第七章 证明（举一反三单元测试·培优卷）数学北师大版2024八年级上册

第七章 证明·培优卷 【北师大版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列语句不是命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等 C．如果，那么 D．延长线段至点C 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 4．（24-25七年级上·全国·期末）下列判断正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．凡是直角都相等 C．两个锐角的和一定是锐角 D．钝角与锐角的差小于直角 5．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 6．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：延长交※于点，则（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又，得▲ 故（@相等，两直线平行） A．※代表 B．代表 C．▲代表 D．@代表同位角 9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在四边形中，分别是上的点，连接，且．求证：．是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是（   ） ①，②．③，④．⑤． A．①④③②⑤ B．③⑤①④② C．③④①②⑤ D．①⑤③④② 10．如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 12．（25-26七年级上·云南丽江·期中）命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 13．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 14．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是 ．根据是 ． 15．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 18．（6分）证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 证明： 19．（8分）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 20．（8分）（25-26七年级上·云南红河·期中）完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 21．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 22．（10分）如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 23．（12分）（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 24．（12分）如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． (1)当时，______； (2)当时，求； (3)作的角平分线，若，直接写出的值：______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 证明·培优卷 【北师大版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列语句不是命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等 C．如果，那么 D．延长线段至点C 【答案】D 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对事件作出判断的语句，叫做命题，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C选项都对事件作出了判断，是命题，D选项没有对事件作出判断，不是命题； 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意； B．，则，，是反例，故B符合题意． C．，则，，不是反例，故C不符合题意； D．，则，，不是反例，故D不符合题意． 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·期末）下列判断正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．凡是直角都相等 C．两个锐角的和一定是锐角 D．钝角与锐角的差小于直角 【答案】B 【分析】本题考查了命题、角的有关概念，解题的关键是正确理解角的概念．根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、角是有公共点的两条射线所组成的图形，故A选项错误，不符合题意； B、直角都是的角，所以都相等，故B选项正确，符合题意； C、两个锐角的和可以是锐角或直角或钝角，故C选项错误，不符合题意； D、例如，，钝角与锐角的差不一定小于直角，故D选项错误，不符合题意， 故选：B． 5．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图，    根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 6．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平行线的判定定理可判断选项B，C，D． 【详解】解：．和不是内错角，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，首先求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：延长交※于点，则（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又，得▲ 故（@相等，两直线平行） A．※代表 B．代表 C．▲代表 D．@代表同位角 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，由三角形外角的性质得到，而，得，即可证明． 【详解】A、※代表，故A选项不符合题意； B、代表，故B选项不符合题意； C、▲代表，正确，故C选项符合题意； D、@代表内错角，故D选项不符合题意． 故选：C． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在四边形中，分别是上的点，连接，且．求证：．是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是（   ） ①，②．③，④．⑤． A．①④③②⑤ B．③⑤①④② C．③④①②⑤ D．①⑤③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．根据同旁内角互补两直线平行证明，根据内错角相等两直线平行证明，得到，再利用平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴证明步骤正确的顺序是③⑤①④②， 故选：B． 10．如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，三角形内角和定理的应用，角度的相关计算，由已知条件可得出，即可判断①；过点F作，过点H作，，，由平行线的性质和三角形内角和定理可得出，，即可判断②③④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图，过点F作，过点H作， ∵， ∴， ∴，，， 设，，则，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴不一定等于，故结论②错误； ∵， ∴不一定等于90°，故结论③错误； ∵，故结论④正确． 综上所述，正确结论为①④． 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行． 12．（25-26七年级上·云南丽江·期中）命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：同位角不一定相等，只有两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题； 故答案为：假． 13．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是 ．根据是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定定理．根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行或者同位角相等，两直线平行，或者同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：①添加， 则， ∴（内错角相等，两直线平行） ②添加， 则， ∴（同位角相等，两直线平行） ③添加， 则 ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 15．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系． 先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数． 【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等． 已知，当时，对应的同位角应为． 当前，因此木条逆时针旋转的度数为． 故答案为： 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用及角平分线的定义，熟知相关知识点，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 过点作，根据平行公理的推论证明，根据平行线的性质证明，，根据于点，于点，点在线段上，推出，即可求解． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、分别平分和， ，， ， ， ，， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 18．（6分）证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 证明： 【答案】见解析. 【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG与FG为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠GEF+∠EFG=90°，根据三角形的内角和定理即可得∠EGF=90°，结论得证． 【详解】已知：直线AB∥CD，直接EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF，∠EFD的平分线交于G点. 求证：EG⊥FG 证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠GEF=∠BEF，∠EFG=∠EFD， ∴∠GEF+∠EFG=∠BEF+∠EFD=×180°=90°， ∴∠EGF=180°-(∠GEF+∠EFG)=90°， ∴EG⊥FG 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，平行线的性质是关键． 19．（8分）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 20．（8分）（25-26七年级上·云南红河·期中）完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线判定与性质，根据同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等等定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 21．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22．（10分）如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 23．（12分）（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 24．（12分）如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． (1)当时，______； (2)当时，求； (3)作的角平分线，若，直接写出的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质求解，即可得到答案； （2）过点作直线，根据平行线的性质，得到的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质，即可求出； （3）根据角平分线和平行线的性质，得到的度数，再根据平行线的性质，得到的度数，然后利用三角形内角和定理列式求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，过点作直线， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $