为正数，则公差小于0，则，， 则，， 则使的的最大值为11，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知向量，，若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直列式求值即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：2 12. 已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为1，则曲线的实轴长为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由渐近线与直线垂直得，再由焦点到直线的距离得，结合可求得． 【详解】直线的斜率为，一条渐近线与直线垂直，则，， 设焦点为，则，． ∴，解得，∴实轴长为． 故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，根据一条渐近线与直线：垂直得出，根据焦点到直线的距离求出，从而可得，本题中档题． 13. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14. 在正四棱柱中，，P为的中点. （1）取中点，中点，求证：平面. （2）求证：平面平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. 【小问2详解】 因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 15. 已知是等差数列的前n项和，，. （1）求； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，然后根据题意列方程组可求出和，从而可求出通项公式； （2）由（1）可求出，对其配方后可求出其最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，所以，① 由，得，所以，② 由①②解得，，所以； 【小问2详解】 因为，，所以 ， 当时，最大，最大值为. 16. 圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线与圆交两点，且，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出. 【小问1详解】 设圆的半径为，则， 故圆的标准方程为：； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 由垂径定理得：， 即，解得：或. 17. 如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【解析】 【分析】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. 【小问1详解】 取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，∴平面. 【小问2详解】 ∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为. 18. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学考第一学期高二阶段性测试数学试卷（2025年12月） 本试卷满分150分，考试时长120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 一条射线 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，：平行，则实数的值是（ ） A. 或3 B. 或1 C. D. 3 6. 若等差数列的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（ ） A. 96 B. 72 C. 60 D. 48 7. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D. 上的点的纵坐标的最大值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的有（    ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为; B. 斜率为，在轴上的截距为的直线方程为; C. 已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是; D. 直线的一个方向向量是，则直线的斜率是． 9. 设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6 D. 以线段为直径的圆与轴相切 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则中最大； D. 若，则使的的最大值为11 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知向量，，若，则_____. 12. 已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为1，则曲线的实轴长为______. 13. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14. 在正四棱柱中，，P为的中点. （1）取中点，中点，求证：平面. （2）求证：平面平面 15. 已知是等差数列的前n项和，，. （1）求； （2）求的最大值. 16. 圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线与圆交两点，且，求. 17. 如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $