专项03 带电粒子在异形边界磁场中的运动与多解、临界、极值问题（重难点训练）物理人教版选择性必修第二册

专项03 带电粒子在异形边界磁场中的运动与多解、临界、极值问题 一．带电粒子在三角形边界匀强磁场中的运动（共5小题） 1 二．带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动（共6小题） 6 三．带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动与磁聚焦和磁发散（共6小题） 13 四．带电粒子在匀强磁场中运动的多解与周期性问题（共4小题） 19 五．带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题（放缩圆、旋转圆、平移圆）（共6小题） 24 一．带电粒子在三角形边界匀强磁场中的运动（共5小题） 1.如图所示，边长为的等边三角形内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，是边的中点，一质量为、电荷量为的带电粒子从点以速度平行于边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是(    ) A. 粒子可能从点射出 B. 若粒子垂直于边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C. 若粒子从点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D. 若粒子从边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 【答案】C  【解析】A.带负电的粒子从点以速度平行于边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于边的限制，粒子不能到达点，故A错误； B.粒子垂直于边射出，如图甲所示 则粒子做匀速圆周运动的半径等于点到边的距离，即，故B错误； C.粒子从点射出，如图乙所示 根据几何关系可得 解得 则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为 则 粒子在磁场中运动的时间为 故C正确； D.由，可知 若粒子从边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示 粒子从边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D错误。 故选C。 2.如图所示，直角三角形内包括边界存在垂直于纸面向里的匀强磁场，，，两个带异种电荷的粒子分别沿方向射入磁场，偏向左边的粒子恰好没有从边射出磁场，偏向右边的粒子恰好垂直边射出磁场，忽略粒子重力和粒子间的相互作用。若正、负粒子的速度大小之比为，则正、负粒子的比荷之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】依题意，画出粒子运动轨迹图。 由几何关系可知，由，可得，正、负粒子的速度大小之比为，则正、负粒子的比荷之比为。 3（多选）.如图所示，等腰直角三角形所围成的区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，边的中点处有一粒子源，可以沿垂直边且垂直于磁场的方向向磁场内射入不同速率的同种带电粒子，不计这些粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(    ) A. 若粒子带正电，粒子可能从点射出磁场 B. 若粒子带负电，粒子可能从点射出磁场 C. 粒子不可能从边中点射出磁场 D. 从点射出磁场的粒子与从边中点射出磁场的粒子速度之比为 【答案】CD  【解析】解：若粒子带正电，粒子受到垂直速度向下的洛伦兹力，假设粒子从点射出，连接，作的中垂线，与点速度方向的垂线相交，即为圆心，则如图所示， 由图可知，运动轨迹已经超出磁场边界，由此可知，粒子不可能从点射出磁场，故A错误； B.若粒子带负电，粒子受到垂直速度向上的洛伦兹力，同理由上面所示图像可知，粒子不可能从点射出磁场，故B错误； C.粒子若从边中点射出磁场，说明粒子必须做直线运动，而粒子只受洛伦兹力，不可能做直线运动，故粒子不可能从边中点射出磁场，故C正确； D.粒子从点射出磁场时，属于同一直线边界，遵循垂直射入，垂直射出，由运动轨迹可知：，根据洛伦兹力充当向心力，，则粒子速度； 粒子若从边中点射出磁场，由运动轨迹可知，轨道半径，根据洛伦兹力充当向心力，，则粒子速度，因此，故从点射出磁场的粒子与从边中点射出磁场的粒子速度之比为，故D正确。 4（多选）.如图所示的虚线为边长为的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场图中未画出，、为、边的中点。一重力不计的带正电粒子粒子的比荷为，由点垂直以初速度进入磁场，从点射出磁场，则(    ) A. 磁场的方向垂直纸面向外 B. 磁感应强度大小 C. 粒子在磁场中运动的时间 D. 若粒子射入速度大小变为，方向不变，在磁场运动的时间为 【答案】BC  【解析】解：、带正电的粒子粒子的比荷为，由点垂直以初速度进入磁场，从点射出磁场，画出轨迹图如图实线所示； 根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向里，故A错误； B、根据洛伦兹力提供向心力， 根据几何关系得 依题意 联立解得，磁感应强度大小为，故B正确； C、粒子在磁场中运动的时间为，故C正确； D、根据得，若粒子射入速度大小变为，方向不变，可知粒子半径将变为，若按图中虚线轨迹，在磁场运动的时间为，因为磁场边界的限制，故在磁场运动的时间一定小于，故D错误。 故选 BC。 5（多选）.如图所示，在纸面内两直角边长均为的直角三角形区域内不含边界有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为的带负电粒子从边的中点平行边射入区域，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是 A. 粒子刚进入磁场时受到向左的洛伦兹力 B. 时，带电粒子垂直于边射出磁场 C. 若粒子从边射出磁场，则 D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BD  【解析】A.由左手定则可知粒子刚进入磁场时受到向右的洛伦兹力，故A错误； B.垂直于边射出磁场时，半径为，由可得速度，故B正确； D.由几何关系可知，当运动轨迹与相切时，偏转的圆心角最大为，如图： ； 此时轨道半径小于，速度；周期，运动的最长时间，故D正确； C.若粒子从边射出磁场：当运动轨迹与相切时，轨道半径小于，此时速度最大； 当粒子刚好从点射出磁场时，运动轨迹与相切时，此时轨道半径最小为，则最小速度； 所以，故C错误。 二．带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动（共6小题） 6.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是(    ) A. 粒子带正电 B. 粒子在点速率大于在点速率 C. 若仅减小磁感应强度，则粒子可能从点右侧射出 D. 若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 【答案】C  【解析】、粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电，故错误； 、粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，粒子在点速率等于在点速率，故错误； 、根据可知，若仅减小磁感应强度，则粒子运动的半径增大，粒子可能从点右侧射出，故正确； 、若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动半径减小，粒子轨迹对应的圆心角有可能增大，根据可知粒子运动时间可能增加，故错误。 故选：。 7.如图所示，边长为的正六边形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场。带正电的粒子从边的中点以某一速度垂直边射入磁场，恰好从相邻边的中点射出磁场，不计粒子重力。则下列说法正确的是(    ) A. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为 B. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为 C. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为 D. 若粒子与边成角斜向右下方射入磁场，调整速度大小，粒子可能从点射出磁场 【答案】C  【解析】、已知入射方向和出射点对轨迹的分析，根据几何关系，粒子在点受到的洛伦兹力向左，圆心在边所在直线上，的中垂线过圆心，交点在点，所以圆心在点，粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为，而速度偏转角等于圆心角，故AB错误，C正确； D、是否会从某顶点射出基本判断方法：当时，可以过磁场边界交点，发射点到磁场边界交点的距离为，如图甲所示；当时，不能通过磁场边界交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示，本题入射方向与方向成角，大于，无法到达点，故D错误。 8（多选）.如图所示，边长为的正方形区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子从点沿方向射入磁场，当粒子速度为时，粒子正好从点射出，粒子重力忽略不计，则(    ) A. 粒子的电荷和质量的比值为 B. 当粒子速度为时，粒子在磁场中的运动时间为 C. 当粒子速度为时，粒子在磁场中的运动时间为 D. 若粒子从的中点射出，则粒子的速度大小为 【答案】BD  【解析】A.粒子正好从点射出，粒子运动半径为，根据，解得，选项A错误 粒子在磁场中的运动周期为，粒子运动的周期与粒子的速率无关，故当粒子速度为时，粒子转动半个圆周从的中点射出，在磁场中的运动时间为，选项B正确，C错误 D.若粒子从的中点射出，设粒子半径为，如图所示，根据，解得， 根据，解得，选项D正确。 故选BD。 9（多选）.如图正六边形是一个绝缘筒的截面，筒内无磁场，在每边中点处开一小孔。现有质量为，电荷量为的粒子不计重力，从其中一个小孔以垂直边长方向、大小恰当的初速度，进入外部磁感应强度大小为的无限大匀强磁场。磁场方向垂直截面，若粒子可以不与筒相碰，以相同速度回到起点，那么该过程粒子经历的时间可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】AD  【解析】由，，画出粒子可能运动轨迹， 这种情况，粒子运动一个周期时间，故A可能； 这种情况，粒子运动一个周期时间，故D可能，不可能。 10（多选）.如图，宽度为的矩形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，一群质量、电荷量、速率均相同的带电粒子，同时从点沿纸面向各个方向射入磁场．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径为，从发射到所有粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。不考虑粒子间的相互作用，不计重力．以下判断正确的是(    ) A. 粒子一定带正电 B. 沿方向射入的粒子在磁场中运动的时间最长 C. 矩形区域的边长度为 D. 沿方向射入的粒子将从点离开磁场 【答案】AC  【解析】A、从发射到所有粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动的四分之一，可知粒子在磁场中运动的最长时间为四分之一个周期，作出粒子的临界轨迹图，根据左手定则知，粒子带正电，故A正确； B、由图可知， 当粒子的轨迹与边相切时，运动时间最长，根据几何关系知，，即粒子速度方向与边夹角为度时，粒子运动的时间最长，故B错误； C、根据几何关系知，边的长度，故C正确； D、若粒子从点射出，如下图所示， 根据几何关系知，速度与边夹角的正弦， 而边与边夹角的正弦， 故沿方向射入的粒子不是从点离开磁场，故D错误。 故选：。 11（多选）.如图所示，空间中有一底角为的等腰梯形，上底与腰长均为，梯形内部存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底的中点处有一粒子源，可以向上方任意方向射出速度大小可变的电子，已知电子的比荷为，下列说法正确的是(    ) A. 若粒子可以到达点，则其最小速度为 B. 若粒子可以到达边，则其最小速度为 C. 、边有粒子射出，则边一定有粒子射出 D. 到达点和到达点的粒子一定具有相同的速率 【答案】AB  【解析】A、根据洛伦兹力提供向心力，可知，解得：，要想速度最小，则其半径最小； 若想粒子到达点时，其最小速度对应其最小半径；由圆周运动的几何关系可知，圆心必然在连线的中垂线上，由该等腰梯形的特殊几何关系，可知要想从点射出磁场时，速度方向恰好与边相切，如图所示； 由图可知：，解得：，而，联立解得：，故A正确； B、粒子要到达边，速度最小的临界条件为，其圆周运动的轨迹与边相切，如图： 由图可知：，由选项分析可知：，联立解得：，故B正确； C、粒子要到达边，速度最小的临界条件为，其圆周运动的轨迹与边相切，如图： 由洛伦兹力提供向心力可知，可到达边的最小速度为：， 由几何关系可知：，解得：； 粒子要到达边，速度最小的临界条件为，其圆周运动的轨迹与边相切，如图： 由洛伦兹力提供向心力可知：，可知到达边的最小速度为：， 由几何关系可知：，解得：； 即从边临界速度更大，当电子速度小于边临界速度，但大于、边临界速度时，、边有粒子射出，但边没有粒子射出，故C错误； D、由选项分析可知从点出磁场的粒子的最小速度，但粒子从点出磁场，不一定是最小速度，故速度大小不唯一，故从、两点出磁场，对应的速率也不一定相等，故D错误。 故选：。 三．带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动与磁聚焦和磁发散（共6小题） 12.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】 设圆形区域磁场的半径为，当速度大小为时，从点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为图甲时，由题意知，由几何关系得轨迹圆半径为； 从点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为图乙；由题意知，由几何关系得轨迹圆的半径为； 洛伦兹力充当向心力，即：，解得： ，故速度与半径成正比，因此 ，故正确，错误。 13.如图所示，在平面内，有一粒子源沿轴正方向发射速率相等的质量为、电荷量为的带电粒子。粒子射入一个半径为、中心位于原点的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直平面向里，磁感应强度的大小为。已知沿轴入射的粒子经磁场偏转后从点射出。下列说法正确的是(    ) A. 粒子的速率 B. 沿轴入射的粒子在磁场中的运动时间 C. 不同位置入射的粒子会从不同位置离开磁场 D. 关于轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于轴对称 【答案】D  【解析】A.粒子源沿  轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后从  点射出，则该粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等，偏转角为  ，故粒子做圆周运动的轨道半径  粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得  解得  A错误； B.粒子源沿  轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后从  点射出，则偏转角为  ，沿  轴入射的粒子在磁场中的运动时间  B错误； C.如图所示，粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等，由几何关系可知粒子源沿  轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后均从  点射出，C错误； D.如图所示。 设关于  轴对称入射的两个粒子从  、  点进入磁场，从磁场中离开时的速度方向与  轴夹角分别为  ，两个粒子做圆周运动的圆心分别是  、  ，过  点做  、  点连线的垂线段，垂足为  点。由几何关系可得  ，  根据  可知  证得  即关于  轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于  轴对称，D正确。 故选D。 14.如图所示，在和之间有大量相同带电粒子以同一速度沿水平方向射入以为圆心的圆形匀强磁场区域，该圆形磁场方向垂直纸面向外，与圆心在同一水平直线上，和间距离为，已知所有粒子均从点正下方的点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴点，已知下方磁场的磁感应强度是上方磁场的两倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则挡板下表面有粒子打到的区域长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据磁聚焦原理可知，粒子在圆形磁场中运动的轨迹半径应等于圆磁场半径，则从点射入的粒子应刚好竖直向下射出点，考虑从点和点射入的两个临界粒子的轨迹，如图 根据，，因为下方磁场的磁感应强度是上方磁场的两倍，则下方粒子轨迹半径为； 从点射入粒子从点射出后做半个圆周运动打到挡板，落点与的距离为； 从点射入粒子，根据几何关系可知，其速度方向与挡板夹角满足，，则落点与的距离为 则挡板下表面有粒子打到的区域长度 故选C。 15（多选）.如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，、是两条相互垂直的直径。在磁场内点有一放射源，能向各个方向以相同的速率未知射出相同的带电粒子，所有粒子均从之间射出磁场点有粒子射出，已知粒子所带电荷量为、质量为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(    ) A. 粒子在磁场中运动的半径为 B. 粒子进入磁场时的速率为 C. 若仅将匀强磁场的磁感应强度大小变为则粒子射出磁场边界的圆弧长度为 D. 若仅将粒子的速率变为则所有粒子射出磁场时的方向都相同 【答案】BD  【解析】因为所有粒子射出磁场时均在之间，是某粒子运动的直径，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径，选项A错误 由，解得，选项B正确 若仅将磁感应强度大小变为，则由可知粒子在磁场中运动的半径为，那么粒子在圆形磁场中的最长弦为直径，粒子射出磁场边界的圆弧对应的圆心角为，圆弧长度为，选项C错误 若粒子的速率为，则由可知粒子在磁场中运动的半径为，因为粒子做圆周运动的半径与区域圆的半径相等，发生磁发散现象，所有粒子射出磁场时的方向都相同，选项D正确。 16（多选）.如图所示，半径为的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为、电荷量为的带正电粒子，粒子速度大小均为。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为且离开磁场时速度方向均与平行，、为互相垂直的直径，则(    ) A. 粒子离开磁场时速度方向平行向下 B. 磁感应强度大小为 C. 经过圆心的粒子在磁场中运动的时间为 D. 沿着方向射入的粒子在磁场中运动的时间为 【答案】BD  【解析】解：粒子带正电，根据左手定则可知：洛伦兹力方向向上，所以粒子离开磁场时速度方向平行向上，故A错误； B.粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，可得，解得：，故B正确； C.经过圆心的粒子在磁场中运动的轨迹如图： ； 由几何关系可知：圆心角，粒子在磁场中运动的时间 ，故C错误； D.沿着方向射入的粒子在磁场中运动轨迹如图： ； 由几何关系可知：圆心角，粒子在磁场中运动的时间，故D正确。 17.如图所示，和为平行金属板，质量为、电荷量为的带电粒子从由静止开始被两板间的电场加速后，从上的小孔穿出，以速度由点射入圆形匀强磁场区域，经点穿出磁场，为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，不计重力。 判断粒子的电性，并求、间的电压； 求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】带电粒子在磁场中运动，由左手定则可知粒子带正电。 粒子在电场中运动，由动能定理有，解得。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有，解得。 设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如下图： 由题意，粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系有 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为，有，带电粒子在磁场中运动的时间 联立以上各式，解得。 四．带电粒子在匀强磁场中运动的多解与周期性问题（共4小题） 18.在如图所示的平面内，分界线将宽度为的区域分成两部分，上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，与磁场左右边界垂直。离子源从处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与成角。已知离子比荷为，不计重力。若离子从点射出，设出射方向与入射方向相同，则离子的入射速度可能为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】D、下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，若离子通过下部分磁场直接到达点，如图甲所示， 根据几何关系则有，由，可得， 根据对称性可知出射速度与成角斜向上，但是出射方向与入射方向的夹角为。故D错误 C、当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，，则根据几何关系可得有，， 根据洛伦兹力提供向心力，有，可得，此时出射方向与入射方向相同。故C正确； 、通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，此时出射方向与入射方向的夹角为； 当离子从上部分磁场射出时，需满足，此时出射方向与入射方向相同。 19.光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从点沿射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(    ) A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心 B. 最少经次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向不一定平行于碰撞点与圆心的连线 【答案】B  【解析】假设粒子带负电，如下图所示为粒子从点射入后到第一次与圆筒发生碰撞的运动轨迹，  为圆周运动轨迹的圆心，点为第一次的碰撞位置。根据几何关系可知    ，即粒子到达点时的速度方向与过点的切线垂直，所以碰撞前粒子的速度在碰撞点的切线方向的分量为零，又因为法线方向的速度分量大小不变，方向相反，所以在点碰撞后的速度方向沿着方向，速度大小不变，以此类推，接下来粒子与圆筒碰撞后的速度方向都沿着碰撞点与点的连线方向，即平行于碰撞点与圆心的连线；假设粒子的运动轨迹通过点，则碰撞点与的连线为轨迹上的弦，而碰撞点与点的连线方向又为粒子在碰撞点的速度方向，所以不符合曲线运动的速度特征，故AD错误。   B.根据题意可知，粒子在磁场中每段运动轨迹的圆心的连线所构成的多边形应该是以圆筒为内接圆的多边形，若碰撞次数越少，则多边形的边数越少，最少的情况为三角形，每条边与圆筒相切的位置为碰撞点，即粒子与圆筒碰撞次，故B正确。   C.若粒子速度越大，则粒子做圆周运动的半径越大，粒子与圆筒碰撞的次数可能会增多，粒子运动时间不一定越少，所以 C错误。 20（多选）.如图所示，平面中轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为。点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为，质量为、电荷量为的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是(    ) A. 粒子在磁场中运动的最长时间为 B. 为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度应满足 C. 若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D. 若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 【答案】AC  【解析】向轴正向发射的粒子运动的最长时间为，项正确 向轴正向发射的粒子最容易从上边界飞出，当其恰好从上边界飞出时，其半径，为使其从上边界飞出应满足，项错误 若磁感应强度为时，半径，所有粒子运动的区域面积为，项正确 若磁感应强度为，半径，向轴正向发射的粒子从上边界最右侧飞出，其轴坐标为，当粒子轨迹和上边界相切时，其轴坐标为，故粒子能从上边界射出的宽度为，项错误。 21（多选）.如图所示，在某空间的一个区域内有一直线与水平面成角，在两侧存在垂直于纸面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为。位于直线上的点有一粒子源，能不断地水平向右发射速率不等的相同粒子，粒子带正电，电荷量为，质量为，所有粒子运动过程中都经过直线上的点，已知，不计粒子重力及粒子相互间的作用力，则粒子的速率可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】 粒子运动过程只受洛伦兹力作用，故在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，故有，所以，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 根据几何关系可得：粒子从点水平进入右侧磁场，那么，粒子打在上时速度方向竖直向下，且在上的位移为； 然后粒子在左侧磁场中运动，打在上时的速度水平向右，且在上的位移为； 又由所有粒子运动过程中都经过直线上的点，故有：，； 所以，粒子速率：，，故ABC正确，D错误。 故选ABC。 五．带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题（放缩圆、旋转圆、平移圆）（共6小题） 22.如图所示，在平面直角坐标系内，与轴的夹角为，足够长，与轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于的带电粒子。带电粒子的质量为，电荷量为，则带电粒子能打到轴距坐标原点最远位置的横坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】带电粒子在磁场中运动过程中，洛伦兹力提供向心力有，将磁感应强度  代入，解得 ，上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为一平移圆，如图所示， 根据几何关系可得当粒子半径  与垂直时，打到轴上的点距坐标原点最远，根据几何关系得，另外要注意本题中带电粒子打的最远的距离不是轨迹与轴相切时，如果相切时作出轨迹图如图所示， 根据几何关系有，所以点不是距离坐标原点最远的点。 故选C。 23.如图，直角三角形区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向内的匀强磁场，，。质量为、电荷量为且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，，则粒子经磁场偏转后能返回到边的粒子数占射入到边总粒子数的百分比为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：粒子在磁场中运动的轨迹半径， 粒子经磁场偏转后能返回到边的粒子在磁场中运动的轨迹为半圆， 如图： 入射点为时半圆与相切，然后将半圆沿向左平移，直至半圆与相切，此时人射点为， 则从线段上射入磁场的粒子会全部返回到边上， 由几何关系得：，，， 粒子经磁场偏转后能返回到边的粒子数占射入到边总粒子数的百分比为，选项C正确。 24.如图所示，直角三角形中，，其区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为 为粒子的比荷的带正电的粒子。不考虑粒子的重力和相互间作用力，下列说法正确的是(    ) A. 边上有粒子到达区域的长度为 B. 从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C. 从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D. 边上有粒子到达区域的长度为 【答案】C  【解析】A.对粒子，在磁场中运动时有：，解得，根据题意可知，，，故粒子在磁场中运动的半径，如图所示， 做出粒子从边射出的两个临界状态，根据几何关系，可得，，，，因此边上有粒子到达区域的长度为，故A错误； D.如图所示 借助旋转圆，可知边上有粒子到达区域的长度为，根据几何关系，可得，故D错误。 B. 边射出的粒子，从点射出时，其在磁场中运动的时间最长，最长时间为，故B错误； C.经分析可知，从边射出的粒子，从点射出时，在磁场中运动时间最短，最短时间，故C正确。 25.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计粒子重力及粒子之间的相互作用力，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由 可知 即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。若粒子运动的速度大小为，如图所示 通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点离点最远时 同样，若粒子运动的速度大小为，当粒子的磁场出射点离点最远时 由几何关系可知， 则 故选C 26.如图所示，三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，，，垂直于，长度为。点有一电子源，在平面向磁场内各个方向均匀发射速率均为的电子，速度方向用与的夹角表示，电子质量为，电荷量为，且满足。下列说法正确的是(    ) A. 从边射出的电子占总电子数的六分之一 B. 从边射出的电子占总电子数的二分之一 C. 从边射出的电子占总电子数的三分之一 D. 所有从边射出的电子中，当时，所用的时间最短 【答案】B  【解析】由得，画出轨迹图 A、由几何关系，时电子从点射出磁场，故从边射出的电子占总电子数的三分之一，A错误； B、由几何关系，时电子从点射出磁场，，从边射出的电子占总电子数的二分之一，B正确； C、由前分析，从边射出的电子占总电子数的六分之一，C错误； D、所有从边射出的电子中，弦垂直边的粒子用时最短，由几何关系知，，D错误。 27.如图所示，正方形区域内含边界有垂直纸面向里的匀强磁场，，，连线与边平行，大量带正电的粒子从点沿与边成角方向以不同的初速度射入磁场，已知带电粒子的质量为，电荷量为，磁场的磁感应强度大小为，，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 求恰好从点射出磁场的粒子的速度大小； 要使粒子从边离开磁场，求初速度的取值范围。 【答案】解：当粒子恰好从射出磁场时，轨迹如图所示，由几何关系可知：． 又 解得； 先找临界恰好切于点的轨迹对应的入射角，如图所示此时满足， ，即，再利用 解得， 当粒子轨迹与边相切时，如图所示，设此时初速度为，轨道半径为，由几何关系可得 解得 又 解得 由于，故粒子轨迹与边无法相切，当轨迹半径最大时粒子恰好过点，如图所示， 设此时初速度为，轨道半径为， 由几何关系可得 解得 又 解得 综上可得。  2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 带电粒子在异形边界磁场中的运动与多解、临界、极值问题 一．带电粒子在三角形边界匀强磁场中的运动（共5小题） 1 二．带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动（共6小题） 3 三．带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动与磁聚焦和磁发散（共6小题） 5 四．带电粒子在匀强磁场中运动的多解与周期性问题（共4小题） 7 五．带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题（放缩圆、旋转圆、平移圆）（共6小题） 9 一．带电粒子在三角形边界匀强磁场中的运动（共5小题） 1.如图所示，边长为的等边三角形内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，是边的中点，一质量为、电荷量为的带电粒子从点以速度平行于边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是(    ) A. 粒子可能从点射出 B. 若粒子垂直于边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C. 若粒子从点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D. 若粒子从边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 2.如图所示，直角三角形内包括边界存在垂直于纸面向里的匀强磁场，，，两个带异种电荷的粒子分别沿方向射入磁场，偏向左边的粒子恰好没有从边射出磁场，偏向右边的粒子恰好垂直边射出磁场，忽略粒子重力和粒子间的相互作用。若正、负粒子的速度大小之比为，则正、负粒子的比荷之比为(    ) A. B. C. D. 3（多选）.如图所示，等腰直角三角形所围成的区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，边的中点处有一粒子源，可以沿垂直边且垂直于磁场的方向向磁场内射入不同速率的同种带电粒子，不计这些粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(    ) A. 若粒子带正电，粒子可能从点射出磁场 B. 若粒子带负电，粒子可能从点射出磁场 C. 粒子不可能从边中点射出磁场 D. 从点射出磁场的粒子与从边中点射出磁场的粒子速度之比为 4（多选）.如图所示的虚线为边长为的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场图中未画出，、为、边的中点。一重力不计的带正电粒子粒子的比荷为，由点垂直以初速度进入磁场，从点射出磁场，则(    ) A. 磁场的方向垂直纸面向外 B. 磁感应强度大小 C. 粒子在磁场中运动的时间 D. 若粒子射入速度大小变为，方向不变，在磁场运动的时间为 5（多选）.如图所示，在纸面内两直角边长均为的直角三角形区域内不含边界有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为的带负电粒子从边的中点平行边射入区域，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是 A. 粒子刚进入磁场时受到向左的洛伦兹力 B. 时，带电粒子垂直于边射出磁场 C. 若粒子从边射出磁场，则 D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为 二．带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动（共6小题） 6.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是(    ) A. 粒子带正电 B. 粒子在点速率大于在点速率 C. 若仅减小磁感应强度，则粒子可能从点右侧射出 D. 若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 7.如图所示，边长为的正六边形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场。带正电的粒子从边的中点以某一速度垂直边射入磁场，恰好从相邻边的中点射出磁场，不计粒子重力。则下列说法正确的是(    ) A. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为 B. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为 C. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为 D. 若粒子与边成角斜向右下方射入磁场，调整速度大小，粒子可能从点射出磁场 8（多选）.如图所示，边长为的正方形区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子从点沿方向射入磁场，当粒子速度为时，粒子正好从点射出，粒子重力忽略不计，则(    ) A. 粒子的电荷和质量的比值为 B. 当粒子速度为时，粒子在磁场中的运动时间为 C. 当粒子速度为时，粒子在磁场中的运动时间为 D. 若粒子从的中点射出，则粒子的速度大小为 9（多选）.如图正六边形是一个绝缘筒的截面，筒内无磁场，在每边中点处开一小孔。现有质量为，电荷量为的粒子不计重力，从其中一个小孔以垂直边长方向、大小恰当的初速度，进入外部磁感应强度大小为的无限大匀强磁场。磁场方向垂直截面，若粒子可以不与筒相碰，以相同速度回到起点，那么该过程粒子经历的时间可能是(    ) A. B. C. D. 10（多选）.如图，宽度为的矩形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，一群质量、电荷量、速率均相同的带电粒子，同时从点沿纸面向各个方向射入磁场．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径为，从发射到所有粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。不考虑粒子间的相互作用，不计重力．以下判断正确的是(    ) A. 粒子一定带正电 B. 沿方向射入的粒子在磁场中运动的时间最长 C. 矩形区域的边长度为 D. 沿方向射入的粒子将从点离开磁场 11（多选）.如图所示，空间中有一底角为的等腰梯形，上底与腰长均为，梯形内部存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底的中点处有一粒子源，可以向上方任意方向射出速度大小可变的电子，已知电子的比荷为，下列说法正确的是(    ) A. 若粒子可以到达点，则其最小速度为 B. 若粒子可以到达边，则其最小速度为 C. 、边有粒子射出，则边一定有粒子射出 D. 到达点和到达点的粒子一定具有相同的速率 三．带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动与磁聚焦和磁发散（共6小题） 12.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则为(    ) A. B. C. D. 13.如图所示，在平面内，有一粒子源沿轴正方向发射速率相等的质量为、电荷量为的带电粒子。粒子射入一个半径为、中心位于原点的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直平面向里，磁感应强度的大小为。已知沿轴入射的粒子经磁场偏转后从点射出。下列说法正确的是(    ) A. 粒子的速率 B. 沿轴入射的粒子在磁场中的运动时间 C. 不同位置入射的粒子会从不同位置离开磁场 D. 关于轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于轴对称 14.如图所示，在和之间有大量相同带电粒子以同一速度沿水平方向射入以为圆心的圆形匀强磁场区域，该圆形磁场方向垂直纸面向外，与圆心在同一水平直线上，和间距离为，已知所有粒子均从点正下方的点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴点，已知下方磁场的磁感应强度是上方磁场的两倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则挡板下表面有粒子打到的区域长度为(    ) A. B. C. D. 15（多选）.如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，、是两条相互垂直的直径。在磁场内点有一放射源，能向各个方向以相同的速率未知射出相同的带电粒子，所有粒子均从之间射出磁场点有粒子射出，已知粒子所带电荷量为、质量为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(    ) A. 粒子在磁场中运动的半径为 B. 粒子进入磁场时的速率为 C. 若仅将匀强磁场的磁感应强度大小变为则粒子射出磁场边界的圆弧长度为 D. 若仅将粒子的速率变为则所有粒子射出磁场时的方向都相同 16（多选）.如图所示，半径为的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为、电荷量为的带正电粒子，粒子速度大小均为。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为且离开磁场时速度方向均与平行，、为互相垂直的直径，则(    ) A. 粒子离开磁场时速度方向平行向下 B. 磁感应强度大小为 C. 经过圆心的粒子在磁场中运动的时间为 D. 沿着方向射入的粒子在磁场中运动的时间为 17.如图所示，和为平行金属板，质量为、电荷量为的带电粒子从由静止开始被两板间的电场加速后，从上的小孔穿出，以速度由点射入圆形匀强磁场区域，经点穿出磁场，为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，不计重力。 判断粒子的电性，并求、间的电压； 求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间。 四．带电粒子在匀强磁场中运动的多解与周期性问题（共4小题） 18.在如图所示的平面内，分界线将宽度为的区域分成两部分，上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，与磁场左右边界垂直。离子源从处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与成角。已知离子比荷为，不计重力。若离子从点射出，设出射方向与入射方向相同，则离子的入射速度可能为 A. B. C. D. 19.光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从点沿射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(    ) A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心 B. 最少经次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向不一定平行于碰撞点与圆心的连线 20（多选）.如图所示，平面中轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为。点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为，质量为、电荷量为的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是(    ) A. 粒子在磁场中运动的最长时间为 B. 为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度应满足 C. 若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D. 若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 21（多选）.如图所示，在某空间的一个区域内有一直线与水平面成角，在两侧存在垂直于纸面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为。位于直线上的点有一粒子源，能不断地水平向右发射速率不等的相同粒子，粒子带正电，电荷量为，质量为，所有粒子运动过程中都经过直线上的点，已知，不计粒子重力及粒子相互间的作用力，则粒子的速率可能为(    ) A. B. C. D. 五．带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题（放缩圆、旋转圆、平移圆）（共6小题） 22.如图所示，在平面直角坐标系内，与轴的夹角为，足够长，与轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于的带电粒子。带电粒子的质量为，电荷量为，则带电粒子能打到轴距坐标原点最远位置的横坐标为(    ) A. B. C. D. 23.如图，直角三角形区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向内的匀强磁场，，。质量为、电荷量为且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，，则粒子经磁场偏转后能返回到边的粒子数占射入到边总粒子数的百分比为(    ) A. B. C. D. 24.如图所示，直角三角形中，，其区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为 为粒子的比荷的带正电的粒子。不考虑粒子的重力和相互间作用力，下列说法正确的是(    ) A. 边上有粒子到达区域的长度为 B. 从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C. 从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D. 边上有粒子到达区域的长度为 25.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计粒子重力及粒子之间的相互作用力，则为(    ) A. B. C. D. 26.如图所示，三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，，，垂直于，长度为。点有一电子源，在平面向磁场内各个方向均匀发射速率均为的电子，速度方向用与的夹角表示，电子质量为，电荷量为，且满足。下列说法正确的是(    ) A. 从边射出的电子占总电子数的六分之一 B. 从边射出的电子占总电子数的二分之一 C. 从边射出的电子占总电子数的三分之一 D. 所有从边射出的电子中，当时，所用的时间最短 27.如图所示，正方形区域内含边界有垂直纸面向里的匀强磁场，，，连线与边平行，大量带正电的粒子从点沿与边成角方向以不同的初速度射入磁场，已知带电粒子的质量为，电荷量为，磁场的磁感应强度大小为，，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 求恰好从点射出磁场的粒子的速度大小； 要使粒子从边离开磁场，求初速度的取值范围。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $