课时分层训练(6) 2.3用公式法求解一元二次方程-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（北师大版）

课时分层训练(六)　用公式法求解一元二次方程 知识点一　一元二次方程的一般形式 1．用公式法解方程x2－2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是(　D　) A．a＝1，b＝－2，c＝3 B．a＝1，b＝2，c＝－3 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝－2，c＝－3 2．将方程3x2＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式为 3x2－5x－10＝0 ． 知识点二　用公式法解一元二次方程 3．小明在解方程x2－4x＝2时出现了错误，解答过程如下： ∵a＝1，b＝－4，c＝－2，(第一步) ∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝24．(第二步) ∴x＝．(第三步) ∴x1＝－2＋，x2＝－2－．(第四步) 小明解答过程开始出错的步骤是(　C　) A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 4．方程－x2＋4x－1＝0的根是 x1＝2＋，x2＝2－ ． 5．解方程： (1)x2－4x＋2＝0；(用配方法) (2)2x2＋3＝7x．(用公式法) 解：(1)∵x2－4x＋2＝0， ∴x2－4x＝－2． ∴x2－4x＋4＝2，即(x－2)2＝2． ∴x－2＝±． ∴x1＝2＋，x2＝2－． (2)∵2x2＋3＝7x， ∴2x2－7x＋3＝0． ∵a＝2，b＝－7，c＝3， ∴Δ＝(－7)2－4×2×3＝25＞0． ∴x＝＝． ∴x1＝3，x2＝． 知识点三　根的判别式 6．若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是(　A　) A．－1 B．1 C．2 D．3 7．一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．若关于x的方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是 9 ． 9．关于x的一元二次方程x2－2x＋3m－2＝0有实数根． (1)当x＝0是方程的一个根时，求m的值； (2)求m的取值范围． 解：(1)把x＝0代入原方程，得3m－2＝0，解得m＝． (2)根据题意，得Δ＝(－2)2－4(3m－2)≥0，解得m≤1． 10．方程x2－3x＝2中与求根公式中相对应的a，b，c的值分别是(　C　) A．0，－3，2 B．0，－3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－3，2 11．x＝是下列哪个一元二次方程的根(　D　) A．2x2＋2x＋1＝0 B．x2＋2x＋2＝0 C．x2－2x＋2＝0 D．x2－2x－2＝0 12．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是(　C　) A．k＞－1 B．k＜－1 C．k＝－1 D．k＞－1且k≠0 13．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　C　) A．k≥－4 B．k＞－3 C．k＞－3且k≠1 D．k≥－3且k≠1 14．已知关于x的方程ax2－bx－c＝0(a≠0)的系数满足a－b－c＝0，且4a＋2b－c＝0，则该方程的根是 x1＝1，x2＝－2 ． 15．用公式法解一元二次方程，得y＝，则该一元二次方程为 3y2＋5y－1＝0 ． 16．定义a*b＝，则方程(x*x2)－(x2*x)＝2的根为 x＝ ． 17．若关于x的方程x2＋6x－a＝0无实数根，则a的取值范围是 a＜－9 ． 18．解方程： (1)6x2－13x－5＝0； (2)12x2＋1＝－7x． 解：(1)由题意，得a＝6，b＝－13，c＝－5， ∵Δ＝(－13)2－4×6×(－5)＝169＋120＝289＞0， ∴x＝．∴x1＝，x2＝－． (2)∵12x2＋7x＋1＝0， ∴a＝12，b＝7，c＝1． ∵Δ＝72－4×12×1＝1＞0， ∴x＝． ∴x1＝－，x2＝－． 19．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－1＝0． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围． (1)证明：∵Δ＝m2－4(m－1)＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0， ∴方程总有两个实数根． (2)解：x＝， 解得x1＝－1，x2＝－m＋1． ∵方程有一个根为正数， ∴－m＋1＞0． ∴m＜1． 【创新运用】 20．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下： 把x＝－1代入方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形． (2)△ABC为直角三角形．理由如下： 根据题意，得Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即b2＋c2＝a2，所以△ABC为直角三角形． (3)∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c． ∴方程化为x2＋x＝0， 解得x1＝0，x2＝－1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $