九年级上册 第2章 第5课时用公式法求解一元二次方程(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

参考苔案 (2)-22-18 -12 -464 +16=0, 7 5-3.09-2.16 -1.21 ∴.(a-5)2十(b-3)2+(c-4)2=0, -士=3西=2 -0.240.754.44.5 ∴.(a-5)2=0,(b-3)2=0, 4解：42-6x=52-3=5 2x=4, (3)44 (c-4)2=0, 12.解：将x=1,x=一3代入ax2+bx一3 解得a=5,b=3,c=4. -+品+最(- =0,得 .三角形的三边长分别为3,4,5. a+b-3=0, 19a-3b-3=0, 袋合 9.解：如答图，将图形补成长方形 器-器 PMQN,设正方形③的边长为acm, 5.C6.11 ∴.x2十2x-3=0, .a,b的值分别为1,2；这个一元二次 7.解：1)2-厄x=号，d-x+ 方程的一般形式为x2十2x一3=0. 13.解：(1).实数a是方程x2十4x十1=0 8+2 的根， M A 答图 ∴a2+4a+1=0,.2a2+8a+2=0, AM=a cm,AB=(24-a)cm. (。-号）-3-9=士， ..2a2+8a=-2, ,正方形①，②的边长分别是16cm, .2d+8a+2025=-2+2025=2023. 24cm, 号+号-5 (2)1-a-1=1-a2+1 线段PQ恰好将这三个正方形组成的 (2)(x-1)2=9(2x+5)2, 图形分成面积相等的两部分， x-1=3(2x十5)或x-1=-3(2x+ a2+4a+1=0,.a2+1=-4a, ∴.AM·AB=CD·DN, 5),x1=- 5=-2. 1 1-a-日=1-。=1+4=5， ∴.a(24-a)=16×(24-16), a 解得a1=8,a2=16, 14.解：.a是方程x2+2025x-1=0的 (3)2d-4z=3,则d-2z=号， 一个根，∴.a2+2025a=1, 则正方形③的边长为8cm或16cm. ∴.原式=a(a2-1)+2025a2+1 10.解：(1)由题意， ∴d-2x+1-登+1， .x2-2x+5=(x-1)2+4, =a+2025a2-a+1 .多项式x2-2x十5关于x=1对称. 即(x-1=号-1=士， 2 =a(a2+2025a)-a十1 =a-a+1 x2+8x+4=(x+4)2-12, .多项式x2十8x+4关于x=一4对 a=1+=1- 2 =1. 称.故答案为1；一4. 第3课时用配方法求解 (2)多项式x2十2nx+3=(x+n)2一n (403x2-6x=-2,2-2x=-名 3 一元二次方程(1) +3,.多项式x2十2nx+3关于 -2x+1=-号+1.x-1=g 3 1.C2.A3.A x=一n对称， 4.(1)36(2)9(3)164(4)42 又多项式x+2nx十3关于x=6对 1=±9，」 3-1+ 3=13 3 5.解：(1)(x十2)2=25，x+2=士5， 称，。一n=6,.n=一6. 8.解：(1)712(2)-1 (3)由题意，得(2十6.x十9)(x2-4x十4) ∴.x1=3,x2=-7. (3)根据题意可得 (2)(x-5)2=7,x-5=土√7， =(x十3)(x-2)2=[(x十3)(x-2)]2 x2-10x+30=(x2-10x+25)+5=(x .x1=5+√7，x2=5-√7. =+6=-[(+)-, -5)2+5. (3)(x+3)2=8,x+3=士2√2， .(x2+6x十9)(x2-4x十4)关于x (x一5)2是非负数， .代数式x2一10x+30的最小值是5， x=-3+22,x2=-3-2√2. 合对称。 此时x=5. (4)x2-8x=9,(x-4)2=25, x-4=士5，.x1=9,x2=-1. 又(x2+6x+9)(x2-4x+4)关于 9.解：已知当x=a时，多项式ax-2bx十c 的值为c一a,将x=a代入多项式ax2 x=a对称，a=一 2 2bx十c,可得a×a2-2bXa+c=c-a, 即a3-2ab+c=c-a.∴.a3-2ab=-a. -5=326 第4课时用配方法求解 a3-2ab+a=0.∴.a(a2-2b+1)=0. 2 (6)2x+3=士(3x+2), 一元二次方程(2) a≠0，∴a2-2b+1=0..a2=2b-1. a2>0(任何非零数的平方大于0)， 2x十3=3x+2或2x+3=-(3x+2), 1.B2.D .x1=1,x2=-1 3.解：(1)2+2x= d+2+1=合+1， 26-1>0,b>z 6.m≥1 将a2=2b-1代人a2+b2+3, 7.解：x2-6x十5=0，.(x-3)2=4, (x+1)2=3 x+1=土6 ， 可得a2++3=2b-1++3=+2b .x-3=士2，解得x1=5,x2=1, +2=b+2b+1-1+2=(b+1)2+1, 根据三角形任意两边之和大于第三边、 ∴x=二2+6 2 =二2-6 任意两边之差小于第三边可知，需舍去 2 b>2b+1>号(6+10>号， 2=1,即第三边长为5， (2)-x=-， .(b+1)2+1>3.25, .三角形的周长为5+5+6=16. 即a2+b+3>3.25. 8.解：a2+b2+c2+50=6b+8c+10a, -+(?)=-是+（子）， .a2+b+c2-10a-6b-8c+50=0, 第5课时用公式法求解一元二次方程 ∴.a2-10a+25+b2-6b+9+c2-8c (-子)广-器 1.C2.D3.C 35 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 4.有两个不相等的实数根5.1926.2 即x2十x一2=0 8.解：x2-14x+48=0,(x-6)(x-8)=0 7.解：(1)x2-3x-5=0, 解得x1=一2，x2=1. 1=6,x2=8,不妨令a=6,b=8, .a=1,b=-3,c=-5, .原方程的解为=一2，x2=1. :菱形对角线互相垂直平分， .△=9-4X1×(-5)=29>0, 12.(1)①2√5 菱形边长=√32十4=5. c=3±v29 + 21 1 9.解：(1)一 (2)西-3a=1 x=3+29 (2)证明：mx+2z+2n=0, (3)3x(x+2)=2x+4变形得 2 ,-3-2四 2 这里a=m,6=2,6=名 3x(x+2)-2(x+2)=0. (2)2x2-10x-3=0, .(x+2)(3x-2)=0, 1 a=2,b=-10,c=-3, 六A=(2)2-4m·2n=4r-2mm, 2 .△=(-10)2-4×2X(-3)=124>0, 解得x=一2，=3 m+子i,dA=m+分- 2=1 10.解：(1)10 x= 10±w1245±√31 2X2 2 2mn=(m-n)2≥0， (2)由题意，得前n行所有点数的和为 西-5+③ ,=5虹 关于x的“菱系一元二次方程”mx 2+4+6+…+2(n-2)+2(n-1)+ 2 2 +2x+宁0=0必有实数根。 2n=2[1+2+3+…+(n-2)+(n (3)-2x2+3x-6=0, 1）+=2×m,t1D=n(n+1. 2 ∴.a=-2,b=3,c=-6, .△=32-4×(-2)X(-6)=-39<0, 第6课时用因式分解法求解 (3)不能，理由：假设能为120，则n(n +1)=120,即n2+n-120=0, .原方程无解。 一元二次方程 (4):x2-2x+3-2=0, 解得n=二1土481 2 即x2-2x+1=0, 1A2A3西=号函=-3 .a=1,b=-2,c=1, 4.解：(1)5.x2-7x=0,x(5x-7)=0, n为正整数，前n行的点数和不能 .△=(-2)2-4×1×1=0. .7 为120. x1=0,x2=5 .x1=x2=1. (2)(x+1)2=3(x+1), 第7课时一元二次方程的根 8.B9.k≠-1 10.(1)证明：△=6-4ac=(3k+1)2- (x+1)2-3(x+1)=0, 与系数的关系 4(2k2+2k)=9k2十6k十1-8k-8k= (x+1)(x-2)=0,.x1=-1,x2=2. k2-2k+1=(k-1)2>0, (3)(4x-3)(2x+1)=0, 1A2D3号 一4=0 ∴.4x-3=0或2x十1=0. 5.解：x2-3x一1=0，x十x2=3, ∴无论k取何值，方程总有实数根. 3 (2)解：①若a=6为底边长，则b,c为 x·=-1,4十4=3 3. 腰长，则b=c,则△=0，∴.(k一1)2=0， (4)3y(y-1)=2y-2, 解得=1. 6.解：22-5x+1=0,十=多， 此时原方程化为x2一4x十4=0， 3y(y-1)-2(y-1)=0, 1 x1=x2=2,即b=c=2.此时 (y-1)(3y-2)=0,y=1,2= 3 1·x4=2’ △ABC三边长为6,2,2，不能构成三 (x1-3)(x2-3)=x1x2-3x1-3x2+9 5.B6.0或-1 角形，故舍去； 7.解：(1)x2-x-3x+3=0, =1x-3(1十x2)+9 ②若a=6为腰长，则b,c中有一个为 x(x-1)-3(x-1)=0, =75+9=2, 腰长， (x-1)(x-3)=0, 7.B8.25 设b=a=6, x一1=0，或x-3=0, 9.解：设方程x2一(k一1)x一6=0的另一 代人方程，得62-6(3k十1)+2+2k .x1=1,x2=3. 个根是a, =0, (2)x2+8x-4x-32=0, 解得=3或5， x(x十8)-4(x+8)=0, ÷巴第科任。 则原方程化为x2一10x十24=0或x2 (x十8)(x-4)=0, ∴的值为0，方程的另一个根为2. -16x十60=0，解得x1=4,x2=6或 x+8=0,或x一4=0， x1=6,x2=10, .x1=一8，x2=4. 10,解：由题意得西十=7， 即b=6,c=4,或b=6,c=10, (3)(y-3)2+y2-9=0 此时△ABC三边长为6,6,4或6,6， (y-3)2+(y-3)(y+3)=0, 10,能构成三角形 2y(y-3)=0,·y1=0,y2=3. k=3或5. ①或+4=红+'-2a西=（号）月 (4)(x-7)(x+3)=0, 11.解：(1)换元 x一7=0，或x+3=0, -2x(-) (2)设x2十x=y,则原方程可化为y x1=7,x2=一3. +y-6=0, 2号+-+2西 (5)(2x十3)2-3(2x+3)=0, 解得为=一3,2=2. (2x+3)·2x=0, 13 当y=-3时，x2十x=一3， 3 -6 即x2十x十3=0. ∴a=-是a=0 2 △=2-4ac=1-4×1×3=-11<0, (6)(x+5-4)(x+5+2)=0, (3)+云-3=-3×(- x2+x十3=0无实数根.当y=2 x十1=0，或x+7=0, 31 时，x2十x=2, .x1=-1,x2=-7. 4 36宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 第5课时 用公式法求解一元二次方程 A基础巩固●。· 落实课标 (3)-2x2+3x=6; 1.用公式法解方程5x2=6x一8时，a,b,c的值 分别是 ) A.5,6,-8 B.5,-6,-8 C.5,-6,8 D.6,5,-8 2.关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠ 0,b2-4ac>0)的根是 ( (4)x2-2x+3=2. A.b±VB-4ac B.-b十VB-4ac 2a 2a C.-b土√6-4ac D.-b±BF-4ac 2 2a 3.已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac =0时，方程的解为 A.x=土b -2a B.x=土b a C=- n品 B能力提升●。 2a 灵活应用 4.一元二次方程x2+5x一4=0的根的情况是 8.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限，则 关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0的根 5.用公式法解方程4y2-12y一3=0，其中b2一 的情况为 ( 4ac的值是 A.有两个相等的实数根 6.一元二次方程2x2十4x十c=0有两个相等的 B.有两个不相等的实数根 实数根，那么实数c的取值为 C.没有实数根 7.用公式法解下列方程： D.无法判定 (1)x2-3x-5=0; 9.关于x的一元二次方程x2一(k+1)x=0有 两个不相等的实数根，则的取值范围 为 10.已知关于x的一元二次方程x2一(3k十1)x +2k2+2k=0. (1)求证：无论取何实数值，方程总有实 (2)2x2-10x=3; 数根； 16 第二章一元二次方程 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=6,另两 C拓展应用●。· 深度思考 边长b,c恰好是这个方程的两个根，求 12.如图，菱形ABCD中，m,n,t(m≤n)分别是 的值， 菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我 们把关于x的形如mx2+2x+2n=0的一 元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请解 决下列问题： (1)填空： ①当m=4,n=8时，t= ②用含m,n的代数式表示t2= (2)求证：关于x的“菱系一元二次方程” 11.阅读材料： 为了解方程(x2一1)2一5(x2-1)十4=0，我们 mx2+2x士2n=0必有实数根. 可以将x2一1看作一个整体，然后设x2一1= y,那么原方程可化为y2一5y+4=0①，解得 y=1,y2=4.当y=1时，x2-1=1,所以x2= 2,x=土√2；当y=4时，x2-1=4,所以x2= 5,x=士√5.故原方程的解为x1=√2，x2= -√2，x3=√5，x4=-√5. (1)上述解题过程，在由原方程得到方程① 的过程中，利用 法达到了降次 的目的，体现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程(x2十x)2十(x2十 x)-6=0. 17