2.3 用公式法求解一元二次方程 课堂练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2.3用公式法求解一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．下列说法不正确的是（ ） A．方程有一根为0 B．方程的两根互为相反数 C．方程的两根互为相反数 D．方程无实数根 3．已知为实数，关于的两个方程，公共的实数根的个数为（　　） A． B． C． D． 4．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A． B． C． D． 5．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 6．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（   ） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 7．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 8．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 10．方程的一个根是 A． B． C． D． 11．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 12．若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是(   ) A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k≥ 二、填空题 13．定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为 ． 14．用求根公式解方程，先求得 ，则 ， ． 15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 16．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 17．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有 实数根． 三、解答题 18．解方程 (1)5x2－6x＋1=0（公式法） (2)x2＋8x－2=0（配方法） 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为方程的一个根，求代数式的值． 20．已知为实数，关于的方程为， (1)试判断这个方程根的情况； (2)是否存在实数，使这个方程两个根为连续偶数?若存在，求出及方程的根若不存在，请说明理由． 21．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 22．已知关于的方程. （1）当时，解这个方程； （2）当时，解这个方程. 23．已知关于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根，求m的值 24．用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 《2.3用公式法求解一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C B D D A D 题号 11 12 答案 B C 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：因为， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选B． 2．C 【详解】解：A．，移项得：，因式分解得：x（x﹣1）=0，解得x=0或x=1，所以有一根为0，此选项正确，不符合题意； B．，移项得：，直接开方得：x=1或x=﹣1，所以此方程的两根互为相反数，此选项正确，不符合题意； C．，移项得：，直接开方得：x﹣1=1或x﹣1=﹣1，解得x=2或x=0，两根不互为相反数，此选项错误，符合题意； D．，找出a=1，b=﹣1，c=2，则△=1﹣8=﹣7＜0，所以此方程无实数根，此选项正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，考查了利用根的判别式不解方程判断方程解的情况，是一道基础题． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式法解一元二次方程等知识点，设两个方程的公共根为，可得：，当时，两个方程均为，此时方程有两个不相等的实数根，当时，两个方程有公共根，所以两个方程有个公共根． 【详解】解：设两个方程的公共根为， 则， 得：， 分解因式得：， 即或． 当时，两个方程均为， ， 解方程得：，， 方程有两个不相等的实数根， 当时，两个方程有公共根， 综上，两个方程有个公共根． 故选：C ． 4．C 【分析】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决． 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 5．C 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ，而且 解得， 的取值范围是且， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 7．D 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∵＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，熟练掌握判别式的意义是解题的关键． 8．D 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可． 【详解】关于的方程有实数根, 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键． 9．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程，得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程 中， ，，， ∴ ． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 10．D 【详解】试题分析：∵ ∴ 即：， 故选D. 考点：解一元二次方程----公式法. 11．B 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 12．C 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根， ∴且， 解得：k≤且k≠1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 13．或或 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意，分6种情况讨论：①时；②时；③；④；⑤；⑥，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为，解得全舍； ③时，， 则化为，解得全舍； ④时，， 则化为，解得或舍； ⑤时，， 则化为，解得或舍； ⑥时，均不成立， 综上，方程的解为或或 故答案为：或或． 14． 【分析】先把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，再求的值，最后利用公式法解方程求得x的值. 【详解】， ， a=1，b=3，c=1， △=9-4=5＞0， ， ∴，. 故答案为 ；； . 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法——公式法，把方程化为一般形式，计算出根的判别式△=b2-4ac的值是解本题的关键． 15．且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 16． 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式，可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 17．有两个不相等的 【分析】本题需先求出方程的根的判别式的值，然后得出判别式大于0，从而得出答案． 【详解】解：2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0，k＜1 ∴k-1＜0 △=-4ac =-4×2(k+1) ×(2k-1) =-8(2-k+2k-1) =-8(2+k-1) =--8k+8 =-8(k-1) ﹥0 ∴原二元一次方程有两个不相等的实数根. 【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程； （2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：5x2－6x＋1=0中，， ， ， 解得：； （2）x2＋8x－2=0， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的根、整式的化简求值，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据题意，由列不等式求解即可； （2）根据方程的解的意义得到，然后化简所求代数式，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 20．（1）原方程总有两个实数根；（2）存在，k的值为-10或-6，两根为4，6或4，2 【分析】（1）题目问的是一元二次方程根的情况，所以利用根的判别式，求出来判断出方程总有两个实数根； （2）根据题意，先用公式法求出该一元二次方程的一个根，另一个根是和它连续的偶数，分别考虑2和6，求出对应的k． 【详解】解：(1)根的判别式 无论为何实数，总有 ∴原方程总有两个实数根 (2)存在实数，使方程两个根为连续偶数 由(1)，原方程的根为 即或 由得 由，得 ∴存在实数-10，-6，使原方程两个根为连续偶数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及利用公式法求出带有参数的方程的解，需要注意的是第二问要考虑两种情况进行分类讨论． 21．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程； （2）直接根据公式法解一元二次方程； （3）直接根据公式法解一元二次方程； （4）直接根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， 化为一般形式，， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解： ∵， ∴， ∴， 解得：； （4）解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 22．（1），； （2）当时，，；当时，此一元二次方程无解. 【分析】（1）方程化为一般形式，计算判别式得，由于，所以，然后利用求根公式解方程； （2）方程化为一般形式，计算判别式得，由于，分类讨论：当时，，然后利用求根公式解方程，当时，，此时方程没有实数根. 【详解】解：（1）， ，， ， （2） ，，， ， ∴当时， ， ，， ∴当时，此一元二次方程无解. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，即考查了判别式的意义，也考查了求根公式. 23． 【详解】试题分析：先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可． 试题解析：∵x2+（2m-1）x+4=0有两个相等的实数根， ∴△=（2m-1）2-4×4=0， 解得m=-或m=． 24．(1) (2)， 【分析】（1）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． （2）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． 【详解】（1），，，， ∴． （2）整理得：， ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解方程，熟练掌握公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $