精品解析：河南省开封市尉氏县第三高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度高一数学12月月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，进而求交集即可. 【详解】，，两集合的公共元素只有0， 所以, 故选：C 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可比较，再由指数函数的单调性可得， 再由对数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】因为为增函数，所以. 因为为减函数，所以，则. 又为减函数，所以， 故，即. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 5. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式得到，求出. 【详解】因为，由基本不等式可得：， 即， 因为，解得：，当且仅当时，等号成立， 故选：B 6. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围. 【详解】令， 因为所以的定义域为， 则， 又，， 所以， 所以为奇函数； 在上为增函数，在上为增函数， 又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数； 等价于，即， 则 解得：或， 即关于x的不等式的解集为. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 为第四象限角 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据点的坐标求出该点到原点的距离，再根据三角函数定义求出、、的值，然后利用诱导公式化简式子并求值，最后判断各个选项的正误. 【详解】已知角的终边经过点，根据两点间距离公式. 根据三角函数定义，，. 当时，，则，，. 当时，，则，，. 当时，，，为第四象限角； 当时，，，为第二象限角，所以选项错误. 由前面计算可知，所以选项正确. 当时，； 当时，，所以选项正确. 根据诱导公式，. 当时，. 当时，，所以选项错误. 故选：BC. 10. 下列说法中正确的是（    ） A. B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，则角所在象限是第二象限 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由诱导公式可得A正确；由象限角的范围可得B错误；C正确；由同角的三角函数关系和三角函数的范围可得D错误. 【详解】对于A：由诱导公式可得，故A正确； 对于B：因为是第二象限角，所以， 所以，为第一或第三象限角，故B错误； 对于C: 因为，所以角所在象限是第二象限，故C正确； 对于D: 因为，平方后可得，又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 函数有2个零点 D. 若关于x的方程在区间上的实数根的之和为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件推出周期性和奇偶性，A选项有函数的奇偶性的性质结合周期性判断，B由函数的周期性分组求和即可；CD画出图像，数形结合求解； 【详解】由于为偶函数，则关于对称，则， 故，结合可得， 用取代，得到，用取代，得到， 于是，的周期为4，由可得， 结合可得，故为奇函数. 对A，由幂函数的性质，在上单调递增，由奇函数的性质，在上递增， 又关于对称，则在上递减，又周期为4，故在上单调递减，故A错误； 对B，奇函数的定义域为，故，又周期为4，故， 由，取得到，取，得到， 故， 所以，故B正确； 对C，在同一直角坐标系中作出和的图像如下： 由图象可得有两个交点，故有两个零点，故C正确； 对D，先作出在上的图象， 由，根据对称性，四个点的横坐标之和为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若为第二象限角，且，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由同角函数的基本关系及诱导公式求解即可． 【详解】由得， 因为为第二象限角，则， 则 ． 故答案为：． 13. 若、是关于的方程的两个根，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意得，，则或， 又，即，解得或（舍去）， 则， 所以 . 故答案为：. 14. 勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】勒洛三角形的面积为个圆心角为的扇形面积减去个正三角形面积，即可得解. 【详解】因为，，所以，是边长为的等边三角形， 所以，， 易知勒洛三角形的面积为个圆心角为的扇形面积减去个正三角形面积， 故勒洛三角形的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 计算: （1）; （2）. （3）已知，试用表示和. 【答案】（1）； （2）8； （3）， . 【解析】 【分析】（1）根据指数和对数的运算得解； （2）根据指数幂的运算化简得解. （3）根据条件及对数的运算性质，用表示出，进而根据对数的运算可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 【小问3详解】 由，得①， 由，得②， 由①②得，， 所以， . 16. 已知函数，． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是，. （2），此时；，此时. 【解析】 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 17. 为了预防冬季流感，某学校对教师用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示． （1）从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； （2）据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室； （3）若空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续16分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果． 【答案】（1）； （2）小时； （3）达到． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象以及题意即可求出； （2）解不等式即可求出； （3）根据不等式的解集区间长度与分的关系即可判断． 【小问1详解】 当时，设（为待定系数），根据点在直线上，所以；同理，当时，，解得：，故从药物释放开始，y与t的函数关系式为：． 【小问2详解】 由题意可知，，解得：，即消毒小时后，学生才能回到教室． 【小问3详解】 由可得，或，解得：，所以空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续时间，所以，根据所得函数模型，这样消毒达到了预期的效果． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一数学12月月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 为第四象限角 B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（    ） A. B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，则角所在象限是第二象限 D. 若，，则 11. 函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 函数有2个零点 D. 若关于x的方程在区间上的实数根的之和为12 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若为第二象限角，且，则的值是_____． 13. 若、是关于的方程的两个根，则____. 14. 勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积为________. 四、解答题 15. 计算: （1）; （2）. （3）已知，试用表示和. 16. 已知函数，． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 17. 为了预防冬季流感，某学校对教师用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示． （1）从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； （2）据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室； （3）若空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续16分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $